边界品位的确定 边界品位是区分矿石与废石(或称岩石)的临界品位，矿床中高于边界品位的块段为矿石，低于边界品位的块段为废石。从品位－矿量曲线可知，边界品位的选择直接影响到矿石储量，进而影响矿山的生产规模、最终开采境界、设备选型和矿山生产寿命。因此，边界品位是一个对矿山总体经济效益有重大影响的技术经济参数。

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1 边界品位的确定 边界品位是区分矿石与废石(或称岩石)的临界品位，矿床中高于边界品位的块段为矿石，低于边界品位的块段为废石。从品位－矿量曲线可知，边界品位的选择直接影响到矿石储量，进而影响矿山的生产规模、最终开采境界、设备选型和矿山生产寿命。因此，边界品位是一个对矿山总体经济效益有重大影响的技术经济参数。

2 边界品位的确定 概念：表内矿；表外矿。 　　边界品位两种计算方法：盈　　　　 　　亏平衡法和最大现值法。

3 一、盈亏平衡品位计算 盈亏平衡品位概念 ： 价值与成本计算 ：
令Mc为一吨矿石的开采与加工成本；Mv为一吨品位为1的矿石被加工成最终产品能够带来的经济收入。当最终产品为金属时 Mc=Cm+Cp+Cr’ (16 ­11) ( )

4 一、盈亏平衡品位计算 故： 价值与成本计算 ： (16 - 13) 若金属的售价为Pr，Mv可用下式计算
Mv = rp rr Pr ( ) 当最终产品为精矿时： Mc= Cm +Cp ( ) ( ) 式中，Pp为每吨精矿售价。

5 一、盈亏平衡品位计算 已揭露块段的盈亏平衡品位 ：
设某一块段已被揭露，这一块段可以采也可以不采。这时需要做的决策是采与不采，这两种选择间的盈亏平衡品位应满足以下条件：开采盈利 = 不开采盈利 因为该块段可以不采，所以要开采就是作为矿石开采，故 开采盈利 = gc Mv - Mc 若不予开采，盈利为零。所以有： gcMv -Mc = 0 gc = Mc/Mv ( )

6 一、盈亏平衡品位计算 已揭露块段的盈亏平衡品位 ： 当最终产品为金属时，将式(16 - 13)和(16 - 14)代入上式得
( ) 当最终产品为精矿时，： ( ) 因此，当被揭露的块段的品位大于gc时，应将其作为矿石开采，否则不予开采

7 一、盈亏平衡品位计算 必采块段的盈亏平衡品位 ：
如果某一块段必须被开采（如为了揭露其下面的矿石），那么对该块段的决策选择有：作为矿石开采后送往选厂或作为废石采出后送往排土场。这两种选择间的盈亏平衡品位应满足以下条件： 作为矿石处理的盈利 = 作为废石处理的盈利 作为矿石处理时的盈利 = gcMv - Mc; 作为废石处理时的盈利 = -Wc，即一吨废石的排土成本，故有 gcMv - Mc = - Wc； 即 gc=(Mc - Wc)/Mv ( )

8 一、盈亏平衡品位计算 必采块段的盈亏平衡品位 ： (16 - 21) 当最终产品为金属时： (16 - 22) 当最终产品为精矿时：
因此，当块段品位高于gc时，将其作为矿石送往选厂要比作为废石送往排土场更为有利。值得注意的是，当块段的品位刚刚高于gc时，将其作为矿石并不能获得盈利， 然 而 既 然 块 段 必 须 采 出， 将 其 作 为 矿 石 处 理 的 亏 损 小 于 作 为 废 石 处 理 的 成 本， 故 仍 然 将 其 划 为 矿 石。

9 一、盈亏平衡品位计算 分期扩帮盈亏平衡品位 ：
采用分期开采时，从一个分期境界到下一个分期境界之间的区域称为分期扩帮区域。是否进行下一期扩帮，取决于开采分区扩帮区域是否能带来盈利。进行这一决策的盈亏平衡品位应满足以下条件 ： 扩帮盈利 = 不扩帮盈利 当分期扩帮区域内矿石的平均品位为gc，剥采比为R时 扩帮盈利 = gcMv -Mc -RWc 不扩帮盈利 = 0

10 一、盈亏平衡品位计算 分期扩帮盈亏平衡品位 ： 故 gcMv-Mc-RWc = 0 即 gc=(Mc+RWc)/M 当最终产品为金属时：
( ) ( ) 当最终产品为精矿时： ( )

