第二讲 函数 插值 —— 多项式插值 —— Lagrange 插值.

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1 第二讲 函数 插值 —— 多项式插值 —— Lagrange 插值

2 为什么插值 例：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 数学工具：插值 大多数实际问题都可用函数来表示某种内在规律的数量关系
但函数表达式无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表 如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？ 例：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 水温（oC） 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500、600、800米…）处的水温。 数学工具：插值

3 什么是插值 已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上有定义，且已经测得在点 a  x0 < x1 < ··· < xn  b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn) 如果存在一个简单易算的函数 p(x)，使得 p(xi) = f(xi)，i = 0, 1, ... , n 则称 p(x) 为 f(x) 的插值函数 [a, b] 为插值区间，xi 为插值节点，p(xi) = f(xi) 为插值条件 插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！ 求插值函数 p(x) 的方法就称为插值法

4 常用插值方法 常用插值法 P(x) 多项式插值：p(x) 为多项式，多项式最常用的插值函数 分段多项式插值：p(x) 为分段多项式
……

5 内容提要 多项式插值 Lagrange 插值 差商与 Newton 插值 Hermite 插值 分段低次插值 三次样条插值

6 多项式插值 多项式插值 已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上 n + 1 个点 a  x0 < x1 < · · · < xn  b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn) 求次数 不超过 n 的多项式 p(x) = c0+c1x + · · · + cnxn， 使得 p(xi) = yi，i = 0, 1, ... , n 注意：p(x) 的次数有可能小于 n

7 多项式插值 定理（多项式插值的存在唯一性） 满足上述条件的多项式 P(x) 存在且唯一。 证明：见板书（利用Vandermonde 行列式）

8 线性插值 例：线性插值（板书） p(x0) = y0 p(x1) = y1 点斜式 重新整理
令 则 为什么能写成这个形式？ 进一步观察可知：

9 抛物线插值 例：抛物线插值（板书） p(x0) = y0 ， p(x1) = y1 ， p(x2) = y2
想法：如果能构造三个二次多项式 l0(x), l1(x), l2(x), 满足 问题：如何构造 l0(x), l1(x), l2(x)？ 待定系数法（板书）

10 内容提要 多项式插值 Lagrange 插值 差商与 Newton 插值 Hermite 插值 分段低次插值 三次样条插值 基函数法

11 基函数插值法 基函数插值法 p(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + · · · + anzn(x) 基函数插值法
记 Zn(x) = {次数不超过 n 的多项式的全体} n+1 维 设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式可表示为 p(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + · · · + anzn(x) 寻找合适的基函数 确定插值多项式在这组基下的线性表示系数 通过基函数来构造插值多项式的方法就称为 基函数插值法

12 Lagrange插值 Lagrange 基函数 定义：设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上的 n 次插值基函数 通过构造法，可求得

13 Lagrange插值 两点说明 l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 构成 Zn(x) 的一组基
l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 与插值节点有关，但与 f(x) 无关

14 Lagrange插值 如何用 Lagrange 基函数求 P(x) ai = yi ，i = 0, 1, ... , n
设 p(x) = a0l0(x) + a1l1(x) + · · · + anln(x) 将 p(xi) = yi ，i = 0, 1, ... , n 代入，可得 ai = yi ，i = 0, 1, ... , n p(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + · · · + ynln(x) Ln(x) 就称为 f(x) 的 Lagrange 插值多项式

15 线性与抛物线插值 两种特殊情形 线性插值多项式（一次插值多项式）： n=1 抛物线插值多项式（二次插值多项式）： n=2
注：n 次插值多项式 Ln(x) 通常是 n 次的，但有时也会低于 n 次。如：二次插值中，如果三点共线，则 Ln(x) 为直线

16 插值举例 例：已知函数 y = lnx 的函数值如下 解： 线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得
ex21.m x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx 试分别用线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的近似值（板书） 解： 为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点 线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得 将 x=0.54 代入可得： ln 0.54  L1(0.54) =

17  ln 0.54 的精确值为：-0.616186··· 插值举例 抛物线插值：取 x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, 可得
ln 0.54  L2(0.54) = 在实际计算中，一般不需要给出插值多项式的具体表达式  ln 0.54 的精确值为： ··· 可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange 插值简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现

18 误差估计 插值余项 估计误差 定理：设 f(x)  Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x)
在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，存在 x(a, b) 使得 其中 证明：板书 注：余项中的 x 与 x 是相关的

19 插值余项 罗尔 定理 由插值条件可知： Rn(xi)=0, i=0, 1, …, n Rn(x) 在[a,b]上至少有 n+1 个零点
对任意给定的 x[a,b] (x  xi , i =0, 1, ..., n)，构造辅助函数 则 在 [a, b] 中有 n+2 个互不相同的零点：x, x0 , … , xn 罗尔 定理

20 f(x)  Cn[a, b]，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在
插值余项 f(x)  Cn[a, b]，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在 由Rolle定理可知 在 (a, b) 内至少有 n+1 个不同的零点； 同理可知 在 (a, b) 内至少有 n 个零点； 以此类推，可知 在 (a, b) 内至少有一个零点，设为 x ，即 ，x (a, b)。 又

21 插值余项 两个特例 线性插值（两点插值，即 n=1） 抛物线插值（三点插值，即 n=2）

22 插值余项 几点说明 余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用 x 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界
若 ，则 计算点 x 上的近似值时，应尽量选取与 x 相近插值节点

23 Lagrange基函数性质 Lagrange 基函数的两个重要性质 当 f(x) 为一个次数  n 的多项式时，有 故
即 n 次插值多项式对于次数  n 的多项式是精确的 若 f(x) = xk，k  n，则有 特别地，当 k = 0 时有

24 插值误差举例 例：已知函数 y = lnx 的函数值如下 解： 线性插值 x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.9163
试估计线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的误差 解： 线性插值 x0=0.5, x1=0.6, (0.5, 0.6)

25 插值误差举例 抛物线插值： x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, (0.4, 0.6) 抛物线插值通常优于线性插值。
但绝对不是次 数越高就越好， 嘿嘿 …

26 插值误差举例 例：函数 ，插值区间 [-5, 5]，取等距节点，
例：函数 ，插值区间 [-5, 5]，取等距节点， 试画出插值多项式 L 的图像 ex22.m 例：设 li(x) 是关于点 x0, x1, … , x5 的 Lagrange 插值基函数. 证明: （板书）

27 插值误差举例 例：设 f(x)  C 2[a,b] （二阶连续可导）, 证明: 其中 （板书）

28 作业 教材第 48 页：3、4 (2)、5、6 提示： 第 3 题： ① 等距节点插值，假定节点上的函数值是已知的； ② 将度数转化为弧度，要考虑插值误差和所给数据的舍入误差 第 6 题：等距节点插值，假定节点上的函数值是已知的，且没有误差