逻辑学导论 主讲人：熊明辉教授.

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1 逻辑学导论 主讲人：熊明辉教授

2 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

3 目录 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误
内容提要：量化逻辑，又称谓词逻辑，与命题演算一样，也是作为现代逻辑基础的两大演算之一。我们这里所讲的量化逻辑包括两个部分：一是一元量化理论或一元量化逻辑；二是一般量化理论或一般量化逻辑，又称为关系量化理论。其中，第1-6节讨论的是一元量化逻辑，并用一元量化逻辑来为直言命题逻辑进行辩护，第6节讨论的是一般量化逻辑。 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

4 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

5 第一节 量词符号化 逻辑学的现代进展导致了一种包含量词“所有”和“有些”的命题进行符号化的更准确方法。
第一节 量词符号化 逻辑学的现代进展导致了一种包含量词“所有”和“有些”的命题进行符号化的更准确方法。 这类命题的符号化主要就是第三章所讲的直言命题A、E、I、O四种命题的符号化。 涉及某个具体类“所有”的命题是借助于全称量化来符号化的；而涉及某个具体类“有些”的命题是借助于存在量化来符号化的。 第五章 量化逻辑 共118页

6 第一节 量词符号化 一、存在量化 让我们首先来考虑这样一个命题： 有些律师是诚实的人。 根据量化逻辑，这个命题可以被读作：
第一节 量词符号化 一、存在量化 让我们首先来考虑这样一个命题： 有些律师是诚实的人。 根据量化逻辑，这个命题可以被读作： 至少存在一个东西x，使得x是一个律师且x是一个诚实人。 其中变元“x”通常应当用小写字母斜体的Times New Roman英文字体。 第五章 量化逻辑 共118页

7 第一节 量词符号化 在使用“x”时，我们对至少一个非特定具体个体保留一个开放空间。在这个意义上，这个“x”是一个变元。它给像律师张建中（曾为成克杰、远华案的代理人）或张成茂（曾为佘祥林案的代理）之类的个体留下了开放空间。 一、存在 量化 我们在说“有些”时，我们是在小心地说“至少存在一个”东西。 当我们说“有些S是P”时，只要S类中有存在一个成员，而且这个成员也属于P类，那么这个命题就是真的。 从理论上讲，“至少有一个”可以多到“全部”。例如，“有些我们班同学是外国人”这个命题为真时，有可能“我们班所有同学都是外国人”。 从第三章所讲的对当关系来看，当I命题为真，A命题可以为真可以为假。 + 单数 某个 some 有 + 复数 某些 第五章 量化逻辑 共118页

8 第一节 量词符号化 一、存在量化 为了把这个命题符号化，逻辑学家们引入了符号“(x)”来表示:
第一节 量词符号化 一、存在量化 为了把这个命题符号化，逻辑学家们引入了符号“(x)”来表示: “至少存在一个东西x使得……”(there exists at lest one thing x such that…)。 这个符号被称为“存在量词”(existential quantifier)，它管辖了这个命题的其余部分，即: “（x是一个律师且x是一个诚实人）”。 第五章 量化逻辑 共118页

9 第一节 量词符号化 一、存在量化 我们说这个量词“管辖”命题的其余部分，意思是说，变元x的任意出现受量词的“约束”。也就是说，它们落到了这个量词的“辖域”，而且像代词一样可以回指到量词。如果要完全表示这个命题，那么“有些律师是诚实人”这个命题应当被符号化为： ( x)(x是一个律师且x是一个诚实人)。 它可以读作“至少存在一个人x使得x是一个律师且x是一个诚实人”。 第五章 量化逻辑 共118页

10 第一节 量词符号化 一、存在量化 下面这些命题本质上与“有些律师是诚实人”是相同的，而且可以符号化为相同形式。
第一节 量词符号化 一、存在量化 下面这些命题本质上与“有些律师是诚实人”是相同的，而且可以符号化为相同形式。 存在一个东西使得它是一个律师而且是诚实人。 某个东西是律师且是诚实人。 有诚实律师。 存在诚实律师。 ( x)(x是一个律师x是一个诚实人)。 第五章 量化逻辑 共118页

11 第一节 量词符号化 x LogicA 一、存在量化 第五章 量化逻辑 共118页

12 第一节 量词符号化 x MathType Inline 一、存在量化 第五章 量化逻辑 共118页

13 第一节 量词符号化 一、存在量化 思考题 将下列命题翻译成存在量化的符号形式。 有佛教徒是共产党员。 存在没有拿到博士学位的博士生。
第一节 量词符号化 一、存在量化 思考题 将下列命题翻译成存在量化的符号形式。 有佛教徒是共产党员。 存在没有拿到博士学位的博士生。 有肆无忌惮的高级干部。 第五章 量化逻辑 共118页