11 一、盈亏平衡品位计算 分期扩帮盈亏平衡品位 ：
因此，如果分期扩帮区域内矿石的平均品位高于gc，将其开采更为有利。必须注意的是，上面公式中用到剥采比R，这意味着在计算分期扩帮盈亏品位前已经在该区域中进行了矿岩划分，而矿岩划分需要用到边界品位。如果决定开采分区扩帮区域，该区域变为必采区域，因此将该区域内每一块段进行矿岩划分的边界品位是必采块段盈亏平衡品位。这里需要强调的是，计算分期扩帮盈亏平衡品位的目的不是为了区分矿岩，而是为了决定是否开采整个分区扩帮区域。如果用必采块段盈亏平衡品位进行矿岩划分后得到的矿石的平均品位高于分期扩帮盈亏平衡品位，开采分期扩帮区域比不予开采更为有利。

12 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
　　　定义 M—采场最大生产能力 m—单位开采成本 C—选厂最大生产能力 c—单位选矿成本 R— 冶 炼厂最 大 生 产 能 力 r— 单 位 冶 炼 成 本 f—不变成本 s— 最 终 产 品 单 位 售 价 y— 综 合 回 收 率，

13 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
盈 利 及 现 值 计 算 ： 　盈利P = （s - r）Qr - c Qc - m Qm - f T ( ) 设 折 现 率 为 d， 从 当 前 时 间 算 起 一 直 到 矿 山 开 采 结 束 的未 来 盈 利 折 现 到 当 前 的 最 大 现 值 为V， 从 开 采 完 Qm（ 即 时 间T） 算 起 一 直 到 矿 山 开 采 结 束 的 未 来 盈 利 折 现 到 T 的 最 大 现 值 为W。 那 么 有 V = W/(1 + d)T + P /(1 + d)T 或 W + P = V(1 + d)T 由 于 d 很 小 ( 一 般 为 0 .1 左 右）， (1 + d)T 可 用 泰 勒 级 数 的 一 次 项 近 似， 即 (1 + d)T  1 + Td。 故 上 式 可 以 写 成 W + P＝V(1 + Td） 或 V - W = P - VTd

14 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
盈 利 及 现 值 计 算 ： V - W 为开采Qm产生的现值增量，记为Vm，则有 Vm = P - VTd 将（16－27）代人上式得 ： Vm = ( s - r ) Qr - c Q c - m Qm - ( f + Vd )T ( ) 上 式 是 现 值 增 量 的 基 本 表 达 式。 求 作 用 于 Qm 的 最 佳 边 界 品 位 就 是 求 使 Vm 最 大 的 边 界 品 位。

15 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
受 生 产 能 力 约 束 的 最 佳 边 界 品 位 ： 企 业 由 采、 选、 冶 三 个 阶 段 组 成， 每 一 阶 段 有 其 自 己 的 最 大 生 产 能 力。 当 不 同 阶 段 成 为 整 个 生 产 过 程 的 瓶 颈， 即 其 生 产 能 力 制 约 着 整 个 企 业 的 生 产 能 力 时， 最 佳 边 界 品 位 也 不 同。

16 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
1、 采 场 生 产 能 力 约 束 下 的 最 佳 边 界 品 位 当 采 场 的 生 产 能 力 制 约 着 整 个 企 业 的 生 产 能 力 时， 时 间 T 是由 开 采 时 间 决 定 的， 即 T = Qm /M。式（ ） 变 为： ( ) 　　使Vm 最大的边界品位gm 应满足 ( s - r ) gm y - c=0 　　即 gm = c / ( s - r ) y 　　 ( )

17 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
2、选 厂 生 产 能 力 约 束 下 的 最 佳 边 界 品 位 当 冶 炼 生 产 能 力 制 约 着 整 个 企 业 的 生 产 能 力 时， 时 间T 由 冶 炼 时 间 给 出， 即 T＝Qr / R。 式 ( ) 变 为 ( ) 使 Vr 最 大 的 边 界 品 位 为： ( )

