＊線性代數＊ Chapter.2 線性方程組.

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1 ＊線性代數＊ Chapter.2 線性方程組

2 Chapter.2 線性方程組 2.0 介紹：Triviality 2.1 線性方程組的介紹 探索 2.2 解線性方程組的直接方法
2.3 生成集合與線性獨立 2.4 應用 全球定位系統 2.5 迭代法解線性方程組 章節複習

3 2.1 線性方程式的介紹 線性代數，Ch.2，第67頁

4 例2.1 以下的方程式皆為線性： 我們可觀察到第三個方程式為線性，因為其可被 重寫成x1＋5x2＋x3－2x4＝3 的形式。另一個重要
需注意的是，雖然在這些例子(及大部分的應用) 中，係數與常數項為實數，但在其它一些例子及 應用中，係數與常數項則為複數或是Zp中(p為質數) 的元素。 線性代數，Ch.2，第67頁

5 例2.1 所以，線性方程式並不包含乘積、倒數或其它的 變數方程式；線性方程式的變數之次數必為一次 且其係數為常數。特別注意前述每一群方程式中
的第四個方程式：為何第一群方程式中的第四個 方程式為線性，但第二群方程式中的第四個方程 式卻不為線性？ 線性代數，Ch.2，第67頁

6 例2.2 (a)[5,4]為3x-4y=-1 的一解，因為當用x=5,y=4 代
入方程式，便滿足3(5)-4(4)=-1。[1, 1]為另一解。 通常「解」指的便是對應到給定直線方程式上的 點。 所以，設定x=t 且用之來解y，我們便可看到 完整的解集合，可寫成參數形式 。(我們 也可設定y 等於某個參數，諸如s，然後用之來解 x；這兩個參數解看起來不同，但卻是等價的。試看看吧！) 線性代數，Ch.2，第67頁

7 例2.2 (b)線性方程式x1-x2+2x3=3有特殊解[3,0,0],[0,1,2] 與[6,1,-1]。完整的解集合則對應到給定平面上的
點集合。若我們設定x2=s及x3=t，則可得到一個參 數解[3+s-2t, s, t]。(當s與t為何值時可產生上述三 個特殊解？) 線性代數，Ch.2，第67頁

8 2.1 線性方程式的介紹 一個線性方程組的解(solution) 即為一個符合方 程組裡所有方程式的向量。一個線性方程組的解
2.1 線性方程式的介紹 一個線性方程組的解(solution) 即為一個符合方 程組裡所有方程式的向量。一個線性方程組的解 集合(solution set) 則為方程組「所有」解的集 合。 線性代數，Ch.2，第68頁

9 例2.3 2x-y=3 方程組 有一解為[2,1]，因為其同時滿足上述兩方程式。 另一方面，[1,-1]則不為方程組的解，因其只符合
第一個方程式。 線性代數，Ch.2，第68頁

10 例2.4 解以下各線性方程組： 解： (a)將兩方程式相加得2x=4，所以x=2，然後再得
到y=1。可很快驗算得[2,1] 確為方程組之解， 也就是觀察到(2,1) 為直線x-y=1與x+y=3的交 點，如圖2.1(a)所示。所以，[2,1] 為此方程組的 唯一解。 線性代數，Ch.2，第69頁

11 例2.4 (c)x與y不可能同時相差1又相差3，所以此方程組 (b)此方程組裡的第二個方程式為第一個方程式的
兩倍，所以解只要符合第一個方程式即可。也 就是說，方程組之解為x-y=2上所有的點。其可 用參數[2+t,t] 表示。所以，此方程組有無窮多個 解[圖2.1(b)]. (c)x與y不可能同時相差1又相差3，所以此方程組 無解。(更代數化的作法是第一式減去第二式， 得到0=-2 的荒謬結果。)如同圖2.1(c)所示，此 方程組的直線相互平行 線性代數，Ch.2，第69頁

12 例2.4 線性代數，Ch.2，第69頁

13 2.1 線性方程式的介紹 一個線性方程組若含有1個或1個以上的解，便 稱作相容的(consistent) ；而一個無解的方程組
2.1 線性方程式的介紹 一個線性方程組若含有1個或1個以上的解，便 稱作相容的(consistent) ；而一個無解的方程組 則稱作不相容的(inconsistent)。 線性代數，Ch.2，第69頁

14 2.1 線性方程式的介紹 [解線性方程組] 兩個線性方程組若有相同的解集合，則稱之為等 價的(equivalent)。
2.1 線性方程式的介紹 [解線性方程組] 兩個線性方程組若有相同的解集合，則稱之為等 價的(equivalent)。 線性代數，Ch.2，第70頁

15 例2.5 解線性方程組： 解： 從最後一個方程式開始往回作，我們分別得到 z=2,y=5-3(2)=-1， 與x=2+(-1)+2=3。所以，唯一解為[3,-1,2]。 上述解例2.5 的過程稱作返回代換(back substitution)。 線性代數，Ch.2，第70頁

16 例2.6 解線性方程組： 解： 為將此方程組轉換為例2.5的三角形結構，我們首 先需要消去第二個與第三個方程式的x。觀察可
知，將第一個方程式乘上適當倍數再分別與第二 個與第三個方程式相減，便可得到我們所要的 狀況。 線性代數，Ch.2，第70頁

17 例2.6 倍數再分別與第二個與第三個方程式相減，便可 得到我們所要的狀況。接下來，觀察我們在係數
(而非變數) 上的運作，即我們在矩陣中記錄係數 與常數項如下：在矩陣中記錄係數與常數項如 下： 線性代數，Ch.2，第71頁

18 例2.6 其中前三行依序為三方程式各變數的係數，最後 一行則為常數項，而將最後一行與前面三行相隔 的垂線則可提醒我們方程式等號的存在。這矩陣
便稱作方程組的增廣矩陣(augmented matrix)。 有數種方式可將方程組轉換為我們所要的三角結 構。這裡我們使用的步驟將最接近下一節要描述 的一般方法。我們將同時在給定的方程組與對應 的增廣矩陣上呈現運作的過程，就將從消去第二 個與第三個方程式的x開始。 線性代數，Ch.2，第71頁

19 例2.6 第二式減去3倍的第一式 第二列減去3倍的第一列 第三式減去2倍的第一式 第三列減去2倍的第一列 線性代數，Ch.2，第71頁

20 例2.6 將第二式與第三式互調 將第二列與第三列互調 至此，我們可發現此方程組與例2.5 的系統完全
將第二式與第三式互調 將第二列與第三列互調 至此，我們可發現此方程組與例2.5 的系統完全 相同。而例2.5 之方程組的解為[3, －1, 2]，此自 然也是本題方程組的解。