14 第一节 量词符号化 二、全称量化 请考虑命题： “所有东西或者是政治家或者不是政治家”。 用量化逻辑，这个命题可以读作：
第一节 量词符号化 二、全称量化 请考虑命题： “所有东西或者是政治家或者不是政治家”。 用量化逻辑，这个命题可以读作： “每一个东西x使得或者x是政治家或者x不是政治家”。 在我们说“所有东西”（all things）时，我们的意思是 “每个东西”(everything/each thing)或“任何一个东西”(any thing)。这就是我们为什么可以把给定命题翻译成短语“每一个东西x使得……”(each thing is such that …)的原因。 第五章 量化逻辑 共118页

15 x 第一节 量词符号化 二、全称量化 全称量词（universal quantifier）
第一节 量词符号化 x 全称量词（universal quantifier） 二、全称量化 如果要想完全表示这个命题，那么命题“所有东西或者是政治家或者不是政治家”就可被符号化: “(x)(x是政治家 x不是政治家)” 读作: “每个东西x使得或者x是政治家或者x不是政治家”。 下列命题基本上说的是相同的东西，而且可以被符号化为相同形式。 每个东西或者是政治家或者不是政治家。 任何东西或者是政治家或者不是政治家。 第五章 量化逻辑 共118页

16 第一节 量词符号化 二、全称量化 注意： 在具体量化命题中，使用“东西”(thing)这个术语看起来是奇怪的。但是，在量化逻辑中，我们假定了“论域”（即所谈及的东西, (the universe of discourse）从字面涉及到“任何东西”。 然而，我们常常可以通过规定我们正谈及的“领域”（universe）是什么来“限制”论域。因而，将我们的话语限制到“人”、“国家”等等是可能的。在有些例子中，我们规定我们的论域会被限制到什么，而且这种做法大大简化了翻译和演绎的任务。 第五章 量化逻辑 共118页

17 第一节 量词符号化 二、全称量化 思考题 在不限制论域的情况下，将下列命题翻译成全称量化的符号形式。
第一节 量词符号化 二、全称量化 思考题 在不限制论域的情况下，将下列命题翻译成全称量化的符号形式。 所有东西或者是共产党员或者不是共产党员。 任何东西或者是九三学社成员或者不是九三学社成员。 每个东西或者是投票者或者不是投票者。 第五章 量化逻辑 共118页

18 第一节 量词符号化 三、等值命题 如果我们既考虑到存在量化(existential quantification)，又考虑到全称量化(universal quantification)，并且利用否定符号，那么下列四个等值命题成立。 “有些东西是致公党员”等值于“并非所有东西都不是致公党员”。 (x)(x是致公党员)  (x)(x是致公党员)。 “每个东西是民盟党员”等值于“并非至少存在一个东西，它不是民盟党员”。 (x) (x是民盟党员) (x)(x是民盟党员)。 第五章 量化逻辑 共118页

19 第一节 量词符号化 三、等值命题 如果我们既考虑到存在量化(existential quantification)，又考虑到全称量化(universal quantification)，并且利用否定符号，那么下列四个等值命题成立。 “并非每个东西都是农工党员”等值于“至少存在一个东西，它不是农工党员”。 (x)(x是农工党员)  (x)(x是农工党员)。 “并非至少存在一个东西，它是方的圆”等值于“每个东西都不是方的圆”。 (x)(x是方的圆)  (x)(x是方的圆)。 第五章 量化逻辑 共118页

20 第一节 量词符号化 三、等值命题 SAP SEP SIP SOP 反对关系 下反对关系 蕴涵关系 矛盾 关系 S 第五章 量化逻辑
第一节 量词符号化 三、等值命题 SAP SEP SIP SOP 反对关系 下反对关系 蕴涵关系 矛盾 关系 S 第五章 量化逻辑 共118页

21 第一节 量词符号化 三、等值命题 在量化理论中有等值命题，故这些量化等值可以用来“取代”一个包含量词的真值函项复合命题的一部分或全部。
第一节 量词符号化 三、等值命题 在量化理论中有等值命题，故这些量化等值可以用来“取代”一个包含量词的真值函项复合命题的一部分或全部。 例 子 “如果某东西是国民党员，那么，并非所有东西都是共产党员”，即:“(y)(y是国民党员)(x)(x是共产党员)”可以被下列命题取代： “如果某东西是国民党员，那么至少存在一个东西，它不是共产党员”，即：“(y)(y是国民党员)(x)(x是共产党员)”。 分 析 第五章 量化逻辑 共118页