18 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
3、冶 炼 厂 生 产 能 力 约 束 下 的 最 佳 边 界 品 位 当 选 厂 生 产 能 力 制 约 着 整 个 企 业 的 生 产 能 力 时， 时 间T 是 由 选 矿 时 间 决 定 的， 即 T＝Qc / C。 式 ( ) 变 为 Vc = ( s - r ) Qr - [c + ( f +Vd ) /C ] Qc - m Qm ( ) 通 过 与 上 面 同 样 的 分 析， 使 Vc 最 大 的 边 界 品 位 为 ( )

19 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
生 产 能 力 平 衡 条 件 下 的 边 界 品 位 　品 位 - 金 属 量 曲 线； 　采 选 平 衡 边 界 品 位， 记 为 gmc , gmc 应 满 足 下 列 条 件： ( ) 　采冶平衡边界品位，记为gmr，满足条件 ( ) 　选冶平衡边界品位，记为gcr，满足条件 ( )

20 二、最大现值法(Lane法）确定边界品位
最佳边界品位 首先考虑只有采场和选厂的情形。当边界品位变化时，Qc与Qr随之变化。因此以采场生产能力为约束的现值增量Vm和以选厂生产能力为约束的现值增量Vc也随之变化。当边界品位较低时Vm大于Vc，随着边界品位的增加，二者逐渐靠近，当边界品位等于gmc时，Vm等于Vc，之后Vm小于Vc。这一变化过程可用图16-4表示。

21 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
最 佳 边 界 品 位 Vc Vm gmc gc gm 边界品位 图 Vm与Vc随边界品位变化示意图(情形I)

22 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
最 佳 边 界 品 位 还 可 能 出 现 图 和 图 所 示 的 两 种 情 形。在 图16-5所 示 的 情 形 中， 最 终 边 界 品 位 为 g m； 在 图16 - 6所 示 的 情 形 中， 最 终 边 界 品 位 为 g c。总 结 上 述 讨 论， 当 同 时 考 虑 采 场 与 选 厂 时 ， 最 佳 边 界 品 位 Gmc 可 用 下 式 求 得： ( )

23 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
最 佳 边 界 品 位 Vm Vc gmc gc gm 边界品位 图 Vm与Vc随边界品位变化示意图(情形II)

24 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
最 佳 边 界 品 位 Vm Vc gmc gc gm 边界品位 图16-6 Vm与Vc随边界品位变化示意图(情形III)

25 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
最 佳 边 界 品 位 用 同 样 的 分 析 可 以 得 出 当 同 时 考 虑 采 场 与 冶 炼 厂 时 的 最 佳 边 界 品 位Gmr 。 ( ) 当 同 时 考 虑 选 厂 与 冶 炼 厂 时 的 最 佳 边 界 品 位G c r 为 ( )

26 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
最 佳 边 界 品 位 当 同 时 考 虑 采、 选、 冶 三 个 阶 段 的 约 束 时， 在 任 一 边 界 品 位 处 企 业 可 能 获 得 的 最 大 现 值 增 量 为 Vm、Vc 和 Vr 中的 最 小 者， 如 图16 - 7中 粗 黑 线 所 示， 因 此 整 体 最 佳 边 界 品 位 G 是 图16 - 7中 粗 黑 线 的 最 高 点 所 对 应 的 边 界 品 位。可 以 证 明，最 佳 边 界 品 位总 是Gmc、Gmr与Gcr 中的 中 间 者 即 G = middle value (Gmc，Gmr，Gcr) ( )

27 二、最大现值法(Lane 法）确定边界品位
最 佳 边 界 品 位 Vc Vm Vr gmr gcr gmc Gcr Gmc Gmr gr gc gm 边界品位 图 Vm Vc Vr 随边界品位变化示意图

28 三、算 法 与 算 例 算法 计 算g c 和 g r 时 需 要 用 到 现 值V， 而 现 值V 在 确 定 边 界 品 位 前 是 未 知 的。 因 此， 求 最 佳 边 界 品 位 需 要 进 行 迭 代 运 算。具 体 步 骤 如 下： 第 一 步：根 据 采、 选、 冶 最 大 生 产 能 力 计 算 生 产 能 力 平 衡 边 品位 g m c、 gm r 和 g c r 。 由 于 最 大 生 产 能 力 不 变， 这 三个 边 界 品 位 是 固 定 值。 第 二 步：计 算 以 采 场 生 产 能 力 为 约 束 的 边 界 品 位 gm。由 于 gm 与 V 无 关 。 因 此 gm 也 是 固 定 值。 第 三 步：令V = 0。 第 四 步：计 算gc 和gr 并 确 定 最 佳 边 界 品 位 G。 根 据 品 位 分 布 计 算 边 界 品 位 为 G 时 的 总矿 量Qc t 和 总 金 属 量 Q r t。 第 五 步：计 算 当 边 界 品 位 为 G 时， 采、 选、 冶 各 阶 段 满负 荷 运 行 时 所 需 的 时 间 Tm = Qm t / M，Tc = Qc t / C，Tr = Q r t / R 。需 要 时 间 最 长 的 阶 段 即 为 瓶 颈 阶 段 ( 即 制 约 整 个 企 业 生 产 能 力 的 阶 段 )。