21 例2.6 為什麼？由上面的計算已可知原方程組的解也即 轉換到最後之方程組的解。 但既然我們剛展示過的步驟為可逆，我們便可從
最後的方程組出發，回復原先的方程組。(如何 作？) 所以任何轉換到最終之方程組的解也即原 方程組的解。所以這些方程組是等價的(「這 些」指的是上述步驟過程中所有出現的方程 組)。 此外，我們將用矩陣運算來取代方程式，因為其 是在進行返回代換前再插入變數的簡單方法。 (下一節主題即為矩陣運算。)

22 ＊線性代數＊ 探索

23 計算機告訴我的謊言 電腦與計算機將實數儲存成浮動點形式。例如 2001便被存成0.2001×104，-0.00063便被存
成-0.63×10-3。通常，一個數的浮動點形式為 ±M×10k，其中k 為整數且尾數M為滿足0.1 ≒ M <1的實數小數。 用尾數儲存的小數位數最大值係依據電腦、計算 機或CAS。若可儲存的最大小數位數為d，我們 便說有d個有效位數。許多計算機可儲存8位或12 位有效位數，電腦則可儲存更多位數，但仍有限 線性代數，Ch.2，第74頁

24 計算機告訴我的謊言 任何未儲存的位數不是被刪去(可說此數字被截 斷)，就是被取成d位的概數。例如，其浮動點形
式為 ×101。在一個將數字截成5 位數儲存的電腦中， 將被存成 ×101(並 被呈現成3.1415)；若電腦是將數取成5位概數， 則將被存成 ×101(並被呈現成3.1416)。 當數字的最後一位是5 時，最後一位數字可能因 被捨去或進位，而反變成偶數。 線性代數，Ch.2，第74頁

25 計算機告訴我的謊言 所以，若取小數點後兩位有效數字，則0.735 可 能變成0.74，同時0.725 可能變成0.72。
當進行截取或取概數時，「捨入誤差」便可能產 生，在計算上可造成戲劇性的效果。當這類的運 算愈多，誤差便累積愈多。 1.解以下的實係數線性方程組。 線性代數，Ch.2，第74頁

26 計算機告訴我的謊言 2.作為一個小數， 。所以取成五位有效 數字，方程組變成用你的計算機或CAS解此方
2.作為一個小數， 。所以取成五位有效 數字，方程組變成用你的計算機或CAS解此方 程組，將每一個計算結果取為五位數的概數。 3.再解兩次上述的方程組，第一次將每一個計算 結果取為四位數的概數，第二次則取三位數的 概數。觀察看結果為何？ 4.非常小的「捨入誤差」(小於等於 )可導 致在解上產生巨大誤差。用幾何解釋其因。(可 回想在前述問題1-3所解答不同線性方程組之圖) 線性代數，Ch.2，第74-75頁

27 2.2 解線性方程式的直接方法 [矩陣與階梯式] 一個線性方程組牽涉到兩種重要的矩陣：係數矩
2.2 解線性方程式的直接方法 [矩陣與階梯式] 一個線性方程組牽涉到兩種重要的矩陣：係數矩 陣(coefficientmatrix)，內容包含了方程組中變數 的係數；還有我們前面已接觸過的增廣矩陣 (augmented matrix)，即額外添加了一欄常數項 的係數矩陣。 線性代數，Ch.2，第76頁

28 2.2 解線性方程式的直接方法 線性代數，Ch.2，第77頁

29 例2.7 以下的線性方程組皆為列階式： 線性代數，Ch.2，第77頁

30 例2.8 假定例2.7中的每個矩陣為一個增廣矩陣，寫出對 應的線性方程組並解之。 解： 我們首先要記住增廣矩陣的最後一行為常數項向
量。所以例2.7第一個矩陣所對應的方程組為 (注意我們已略去的最後一個方程式為0=0，或說 是0x1+0x2=0，很明顯滿足x1與x2的任何值。) 線性代數，Ch.2，第77頁

31 例2.8 例2.7 中第二個矩陣所對應的方程組為 其最後一個方程式為0x1+0x2=4，明顯無解。所
以，方程組也無解。同樣的，例2.7中第四個矩陣 所對應的方程組一樣無解。而例2.7 中第三個矩陣 所對應的方程組則為 線性代數，Ch.2，第78頁

32 例2.8 所以x1=1-2(3)-x2=-5-x2有無窮多解，因為我們可 對x2指定任意值t，而得參數解[-5-t,t,3]。
線性代數，Ch.2，第78頁

33 2.2 解線性方程式的直接方法 我們將運用以下的速記符號來表達上述三種基本 列運算： 1. 意即第i列與第j列互換。
2.2 解線性方程式的直接方法 我們將運用以下的速記符號來表達上述三種基本 列運算： 意即第i列與第j列互換。 2.kRi意即將第i列乘上k倍。 線性代數，Ch.2，第78頁

34 2.2 解線性方程式的直接方法 3.Ri+kRj 意即將第j 列的k 倍加到第i 列(同時以相 加的結果取代第i 列原來的字元)。
2.2 解線性方程式的直接方法 3.Ri+kRj 意即將第j 列的k 倍加到第i 列(同時以相 加的結果取代第i 列原來的字元)。 應用基本列運算化簡一個矩陣，至成為列階式的 過程，稱作列化簡(row reduction)。 線性代數，Ch.2，第78頁

35 例2.9 將以下的矩陣化簡成為列階式： 解： 我們以行對行、左到右且上到下的方式進行列化 簡。策略就是在一行上構造出一個領導元，再用
之來使其以下的同行字元皆成為0；被選作領導元 的字元被稱作軸(pivot)，且此過程階段被稱作軸轉 (pivoting)。 線性代數，Ch.2，第78頁

36 例2.9 雖然不一定完全必要，但通常為便利起見，我們 會再運用一次列運算讓每一個領導元成為1。我們
從讓第一列領導元“1”以下的同行字元全變為0開 始： 線性代數，Ch.2，第79頁

37 例2.9 現在第一行已如我們所願，所以接下來要作的事 是造出第二列的領導元，最終目的是將之變成階
梯模樣的列階式。在此階段，我們用列對調(另一 方法是將第三列或第四列加到第二列上) 來達成目 的。 線性代數，Ch.2，第79頁