22 第一节 量词符号化 三、等值命题 思考题 首先，将下列命题翻译成量化符号形式，然后，写出其等值式。（不限定论域） 有些东西是数学家。
第一节 量词符号化 三、等值命题 思考题 首先，将下列命题翻译成量化符号形式，然后，写出其等值式。（不限定论域） 有些东西是数学家。 并非任何东西都是数学家。 每个东西都不是数学家。 每个东西都是数学家。 第五章 量化逻辑 共118页

23 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

24 第二节 直言命题符号化 有了量化符号形式作为工具，要对构成逻辑方阵的直言命题进行更复杂翻译便成为可能。在即将进行的A、E、I、O命题的符号化工作中，我们用类词项“四川人”和“攀枝花人”分别作为主项和谓项，并把论域限制到人。 第五章 量化逻辑 共118页

25 第二节 直言命题符号化 一、A命题量化 A命题即“所有S都是P”这种形式的命题。 现在，我可以把“所有四川人都是攀枝花人”读作：
第二节 直言命题符号化 一、A命题量化 A命题即“所有S都是P”这种形式的命题。 现在，我可以把“所有四川人都是攀枝花人”读作： “每个人x，使得如果x是四川人，那么他就是攀枝花人”。 一个全称肯定命题现在可以读作“条件全称量化”，其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) 注其中，“S ”和“P”作为谓词，都是用大写斜体Times New Roman字体表示。 第五章 量化逻辑 共118页

26 第二节 直言命题符号化 二、E命题量化 E命题即是指“所有S都不是P”这种形式的命题。 现在，我们可以把“所有四川人都不是攀枝花人”读作：
第二节 直言命题符号化 二、E命题量化 E命题即是指“所有S都不是P”这种形式的命题。 现在，我们可以把“所有四川人都不是攀枝花人”读作： “每一个人x，使得如果x是四川人，那么x就不是攀枝花人”。 一个全称否定命题可以被读作一个条件命题的全称量化，其中后件被否定。其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) 第五章 量化逻辑 共118页

27 第二节 直言命题符号化 三、I命题量化 I命题即是指“有些S是P”这种形式的命题。 现在，我们可以把“有些四川人是攀枝花人”读作:
第二节 直言命题符号化 三、I命题量化 I命题即是指“有些S是P”这种形式的命题。 现在，我们可以把“有些四川人是攀枝花人”读作: 至少存在一个人x，使得x既是四川人又是攀枝花人。 换句话说，一个特称肯定命题可以被读作一个合取命题的存在量化。其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) 第五章 量化逻辑 共118页

28 第二节 直言命题符号化 四、O命题量化 O命题即是指“有些S不是P”这种形式的命题。 现在，我们可以把“有些四川人不是攀枝花人”读作：
第二节 直言命题符号化 四、O命题量化 O命题即是指“有些S不是P”这种形式的命题。 现在，我们可以把“有些四川人不是攀枝花人”读作： 至少存在一个人x，使得x是四川人但不是攀枝花人。 换句话说，一个特称否定命题可以被读作一个合取命题的存在量化，其中，谓项被否定。其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) 第五章 量化逻辑 共118页

29 第二节 直言命题符号化 总结： 当我们把论域限制到人时，用“S”表示“是四川人”，“P”表示“是攀枝花人”，我们针对逻辑方阵中的四个直言命题的量化翻译总结如下： A 所有四川人都是攀枝花人。 (x)(SxPx) E 所有四川人都不是攀枝花人。 (x)(SxPx) I 有些四川人是攀枝花人。 (x)(SxPx) O 有些四川人不是攀枝花人。 (x)(SxPx) 第五章 量化逻辑 共118页

30 第二节 直言命题符号化 思考题 将下列命题翻译成量化符号形式。（令“Cx”代表“x是共产党员”，“Kx”代表“x是国民党员”，并且论域被限制到人） 有些共产党员是国民党员。 所有共产党员都不是国民党员。 有些共产党员不是国民党员。 所有共产党员都是国民党员。 第五章 量化逻辑 共118页

31 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

32 第三节 论证有效性证明 我们可以把使用量化的论证证明来区分为涉及“一元量化”的证明和涉及“多元量化”的证明。前者是指大写字母后只跟随一个变元的证明，如“Dx”、“Ey ”、“Sz ”等形式。后者是其大写字母后跟随多个变元的证明，如“ Dxy”、“E(x,y,z) ”等形式，这类命题将在第6节讨论。 第五章 量化逻辑 共118页