29 三、算 法 与 算 例 算法 第 七 步：根 据 各 阶 段 的 产 量 计 算 年 盈 利P，并计算现值 V1 。
第 六 步：计 算 使 瓶 颈 阶 段 满 负 荷 运 行 时 其 它 阶 段 的 年 产 量， 这 一 产 量 小 于 对 应 阶 段 的 最 大 生 产 能 力。 第 七 步：根 据 各 阶 段 的 产 量 计 算 年 盈 利P，并计算现值 V1 。 第 八 步：令V = V1 ，返 回 到 第 四 步，求 得 最 佳 边 界 品 位 G。若 新 G 与 上 一 次 迭 代 得 到 的 G 不 同， 继 续 迭 代，否 则，停 止 迭 代。迭 代 结 果 是 第 一 年 的 最 佳 边 界 品 位 以 及 对 应 的 开 采 量。 第 九步：将 第 一 年 的 开 采 量 从 总 储 量 中 去 掉， 得 到 第 一 年 末 ( 第 二 年 初 ) 的 储 量。假 设 品 位 分 布 不 品 变。 重 复 上述 第 三 到 八 步， 即 可 求 得 第 二 年的 最 佳 边 界 位。以 此 类 推， 直 至 总 储 量 被 采 完， 就 得 到 了 各 年 的 最 佳 边 界 品 位。

30 三、算 法 与 算 例 算 例 采 场 最 大 生 产 能 力M = 100 吨 矿 岩/ 年， 单 位 开 采 成 本 m = 1 元/ 吨 ( 矿 岩 )，选 厂 最 大 生 产 能 力C = 50 吨 原 矿/ 年， 单 位 选 矿 成 本 c = 2 元/ 吨( 原 矿)， 冶 炼 厂 最 大 生 产 能 力R = 40 公斤金 属/ 年， 单 位 冶 炼 成 本 r = 5 元/ 公斤 (金 属 )， 金 属 售 价 s = 25 元/ 公斤， 综 合 回 收 率 y = 100％，不 变 成 本 f = 300 元 / 年， 总 储 量 Qm t = 1000 吨。品 位 分 布 如 表 所 示。 为 了 计 算 生 产 能 力 平 衡 边 界 品 位gmc、gmr 和gcr，需 要首 先 计 算 品 位－ 矿 量 曲 线 和 品 位－ 金 属 量 曲 线。 计 算 结 果 列 入 表 中。

31 三、算 法 与 算 例 品位段 (公斤/吨) 储量(吨) 0.0 - 0.1 100 0.1 - 0.2 0.2 - 0.3
表 原 始 储 量 品 位 分 布 品位段 (公斤/吨) 储量(吨) 100 总计 1000

32 三、算 法 与 算 例 边 界 品 位(公斤/吨) 矿 量Qc t (吨) 金 属 量Qr t (公斤) 0.0 1000 500 0.1
表 不 同 边 界 品 位 下 的 矿 量 与 金 属 量 边 界 品 位(公斤/吨) 矿 量Qc t (吨) 金 属 量Qr t (公斤) 0.0 1000 500 0.1 900 495 0.2 800 480 0.3 700 455 0.4 600 420 0.5 375 0.6 400 320 0.7 300 255 0.8 200 180 0.9 100 95

33 三、算 法 与 算 例 算 例 gm r 是 使 Qr/Qm=R/M=40/100=0.4 的 边 界 品 位。 与 上 面 理 由 相 同， Qrt /Qmt=0.4,Qrt=0.41000=400。 从 表 可 知，gm r 介 于 0.45 与 0.5 之 间， 利 用 线 性 插 值 得 gm r = 0.456。 gc r 是 使 Qr/Qc=R/C=40/50=0.8 的 边 界 品 位， 也 是 使 Qrt/Qcr=0.8 的 边 界 品 位。 从16 - 3可 知， 当 边 界 品 位 为 0.6 时 Qrt=320,Qct=400, 二 者 之 比 为 0.8， 故 gcr=0.6。