38 例2.9 這一次的「軸」為-1。現在我們要讓第二行的最底 字元成為0，我們運用在第二列的領導元-1： 線性代數，Ch.2，第79頁

39 例2.9 我們所要的第二行現已完成。注意現在第三行已 出現我們所要的領導元，我們令8為軸，令其底下
的同行字元變為0。最簡單的方法是我們先對第三 列除以8： 線性代數，Ch.2，第79頁

40 2.2 解線性方程式的直接方法 為列等價。 線性代數，Ch.2，第80頁

41 2.2 解線性方程式的直接方法 ＊證明＊ 若A與B為列等價，則依據定義，A可經由基本列 運算I而被轉換成B，又運用基本列運算J可將B
2.2 解線性方程式的直接方法 定理2.1 ＊證明＊ 若A與B為列等價，則依據定義，A可經由基本列 運算I而被轉換成B，又運用基本列運算J可將B 化簡為列階式，自然A可經由基本列運算I與J變 成與B之列階式相同的列階式。反過來，若A與B 有相同的列階式R，意即經由各自的基本列運 算，我們可將A與B皆轉換成R。反轉後者的運作 程序，我們可將R轉換成B，所以我們便得到序 列A →R →B，此即為所求。 線性代數，Ch.2，第80頁

42 2.2 解線性方程式的直接方法 [高斯消去法] ＊附註＊ 在實際練習時，高斯消去法的第二步可有一些方 法選擇。此處為一些有用的原則導引：
2.2 解線性方程式的直接方法 [高斯消去法] ＊附註＊ 在實際練習時，高斯消去法的第二步可有一些方 法選擇。此處為一些有用的原則導引： (a)被置於最左行的字元必需不全為零。 (b)在此行頂端造出一領導元。(若我們能讓此領 導元為1，事情通常會最容易。見習題22。) 線性代數，Ch.2，第81頁

43 2.2 解線性方程式的直接方法 (c)領導元下方的同行字元皆為0。 (d)「蓋住」已出現領導元的該列，然後回到步驟
2.2 解線性方程式的直接方法 (c)領導元下方的同行字元皆為0。 (d)「蓋住」已出現領導元的該列，然後回到步驟 (a)，對下方其餘的矩陣重新進行相同的過程， 直到整個矩陣成為列階式。 線性代數，Ch.2，第81頁

44 例2.10 我們繼續將此矩陣化簡為列階式，就依據高斯消 解線性方程組 解： 增廣矩陣為 去法過程的第二步所給定的原則導引。
線性代數，Ch.2，第82頁

45 例2.10 第一個非零之行為第一行。我們從在此行頂端造 出一領導元開始；將第一列與第三列對調是達 成所要結果的最好方法。
我們現在運用領導元1在第一行造出第二個零： 線性代數，Ch.2，第82頁

46 例2.10 我們現在「蓋住」第一列，並重複同樣的過程。 第二行為子矩陣中第一個非零的行。對第二列乘 上1/5可造出領導元1。
現在矩陣之第二行底部需要另一個零。 線性代數，Ch.2，第82頁

47 例2.10 現在增廣矩陣已變成列階式，然後我們移至步驟 3。則對應的方程組為 用返回代換方法得到x3=2，則x2=3-x3=3-2=1，
寫出解為 線性代數，Ch.2，第82頁

48 例2.10 (從現在開始，我們將線性方程組的向量解寫成 行向量形式。這樣寫的理由到第三章便可知分 曉。) 線性代數，Ch.2，第82頁

49 例2.11 解線性方程組 解： 增廣矩陣為 線性代數，Ch.2，第83頁

50 例2.11 有無窮多解。雖有不只一種方法可來指定參數， 但我們仍將繼續用返回代換，依據其它變數(即自
由變數(free variables))寫出對應到領導元的變數 (即領導變數(leading variables))。 此例中，領導變數為w與y，自由變數為x與z，所 以y=1+z，且由此我們得到 線性代數，Ch.2，第83頁

51 例2.11 若我們指定x=s 與z=t，解可被寫成如下的向量式 線性代數，Ch.2，第83頁

52 2.2 解線性方程式的直接方法 線性代數，Ch.2，第84頁

53 2.2 解線性方程式的直接方法 定理2.2 線性代數，Ch.2，第80頁

54 例2.12 解線性方程組 解： 當我們對增廣矩陣進行列運算，我們得到

55 例2.12 得到不可能的方程式0=5。(我們也可運用 作為第二個基本列運算，然後得到不同的列階式
相樣的矛盾。) 所以，此方程組無解—為不相容的 方程組。

56 2.2 解線性方程式的直接方法 線性代數，Ch.2，第85頁

57 高斯－喬丹消去法 1.寫出線性方程組的增廣矩陣。 2.用基本列運算來化簡增廣矩陣成為簡化列階式。
3.若結果方程組為相容的，則可運用任何其餘的自 由變數來解領導變數。 線性代數，Ch.2，第85頁

58 例2.13 用高斯－喬丹消去法解例2.11的方程組。 解： 化簡過程如例2.11，直到我們得到列階式：
我們現在必須讓第二列、第三行的領頭1 前之字元 變為0。我們將第二列加到第一列來得到此： 線性代數，Ch.2，第86頁

59 例2.13 此方程組現在被化簡成 現在用領導變數來解已容易得多： 若我們如前指定參數x=s 與z=t，解可寫成如下的 向量形式：

60 例2.14 找出平面x＋2y－z＝3 與2x＋3y＋z＝1 的交線。 解： 首先，觀察其可能有一交線，因為此二平面的法
向量[1,2,-1]與[2,3,1] 互不平行。兩平面交線上的 點對應到方程組解集合中的點 線性代數，Ch.2，第86頁

61 例2.14 在增廣矩陣上運用高斯－喬丹消去法，得到 用變數代換，我們得到 線性代數，Ch.2，第87頁

62 例2.14 設定自由變數z為一個參數t，則可獲得兩平面交線 的參數方程式： 將方程式寫成向量形式則為 見圖2.2。
線性代數，Ch.2，第87頁

63 例2.14 設定自由變數z為一個參數t，則可獲得兩平面交線 的參數方程式： 將方程式寫成向量形式則為 見圖2.2。
線性代數，Ch.2，第87頁

64 例2.14 在增廣矩陣上運用高斯－喬丹消去法，得到 用變數代換，我們得到

65 例2.14 設定自由變數z為一個參數t，則可獲得兩平面交線 的參數方程式： 將方程式寫成向量形式則為 見圖2.2。

66 例2.15 令 ，確定直線 x＝p＋tu 與x＝q＋tv 是否相交。若是，找出他們 的交點。 解：
令 ，確定直線 x＝p＋tu 與x＝q＋tv 是否相交。若是，找出他們 的交點。 解： 在此我們需小心，雖然t被用來作為兩直線方程式 的參數，由於此二直線相互獨立，所以兩個參數t 也如是。因此，我們乾脆將第一條線的參數改為 s，其方程式便變成x＝p＋su。若直線相交，則我 們要找出能同時滿足兩方程式的 。