33 第三节 论证有效性证明 一、归谬法 我们本着从演绎有效性原则即“前提真结论假是不可能的”出发，所给出的量化证明都是归谬法（Reductio ad Asbsurdum），其任务是要导出形式“pp”的矛盾式。 我们的策略: 首先是列出所有前提的清单； 再将结论的否定命题添加到前提清单之中； 再根据这个命题集推导出矛盾式“pp ”。 第五章 量化逻辑 共118页

34 第三节 论证有效性证明 一、归谬法 我们本着从演绎有效性原则即“前提真结论假是不可能的”出发，所给出的量化证明都是归谬法（Reductio ad Asbsurdum），其任务是要导出形式“pp”的矛盾式。 除了第四章所讲的真值函项规则外，还要添加三条规则： 全称例示规则(Universal Instantiation，简称UI)。 存在例示规则(Existential Instantiation, 简称EI)。 量化等值规则(Quantificational Equivalence，简称QE)。 第五章 量化逻辑 共118页

35 第三节 论证有效性证明 二、全称例示 全称例示规则（UI，即Universal Instantiation）允许我们从某东西的所有情形推导出特殊情形。 因此，如果所有律师都是诚实人，我们就能推导出张建中是诚实人。 这里的活动是从一个全称命题到它的“事例”(instance)。除了量词被移去，而且用名称如“a”、“b”、“c”之类的小写正体Times New Roman字母来代替变元的出现之外，一个事例正像一个量化命题。 这条规则又被某些逻辑学家称为“量词消去”规则。 第五章 量化逻辑 共118页

36 第三节 论证有效性证明 二、全称例示 因此，根据全称命题“每个东西都是诚实人”，我们可以推导出“a是诚实人”。
第三节 论证有效性证明 二、全称例示 因此，根据全称命题“每个东西都是诚实人”，我们可以推导出“a是诚实人”。 用符号术语就是：“(x)Hx ”能够推出“Ha”。 全称例示规则（UI）： 根据任何全称量化命题，我们可以有效地推导出其任何事例。 (x)Hx，∴Ha (x)HxHa (x)HxHa (x)HxHa 名称（name） Times New Roman正体 个体（individual ） 第五章 量化逻辑 共118页

37 个体必须替代落入全称量词辖域内的变元的所有出现
第三节 论证有效性证明 二、全称例示 下面这些是全称例示的正确或不正确例子：  Fa  Fy  FaGa  Fy Ga 1.(x)Fx 2.(y)(FyGy)  Fb  Fb  FbGb  FaGy  Fc  Fc  FcGc  FbGy 只能推导个体，不能推导出变元 个体必须替代落入全称量词辖域内的变元的所有出现 第五章 量化逻辑 共118页

38 第三节 论证有效性证明 二、全称例示 下面这些是全称例示的正确或不正确例子： 3. (x)(Fx(y)Gy)
第三节 论证有效性证明 二、全称例示 下面这些是全称例示的正确或不正确例子： 3. (x)(Fx(y)Gy) 因为命题“p”在量化之外，推论不能继续。只有当全称量词出现在开头并且这个命题的其它所有部分都在辖域之内时全称例示才能允许我们导出结论。  Fb(y)Gy (x)Fxp  Fa p (x)(Fxp)  Fa p 第五章 量化逻辑 共118页

39 第三节 论证有效性证明 二、全称例示 思考题 给出从下列量化命题所推导出来的全称例示，建议选择名称时用“a”、“b”、“c”等。
第三节 论证有效性证明 二、全称例示 思考题 给出从下列量化命题所推导出来的全称例示，建议选择名称时用“a”、“b”、“c”等。 (x)(AxCx) (y)Dy (z)(Gz(y)Hy) 第五章 量化逻辑 共118页

40 第三节 论证有效性证明 三、存在例示 存在例示规则（EI，即Existential Instantiation，又称存在消规则）允许我们从一个存在量化命题推导出其至少一个具体事例。 例如，如果“有些律师是诚实人”为真，那就一定存在某个人“a”,他是个律师且是诚实人。 可是，这项活动只有我们推导出一个单个特定个体才是安全的，而在全称例示中可以选择任意个体。因此，我们能够从“(x)Fx”推导出“Fa”，但在论证中只有那个个体在之前没有使用过才可以。 第五章 量化逻辑 共118页

41 第三节 论证有效性证明 三、存在例示 存在例示规则（EI）
第三节 论证有效性证明 三、存在例示 存在例示规则（EI） 假如被引进事例的名称对于论证来说是新的，那么根据任意存在量化命题我们可以有效推导出其任何事例。 (x)Hx，∴Ha (x)HxHa (x)HxHa (x)HxHa 个体或名称在论证中之前未出现过。 第五章 量化逻辑 共118页