34 三、算 法 与 算 例 算 例 令V = 0 由 于 gmcgc, Gmc=gc=0.4 由 于 gmrgr, Gmr=gr=0.16
由 于 gcrgc,Gcr=gc=0.4 取 中 间 者，得 G = 0.4。

35 三、算 法 与 算 例 算 例 从 表16 - 3可 知， 当 边 界 品 位 G = 0.4 时， 矿 量Qct = 600, 金 属 量Qrt = 420。 按 最 大 生 产 能 力 计 算 三 个 阶 段 所 需 时 间 Tm = 1000/100 = 10 ， Tc = 600/50 = 12，Tr = 420/40 = 10.5。所 以 选 厂 是 瓶 颈。 实 际 上 ，G = gc 意 味 着 整 个 企 业 的 生 产 能 力 受 选 厂 生 产 能 力 的 约 束， 不 用 计 算 时 间 也 可 以 从G 的 选 择 上 确 定 瓶 颈 阶 段。 由 于 边 界 品 位 G 是 受 选 厂 生 产 能 力 约 束 下 的 边 界 品 位， 所 以 选 厂 满 负 荷 运 行， 年 产 量 Q c = 50。 从 表 可 知， 当 边 界 品 位 为 0.4 时， 总 矿 量 Gct=600。 因 此， 按 所 选 定 的 边 界 品 位 开 采， 为 选 厂 提 供50 吨 矿 石 所 要 求 的 采 场 矿 岩 产 量 为 Qm = 501000/600 = 83.3吨。 当 边 界 品 位 为 0.4 时 ，600 吨 矿 石 所 含 的 金 属 量 为420 公斤。 故50 吨 矿 石 产 量 所 对 应 的 金 属 产 量为 Qr=420/60050=35公斤。

36 三、算 法 与 算 例 算 例 年 盈 利 为： P =(s-r)Qr-cQc-mQm-fT
=(25-5)35-250-1 1 =216.7 将 储 量 开 采 完 需 要1000/83.3=12 年。 每 年 盈 利 为P，12 年 的 现 值 为： 以V = 计 算 新 的 gc 和 g r 得：gc=0.576, gr=.0247。 其 它 品 位 不 变， 即 gm=0.1, gmc=0.5, gmr=0.456, gcr=0.6。

37 三、算 法 与 算 例 算 例 依 据 最 佳 品 位 确 定 原 则 得 G = 0.5。 由 于G = gmc， 所 以 采 场 与 选 厂 均 以 满 负 荷 运 行， 达 到 生 产 能 力 平 衡。 故 Qc=50，Qm=100。 从 表 查 得： 当 边 界 品 位 为 0.5 时， 总 矿 量 为 500， 总 金 属 量 为 375。 所 以 金 属 年 产 量 Qr=375/50050=37.5。 年 盈 利 为 P = 250。 生 产 年 限 为10 年， 现 值 为 V = 。 以 V = 重 复 以 上 计 算 得 到 的 最 佳 边 界 品 位 为 G = 0.5， 与 上 次 迭 代 结 果 相 同。 因 此 第 一 年 的 最 佳 边 界 品 位 为 0.5， 采 场、 选 厂 和 冶 炼 厂 的 产 量 分 别 为 100，50 和 37.5。 经 过 第 一 年 的 开 采， 总 矿 岩 量 变 为 900 吨， 这 900 吨 的 矿 岩 在 各 品 位 段 的 分 布 密 度 保 持 不 变， 表 变 为 表 。 以 表 为 新 的 品 位 分 布，计 算 不 同 边 界 品 位（ ） 下 的 矿 量 与 金 属 量， 以V = 0 为 初 始 现 值， 重 复 第 一 年 的 步 骤， 可 求 得 第 二 年 的 最 佳 边 界 品 位 和 采、 选、 冶 三 个 阶 段 的 产 量。 这 样 逐 年 计 算， 最 后 结 果 列 于 表16 ­ 5。 从 此 表 可 以 看 出， 前 七 年 中， 采 场 与 选 厂 以 满 负 荷 运 行（ 生 产 能 力 达 到 平 衡）， 此 后，选 厂 变 为 瓶 颈。