67 例2.15 即我們希望x＝p＋su＝q＋tv 或su－tv＝q－p。 代入給定的p, q, u 與v，我們得到
其解可容易找到，為 。所以交點為 見圖2.3。(驗證：若在另一方程式上代入，也會得到相同交點。)

68 2.2 解線性方程式的直接方法 [齊次方程式] 我們已經知道一個線性方程組若非無解或唯一 解，就是無窮多解。然而，有一種類型的線性方
2.2 解線性方程式的直接方法 [齊次方程式] 我們已經知道一個線性方程組若非無解或唯一 解，就是無窮多解。然而，有一種類型的線性方 程組永遠有解(即必至少有一解)。 線性代數，Ch.2，第88頁

69 2.2 解線性方程式的直接方法 定理2.3 線性代數，Ch.2，第88頁

70 2.2 解線性方程式的直接方法 ＊證明＊ 由於方程組至少有一個解0，其為具一致性的。
2.2 解線性方程式的直接方法 ＊證明＊ 由於方程組至少有一個解0，其為具一致性的。 此外，rank(A) ≒ m (為什麼？)。由秩定理，我 們得到 自由變數的個數＝n－ rank(A) ≡ n－m >0 所以至少有一個自由變數，且也因此有無窮多解 線性代數，Ch.2，第88-89頁

71 例2.16 解以下Z3中的線性方程組： 解： 在這類例子中註記的第一件事就是減法與除法是 不必要的。我們可運用加法與乘法達到相同效
果。(然而此要求我們在Zp上作業，其中p為質 數。見此節結尾的習題60 與第1.4 節的習題33。)

72 例2.16 以下，運用模數3的計算，對方程組的增廣矩陣進 行列運算。 所以，解為x1＝1, x2＝2, x3＝1。

73 例2.17 解以下Z2中的線性方程組：

74 例2.17 解： 列運算如下：

75 例2.17 所以，我們有 設定自由變數x4＝t可得到

76 例2.17 由於t共可表現出兩個值0與1，所以恰有2個解： ＊附註＊ 對Zp上的線性方程組，不可能存在無窮多解。(為
什麼？) 此外，當解為1個以上時，解個數為有 限，且為自由變數與p個數的函數。(見習題59。)

77 ＊線性代數＊ 探索

78 探索─部分轉軸 在此探索中，讀者將從另一途徑發現線性方程組 因為捨入誤差而產生的問題，並看到因為係數極 小的變化，便可能造成巨大的結果誤差。
1.(a)解單一線性方程式 x＝1中的x。 (b)假定你的計算機只能顯示4個有效位數，方 程式將被取概數，而變為0.0002x＝1 解此 方程式。 (a)與(b) 答案的差距可被視為是所給定方程式解 中， 的誤差效應。 線性代數，Ch.2，第95頁

79 探索─部分轉軸 2.現在，擴展此概念至一個線性方程組。 (a)用高斯消去法解此線性方程組。 運用有效位數。以0.400為主軸，並計算至3位有
效數。如此，我們應可獲得解為x＝－1.00, y＝ 1.01。比較真正的解x＝1.00, y＝1.00，可看到 誤差多達x 值的200%，實在很大。讀者能否發 現造成誤差如此的原因？ 線性代數，Ch.2，第95頁

80 探索─部分轉軸 (b)再解一次(a)中的方程組，這一次將兩方程式 (或說是增廣矩陣的兩列) 對調，且主軸在
75.3。再一次，將計算算至3位有效數，看看 此次的解又變成什麼？ 當運用高斯消去法或高斯－喬丹消去法得到一個 線性方程組的數值解時(即含有小數點的概算)， 我們應當小心選取軸。特別是在每一個軸轉步驟 中，從一行裡所有可能的軸中選取絕對值最大的 字元。 線性代數，Ch.2，第95頁

81 探索─部分轉軸 3.用高斯消去法解以下的方程組，並於後段計算 用列對換讓此字元去到正確位置，並運用其造出
該行所需的0。此策略為已知的部分軸轉(partial pivoting)。 3.用高斯消去法解以下的方程組，並於後段計算 運用部分分支，將計算算至3 位有效數。(正確 答案已給定。) 線性代數，Ch.2，第95頁

82 例2.18 (a) 是否為向量 的線性組合？ (b) 是否為向量 的線性組合？ 解： (a)我們要找出係數x與y，以使
線性代數，Ch.2，第99頁

83 例2.18 展開，我們得到方程組 其增廣矩陣為 （觀察增廣矩陣的行向量為給定的向量；注意向量的順序尤其當向量為常數向量時。）
線性代數，Ch.2，第99頁

84 例2.18 此矩陣的簡化列階式為 (驗證此)所以解為x＝3, y＝2，且對應的線性組合 為 線性代數，Ch.2，第100頁

85 例2.18 (b)運用我們在(a)中的觀察結果，得到一線性方程 組的增廣矩陣 被化簡成為 顯示該方程組無解。所以在此例中， 的線性組合。
顯示該方程組無解。所以在此例中， 的線性組合。 線性代數，Ch.2，第100頁

86 2.3 生成集合與線性獨立 定理2.3 線性代數，Ch.2，第100頁

87 2.3 生成集合與線性獨立 (a)方程組 有唯一解x＝2, y＝1。所以， 見圖2.8(a)。 線性代數，Ch.2，第100頁

88 2.3 生成集合與線性獨立 幾何上看，向量 皆平行，也因此皆 (b)方程組 有無窮多解x＝2＋t, y＝t。此導致對所有t值皆有
2.3 生成集合與線性獨立 (b)方程組 有無窮多解x＝2＋t, y＝t。此導致對所有t值皆有 幾何上看，向量 皆平行，也因此皆 沿著同一直線通過原點[見圖2.8 (b) ]。 線性代數，Ch.2，第101頁

89 2.3 生成集合與線性獨立 (c)方程組 無解，所以不存在x 與y 值滿足 在此例中， 為平行，但 並不沿著同
2.3 生成集合與線性獨立 (c)方程組 無解，所以不存在x 與y 值滿足 在此例中， 為平行，但 並不沿著同 一直線通過原點[見圖2.8(c)]。 線性代數，Ch.2，第101頁

90 2.3 生成集合與線性獨立 線性代數，Ch.2，第101頁

91 2.3 生成集合與線性獨立 線性代數，Ch.2，第101頁

92 例2.19 我們需先驗證任意向量 可被寫成 的 驗證 。 解： 一個線性組合。此意即，我們必須顯示方程式
驗證 。 解： 我們需先驗證任意向量 可被寫成 的 一個線性組合。此意即，我們必須顯示方程式 總是可被解出x與y (運用a與b)，不 論a 與b的值為何。 線性代數，Ch.2，第102頁

93 例2.19 增廣矩陣為 ，且列運算產生 由點已清楚可見方程組有唯一解。(為什麼？) 若繼 續運算，可得到 線性代數，Ch.2，第102頁

94 例2.19 由此可見x＝(3a－b)/7 與y＝(a＋2b)/7。所以，對 所選取的任何a 與b，我們得到 (驗證此結果)
線性代數，Ch.2，第102頁

95 例2.20 令e1, e2, 與e3 為R3中的標準單位向量。則對任何 讀者應不難看出Rn=span(e1, e2, …,en) 這一般
向量 ，我們皆可得到 所以， R3=span(e1, e2, e3)。 讀者應不難看出Rn=span(e1, e2, …,en) 這一般 的寫法。

96 例2.21 找出 的展延結果。(見例2.18。) 解： 從幾何上看，所有 的線性組合構成的集合 即為通過原點，並以 為方向向量的平面
找出 的展延結果。(見例2.18。) 解： 從幾何上看，所有 的線性組合構成的集合 即為通過原點，並以 為方向向量的平面 (圖2.9)。

97 例2.21 此平面之方程式為 即在與的展延中的另一種寫法。 假定我們要得到此平面的一般方程式，這有好幾
種產生方法。一是運用方程式ax＋by＋cz＝0 必被 由來自方向向量的點(1,0,3) 與點(-1,1,-3) 所滿足 的事實。代換法再導引出一個a,b與c的方程組。 (見習題17。)

98 例2.21 另一個方法是運用來自向量方程式的方程組。 若我們對對應的增廣矩陣進行列運算，將得到

99 例2.21 現在，我們知道此方程組具有一致性，因為 已假定為 與 的展延。所以我們須得到
已假定為 與 的展延。所以我們須得到 z－3x＝0 (或3x－z＝0 這個更一般的形式) 以求得 我們所要的一般式。

100 2.3 生成集合與線性獨立 [線性相依] 線性代數，Ch.2，第104頁

101 2.3 生成集合與線性獨立 定理2.5 線性代數，Ch.2，第105頁

102 2.3 生成集合與線性獨立 ＊證明＊ 若向量之一，就說是v1吧，為集合中其它向量的 一個線性組合，則表存在 。重整式子，
2.3 生成集合與線性獨立 ＊證明＊ 若向量之一，就說是v1吧，為集合中其它向量的 一個線性組合，則表存在 。重整式子， 我們得到， 可推導得 為線性相依，因為係數中至少有一不 為0 (例如v1 的係數為1)。 線性代數，Ch.2，第105頁

103 2.3 生成集合與線性獨立 反過來，假定 為線性相依，則存在不 全為0的係數 ，使得 。假定c1≠0，則
2.3 生成集合與線性獨立 反過來，假定 為線性相依，則存在不 全為0的係數 ，使得 。假定c1≠0，則 且我們可在兩邊同乘1/ c1 以得到v1為其它向量 的一個線性組合： 線性代數，Ch.2，第105頁

104 例2.22 任何包含零向量的向量集合為線性依賴。若 中，則我們可找到一組有意義的 形式組合 ，其中 。

105 例2.23 確定以下各向量集合是否為線性獨立： 解： 在回答此類問題前，先看看自己能否觀察出一個 向量是否為其它向量的線性組合。多一點觀察與
思考有時可節省下很多計算！

106 例2.23 (a)兩向量為線性依賴的唯一途徑是一個為另一個 的倍數。(為什麼？) 此題中兩向量明顯互無倍數關 係，所以為線性獨立。
(b)此處並無明顯的依賴關係，所以我們試著找出 係數c1,c2,c3使得

107 例2.23 對應的線性方程組為 且其增廣矩陣為

108 例2.23 再一次，我們觀察到係數矩陣的每行即為問題中的向量。 簡化的列階式為 (驗證此)，因此，給定的向量為線性獨立。

109 例2.23 (c)運用一點反射性質，得到 所以三向量為線性相依。(運用代數方法，設定如(b)的線性方程組來驗證此。)

110 例2.23 若我們令係數為c1, c2,與c3，則得到 (d)再一次，我們觀察到不明顯的相依性，所以我
們直接對線性齊次方程組之增廣矩陣(其每行即所 給定的向量) 進行化簡： 若我們令係數為c1, c2,與c3，則得到

111 例2.23 我們可看到方程組有無窮多解，特別是必有一個 非零的解，所以給定的向量為線性依賴。 若題目再繼續作下去，這些解便可被確切描述出
來：c1=-3c3與c2＝2c3。所以，對任何非零的係 數c3 ，皆可得線性依賴關係 (驗證此結果之正確性。)

112 2.3 生成集合與線性獨立 定理2.6 線性代數，Ch.2，第105頁

113 2.3 生成集合與線性獨立 ＊證明＊ 為線性依賴的充要條件是存在不全 為0的係數 ，使得 。由定理2.4，其與「非
2.3 生成集合與線性獨立 ＊證明＊ 為線性依賴的充要條件是存在不全 為0的係數 ，使得 。由定理2.4，其與「非 零向量 係對應到增廣矩陣的方程組之一解」 的說法等價。 線性代數，Ch.2，第107頁

114 例2.24 所以明顯其只有無聊的解。通常我們會看到e1, e2,..., en 在Rn中為線性獨立。
R3中的標準單位向量e1, e2, 與e3為線性獨立，因為 對應方程組的增廣矩陣[e1e2e3｜0] 已為化簡的列 階式 所以明顯其只有無聊的解。通常我們會看到e1, e2,..., en 在Rn中為線性獨立。

115 例2.25 以「列」向量形式考慮例2.23(d)的三個向量： [1,2,0][1,1,-1]與[1,4,2]
我們構造一個矩陣，其每列即為向量，且將之化 簡為列階式。每一次改變一列，我們用“’ ” 記號來 標記新改變的列： 由此我們看到

116 例2.25 或，根據原始的向量 [注意此方法對應到求得例子2.23(d)中的解c3=1。]

117 2.3 生成集合與線性獨立 定理2.7 線性代數，Ch.2，第108頁

118 2.3 生成集合與線性獨立 定理2.8 線性代數，Ch.2，第108頁

119 例2.26 向量 為線性相依，因為R2 中不可能有兩個以上的線性獨立向量。(注意，若 我們要在此三個向量中找出確切的相依關係，我
們必須解此齊次方程組，其係數矩陣即由題目給 定的(行) 向量組成。做做看吧！) 線性代數，Ch.2，第109頁

120 例2.27 一生物學家在一試管中放置三種類的細菌(記作I,II 與III)，並分別餵以不同的食物來源(A,B與C)。每
固定數量的每種食物，如表2.2所示。則當試管中 放置每種細菌各多少隻時，便可消耗掉所有的食 物？ 線性代數，Ch.2，第112頁

121 例2.27 解： 令x1, x2, 與x3分別為品種I, II與III的細菌數量。 由於品種I的細菌每天要消耗2單位的食物A，所以
x1個細菌I 每天要消耗2x1單位的食物A。同樣的， 細菌II與III每天分別要消耗2x2與4x3單位的食物 A。既然我們每天需用完2300單位的食物A，所 以我們得到方程式 線性代數，Ch.2，第112頁

122 例2.27 同樣的，我們也得到對應的消耗食物B與C的方程 式 所以，我們已得出一個三變數的線性方程組，對 其增廣矩陣進行列運算，得到
線性代數，Ch.2，第112頁

123 例2.27 所以，x1＝100, x2＝350 與x3＝350。即該生物 學家應在試管內放上100隻的細菌I及各350隻的細
菌II與細菌III，這樣才能每天都將食物吃完。 線性代數，Ch.2，第113頁

124 例2.28 重複例2.27，運用表2.3顯示的每天消耗食物的資 料(單位/每天)。而假設條件則變成一天放置1500
單位的食物A及3000單位的食物B與4500單位的食 物C到試管裡。 線性代數，Ch.2，第113頁

125 例2.28 令x1,x2與x3分別為品種I,II與III的細菌數量。則得 解： 出的線性方程組之增廣矩陣與對應的列階式為
在此例，我們發現由以下式子得到的解不只一個 線性代數，Ch.2，第113頁

126 例2.28 令x3 ＝t，我們得到x1＝t, x2＝1500－2t 與x3 ＝t。 在應用問題中，我們要小心而適切的解釋解的涵
－2t ≧ 0。後者之不等式可推得t ≦ 750，所以我 們得到0 ≦t ≦750。此外，細菌數量必為單一 值，所以恰有751個t值滿足此不等式。所以，我們 751個解形式為 線性代數，Ch.2，第113頁

127 例2.28 每一個都是t的整數值，其中0≦ t ≦ 750。(所 以，雖然在數學上此方程組有無窮多解，但實際 操作上其只有有限多個解。)
線性代數，Ch.2，第113頁

128 例2.29 氨(NH3) 在氧中燃燒會產生氮氣(N2) 與水，寫出此 反應的平衡化學式。 解：
令氨、氧、氮與水的分子數分別為w,x,y與z，則我 們所要求的反應式便如下： 比較反應式兩邊的氮、氫與氧原子數目，我們得 到三個線性方程式： 線性代數，Ch.2，第114頁

129 例2.29 用標準形式重寫這些方程式，便得到由三個四變 數方程式組成的線性齊次方程組。(注意定理2.3
已證實這樣的方程組會有無窮多有意義的解。) 我 們用高斯－喬丹消去法化簡對應的增廣矩陣如 下： 線性代數，Ch.2，第114頁

130 例2.29 所以 。可讓z生出其它4個整 數值變數的最小正值即為 中的最小公分 母：6，得出w=4,x=3,y=2,及z=6。所以，平衡的
數值變數的最小正值即為 中的最小公分 母：6，得出w=4,x=3,y=2,及z=6。所以，平衡的 化學式為 線性代數，Ch.2，第115頁

131 2.4 應用 [網絡分析] 流動不滅(conservation of flow) ： 線性代數，Ch.2，第115頁

132 例2.30 描述圖2.11顯示的水管網絡中可能的水流，其中水 流是以每分鐘的公升數(L/min) 來進行測量。 解：
在每一結點，我們寫出能顯示該處流動不滅的方 程式。然後再將所有方程式一併重寫，把變數部 分寫在左邊，常數部分寫在右邊，以得到標準形 式的線性方程組。 線性代數，Ch.2，第115頁

133 例2.30 運用高斯－喬丹消去法，我們化簡增廣矩陣 線性代數，Ch.2，第 頁

134 例2.30 (驗證此。) 我們觀察到其中有一個自由變數f4，所 以我們有無窮多解。令f4＝t，並用f4來表現領導變 數，我們得到
這些方程式描述所有可能的流動，且讓我們可去 分析該網絡。例如我們看到若控制分支AD的流動 以使t=5L/min，則其它的流動為f1=10, f2=0與 f3=25。 線性代數，Ch.2，第116頁

135 例2.30 更好的方案是：我們可找到每一分支的可能極小 與極大流動。每一個流動不可為負。依序測試第
一個與第二個方程式，我們發現t ≦15 (否則f1會 是負值) 且t ≦ 5 (否則f2會是負值)。第二個不等 式比第一個限制更大，所以我們必須採用之。第 三個方程式對t並無進一步的限制，所以我們推得 0 ≦ t ≦ 5。合併此結果與其它四個方程式，我們 得到

136 例2.30 現在我們對流經此網絡的可能流動有了一個完整 的描述。

137 2.4 應用 [電路] 電壓=電阻×電流 或 V=RI 歐姆定律 線性代數，Ch.2，第117頁

138 2.4 應用 科希荷夫定律 線性代數，Ch.2，第117頁

139 2.4 應用 圖 圖2.13 線性代數，Ch.2，第118頁

140 例2.31 確定圖2.13 電路中的電流I1, I2 與I3。 解： 此電路有2個電池與4個電阻。電流I1流經上方電路
BCA，電流I2流經中間電路AB，電流I3 流經底部 電路BDA。在結點A，由電流定律得到I1＋I3＝ I2，或 I1－I2＋I3＝0 (觀察在結點B 我們可得到同樣的方程式。) 線性代數，Ch.2，第118頁

141 例2.31 接下來我們在每一個電路上運用伏特定律。對電 路CABC，在電阻上釋出的電壓分別為2I1, I2, 與
相同地，對電路DABD，我們得到 2+4I3=16 (注意的確有第三個電路，CADBC，若我們「抗拒電流」，也就是說，我們將在「逆向」途徑上的電壓與電阻視為負。如此，我們得到2I1+2I1-4I3=8-16=-8或說是4I1-4I3=-8。 線性代數，Ch.2，第118頁

142 例2.31 其中我們觀察到的只是其它兩電路的電壓方程式 之差。所以，我們可略過此方程式，因為其並無
新的資訊可供參考。另一方面，若將之納入其實 也無妨。) 現在我們得出一個由三個三變數方程式組成的線 性方程組： 線性代數，Ch.2，第118頁

143 例2.31 高斯－喬丹消去法產生 因此，電流為I1＝1 安培，I2＝4 安培及I3＝3 安培。 線性代數，Ch.2，第 頁

144 例2.32 圖2.14顯示單一電源A與5個電阻。找出電流I, I1, ..., I5。此為在電機領域中著名的「惠斯登電
橋」(Wheatstone bridge circuit) 問題。 線性代數，Ch.2，第119頁

145 例2.32 解： 科希荷夫電路定律在四個結點有以下方程式： 對三個基本電路，伏特定律得出 線性代數，Ch.2，第119頁

146 例2.32 (觀察可知，分支DAB無電阻，所以也無電壓釋 出；因此在電路ABEDA方程式中便無電流I 項。同
時也要注意的是，我們必須變號三次，因為我們 「抗拒電流」。此並無問題，因為我們將讓答案 的正負號決定電流的方向。) 我們現在得出一個由七個六變數方程式組成的線 性方程組： 線性代數，Ch.2，第119頁

147 例2.32 (運用你的計算機或電腦來驗證此。) 所以，解(單 位為安培) 為I=7,I1=I5=3,I2=I4=4 和I3=-1。此處
負值的意義為流經分支CE的電流方向與電路圖 相反。 線性代數，Ch.2，第120頁

148 例2.33 五個排成一列的燈由五個開關控制著。每一個開 關可直接轉換其上方燈泡的狀況(明或滅)，並也立
即轉變該燈泡左右隔壁兩燈泡的狀態。例如，若 第一個燈泡與第三個燈泡是亮的，如圖2.15(a)， 則壓下開關 線性代數，Ch.2，第120頁

149 例2.33 則壓下開關A改變系統狀態，如圖2.15(b). 接下來 若壓下開關C，則結果如圖2.15(c)顯示的狀態。
假定初始所有的燈泡燈光全都為「滅」，讀者是 否可找出開開關的順序，讓最後只有第一、三、 五個燈泡是亮的？又是否可找出開開關的順序， 讓最後只有第一個燈泡是亮的？ 線性代數，Ch.2，第 頁

150 例2.33 此問題中燈泡的「明/滅」特性提示了運用二元概
念，所以我們應在Z2中考慮。此外，我們用Z52中 的向量來表現此五個燈泡的狀態，其中“0” 代表 「滅」， “1” 代表「明」。所以，例如向量 便對應到圖2.15(b)之狀態。 線性代數，Ch.2，第122頁

151 例2.33 我們也可運用在Z52中的向量來表現每一個開關的 動作。若一個開關改變了燈泡的狀態，則對應的
分量為“1”；反之則為“0”。由此約定，五個開關的 動作向量為 圖2.15(a) 描述的狀態對應到初始狀態 線性代數，Ch.2，第122頁

152 例2.33 接著是對應圖2.15(a)到圖2.15(b)中燈泡狀態的改 變 圖2.15(b)中燈泡的狀態即為上述兩向量之和(在 Z52中)
線性代數，Ch.2，第122頁

153 例2.33 所以，x5為自由變數。因此恰有兩個解(對應到 x5＝0 與x5＝1)。用x5來解其它的變數，我們得到
線性代數，Ch.2，第123頁

154 例2.33 所以，當x5 ＝0 與x5 ＝1，我們分別得到解 (驗證兩者都能作用。) 同樣的，在第二個例子中，我們得到
線性代數，Ch.2，第123頁

155 例2.33 增廣矩陣被化簡如下： 顯示此例無解；意即不可能從所有的燈泡燈光都 是「滅」的狀態開始，然後達到只有第一個燈泡 亮了的結果。
線性代數，Ch.2，第123頁

156 例2.33 滅 亮 暗 圖2.17 圖2.16 線性代數，Ch.2，第124頁

157 例2.34 考慮三個排成一列的燈泡，每個燈泡的狀態可為 「滅」、「亮」、「暗」。燈泡下方共有三個開
關A、B與C，每一個能改變燈的現狀至「下一 個」狀態(如圖2.16)，而按下開關A能改變前兩個 燈泡的狀態， 按下開關B則會改變三個燈泡的狀 態，按下開關C則將改變後兩個燈泡的狀態。若三 個燈泡開始時都為「滅」的狀態，我們有否可能 用某種的按開關次序讓三燈泡分別呈現「滅」、 「亮」及「暗」(如圖2.17) 狀態？ 線性代數，Ch.2，第124頁

158 例2.34 Z33 。此外，開關對應到在中的向量 解： 例2.33牽涉到Z2 ，此例則明顯(明顯嗎？) 牽涉到
且我們目標的最後狀態為 。(燈泡光滅為 “0”，燈泡亮為“1”，燈泡暗為“2”。) 線性代數，Ch.2，第124頁

159 例2.34 因此有唯一解：x1=2,x2=1,x3=1。換句話說，我 我們希望找到Z3中的係數x1,x2,x3 使得
(其中xi 代表第i 個開關被按下的次數)。對應到此 方程式的增廣矩陣為[abc│t]，在Z3中可被化簡如 下： 因此有唯一解：x1=2,x2=1,x3=1。換句話說，我 們必須按開關A兩次，按其它兩開關各一次。(驗 證此。) 線性代數，Ch.2，第124頁

160 ＊線性代數＊ 全球定位系統

161 全球定位系統 GPS的基本概念為一個三維度的三角測量之變 形：地球表面上之一點被其與任意其它三點的距
收者的位置，另外則是衛星，及運用廣播訊號從 衛星到接收者之次數來計算之距離。 我們將假定地球為一球心在原點之xyz-坐標系統的 球面，且正向的z- 軸通過北極，並與地球有固定 的相對位置。 線性代數，Ch.2，第132頁

162 全球定位系統 為簡化起見，令地球半徑為1單位；所以地球表面變成單位球面，方程式為x2+y2+z2=1。另以百分之一秒作為時間的測量單位。GPS 藉由得知一個從一點發出的廣播信號到達另一點所需的時間來找出距離。為此我們必須知道光速大約是每百分之一秒走0.47 個地球半徑。 線性代數，Ch.2，第132頁

163 全球定位系統 想像一下自己為迷失在樹林中的健行者，在某時刻t所在的位置為(x,y,z)。你不知道自己身處何處，更慘的是身上沒帶錶，所以你也不知道現在是幾點。然而，你有自己的GPS 裝置，且其能同時接收來自4個衛星的信號，給出其位置與顯示在表2.6 的時刻。 線性代數，Ch.2，第132頁

164 全球定位系統 (距離是用地球半徑來測，時間則是用前半夜的百 分之一秒來測量。) 線性代數，Ch.2，第132頁

165 全球定位系統 令你的位置為(x,y,z)，且令t為信號抵達的時刻。 我們目標是要解出x,y,z 與t。信號以0.47倍的地球
半徑/百分之一秒之速度，在1.29時刻被發出，並 於t時刻抵達。所以其花費了百分之(t－1.29)秒 來碰觸到你。距離等於速度乘上用掉的時間，便 得到 d=0.47(t－1.29) 線性代數，Ch.2，第132頁

166 全球定位系統 我們也可用(x,y,z) 與衛星位置(1.11, 2.55, 2.14) 來 表示d，運用距離公式：
組合這些結果，可得到以下方程式 展開、化簡與重新整理，我們發現(1)的方程式變 為 線性代數，Ch.2，第133頁

167 全球定位系統 同樣的，我們可得到其它三衛星中每一個所對應 的方程式。最後我們得到由四個x,y,z與t方程式組 成的方程組：
線性代數，Ch.2，第133頁

168 全球定位系統 這其中並無線性方程式，但每一方程式中的非線 性項卻都相同。若我們將第一個式子代換到其它 三個方程式，便會得到一個線性方程組：
線性代數，Ch.2，第133頁

169 全球定位系統 而其增廣矩陣的列運算便為 由此我們看到 其中t 為自由變數。 線性代數，Ch.2，第133頁

170 全球定位系統 將這些方程式代入(1)，我們得到 其被化簡為二次式 因此有兩個解： 線性代數，Ch.2，第134頁

171 全球定位系統 代入(2)，我們發現對應到(x, y, z)＝(0.55,0.61, 0.56)的第一個解與對應到(x, y, z)＝(0.96, 0.65, 1.46) 的第二個解。 第二個解明顯並非單位球面，所以我們捨棄之。第一個解產生x2＋y2＋z2＝0.99，符合我們所求。帶著可接受的捨入誤差，我們已定位你的坐標為(0.55, 0.61,0.56)。 線性代數，Ch.2，第134頁

172 例2.35 考慮線性方程組 雅各法先解第一個方程式得到x1，及第二個方程式 得到x2，得到 我們現在需要一個解的初始近似(initial
approximation)。 線性代數，Ch.2，第135頁

173 例2.35 結果是不管初始近似為何，我們都可能得到x1＝0, x2＝0。將之代入(1) 式，以得到新的x1與x2 ：
線性代數，Ch.2，第134頁

174 例2.35 現在我們將新的x1與x2代入(1) 式，得到 線性代數，Ch.2，第135頁

175 例2.35 (寫到小數點第三位)。我們重複此過程(運用舊的x1 與x2值去得到新的x1與x2值)，產生表2.7的近似值 序列。
線性代數，Ch.2，第136頁

176 例2.35 如此連續不斷的向量 被稱作迭代(iterates)，所 以例如當n＝4， 第四個迭代為。我們可看到
此例中的迭代趨近 ，即為所給定方程組的確定 解。(驗證此) 此例我們稱雅各法收斂(converges) 線性代數，Ch.2，第136頁

177 例2.36 運用高斯－歇德爾法到線性方程組 且令初始近似為 。 解： 我們重整方程組後，得到 線性代數，Ch.2，第138頁

178 例2.36 表2.11顯示首先進行的一些迭代計算結果。(驗證 此。) 圖2.28則清楚圖示出此為一個發散(divergence) 的 例子。
線性代數，Ch.2，第138頁

179 2.4 應用 定理2.9 線性代數，Ch.2，第139頁

180 2.4 應用 定理2.10 線性代數，Ch.2，第139頁

181 例2.37 假定我們加熱一金屬板的每一邊到一固定溫度， 如圖2.29所示： 最後在內點的溫度將達到平衡，其中以下的性質 可被驗證成立：
線性代數，Ch.2，第140頁

182 2.4 應用 為應用此性質到一個實例，我們需要微積分的技 巧。我們可用有許多內點的網格覆蓋在板上來替 代，作為近似的情況，如圖2.31所示。
2.4 應用 為應用此性質到一個實例，我們需要微積分的技 巧。我們可用有許多內點的網格覆蓋在板上來替 代，作為近似的情況，如圖2.31所示。 線性代數，Ch.2，第141頁

183 2.4 應用 掌理平衡溫度一般性質的離散類比陳述如下： 如圖2.31 顯示的例子有3個內點，且每一點都與
2.4 應用 掌理平衡溫度一般性質的離散類比陳述如下： 如圖2.31 顯示的例子有3個內點，且每一點都與 4個其它點相鄰。令內點P的平衡溫度為圖示的 t1,t2與t3。則由溫度平均性質，我們得到 線性代數，Ch.2，第141頁

184 2.4 應用 或 注意此方程組為嚴格對角支配，且式子(3)為雅各 法或高斯—歇德爾法所要求的形式。 線性代數，Ch.2，第141頁

185 2.4 應用 當初始近似為t1=0, t2=0, t3=0，運用高斯—歇德 爾法可得以下的迭代。 線性代數，Ch.2，第142頁

186 2.4 應用 繼續，我們找到表2.13列出的迭代。我們的精確度達5個有效位數，且當兩連續迭代值對所有變數之誤差皆在0.001以內時，便可停止迭代。 線性代數，Ch.2，第142頁

187 2.4 應用 所以，在內點的平衡溫度(達0.001 的精確度) 為t1=74.108, t2= 與t3=61.607。(驗證此計算。) 線性代數，Ch.2，第142頁