42 第三节 论证有效性证明 三、存在例示 思考题 给下列这些存在量化命题的事例。 (x)(AxBx) (x)(FaJx)
第三节 论证有效性证明 三、存在例示 思考题 给下列这些存在量化命题的事例。 (x)(AxBx) (x)(FaJx) (y)(GyHb) 第五章 量化逻辑 共118页

43 第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题：
第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题： 一个形式为“(x) ……”的否定全称量词可以用一个形式为“(x)……”的存在量词来取代，反之亦然。例如： 思考题 用其量化等值命题来取代下列命题。 (x)(AxCx) (x)Bx (x)(FxGx)  (x)(FxGx) 第五章 量化逻辑 共118页

44 第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题：
第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题： 一个形式为“(x) ……”的否定全称量词可以用一个形式为“(x)……”的存在量词来取代，反之亦然。例如： 思考题 用其量化等值命题来取代下列命题。 (x)Cx (x)(AxLx) (x)(FxGx)  (x)(FxGx) 第五章 量化逻辑 共118页

45 第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题：
第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题： 任何一个包括全称命题的析取式都可以用一个全称量词管辖整个析取命题来取代。例如： (x)(AxAx)(y)By  (x)((AxAx)(y)By) (y)(x)((AxAx)By) 第五章 量化逻辑 共118页

46 第三节 论证有效性证明 二、全称例示 下面这些是全称例示的正确或不正确例子： 3. (x)(Fx(y)Gy)
第三节 论证有效性证明 二、全称例示 下面这些是全称例示的正确或不正确例子： 3. (x)(Fx(y)Gy) 因为命题“p”在量化之外，推论不能继续。只有当全称量词出现在开头并且这个命题的其它所有部分都在辖域之内时全称例示才能允许我们导出结论。  Fb(y)Gy (x)Fxp  Fa p (x)(Fxp)  Fa p 第五章 量化逻辑 共118页

47 第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题：
第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题： 任何一个包括全称命题的析取式都可以用一个全称量词管辖整个析取的命题来取代。例如： 思考题 用其量化等值命题来取代下列命题。 (x)Cx(y)Dy (x)(HxGx)(x)Lx (x)(AxAx)(y)By  (x)((AxAx)(y)By) 第五章 量化逻辑 共118页

48 第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题：
第三节 论证有效性证明 四、量化等值 这里，我们将介绍四个量化等值命题： 任何一个包括存在量化命题的析取命题可以用一个存在量词管辖了整个析取命题的命题来取代。例如： 思考题 用其量化等值命题来取代下列命题。 (x)(GxFx)(y)(HyLy) (y)Hx(x)(ExEy) (x)(Ax(y)(CyCy)  (y)(((x)(AxCyCy)) 第五章 量化逻辑 共118页

49 第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略
第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 涉及量化的证明需要利用第四章所讲的“真值函项规则”，以及本章所讲的量化规则、量化等值规则和归谬法。 下面这些就是使用一元量化的形式演绎例子。所有例子都假定论域被限制到人。 第五章 量化逻辑 共118页

50 第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 例1 所有人都必死。 苏格拉底是人。 All men are mortal.
第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 例1 所有人都必死。 苏格拉底是人。 因此，苏格拉底必死。 分 析 (x)(HxPx) p. Ha p. Pa p. HaPa UI All men are mortal. Socrates is a man. So Socrates is mortal. (x)(HxPx) Ha ∴ Pa 凡人皆有死, 苏格拉底是人， 因此，苏格拉底有死。 5. Pa ,2 MP 6. PaPa ,3 CI 前世今生 第五章 量化逻辑 共118页

51 第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 例2 所有蛇都是没有脚的。 你画的所有东西都是有脚的。 因此，你画的所有东西都不是蛇。 分析
第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 例2 所有蛇都是没有脚的。 你画的所有东西都是有脚的。 因此，你画的所有东西都不是蛇。 分析 (x)(SxJx) p. (x)(DxJx) p. (x)(DxSx) p. (x)(DxSx) QE (DaSa) EI SaJa UI DaJa UI (DaSa) Equiv. DaSa DM DaSa DN DaSa DN Da CS Ja ,12 MP Sa CS Ja ,14 MP JaJa ,15 CI (x)(SxJx) (x)(DxJx) ∴(x)(DxSx) 第五章 量化逻辑 共118页

52 第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 (y)((CaPa)(CyCy)) 5 QE
(CaPa)(CbCb) QE (CbCb) TAUT CaPa ,8 DE (x)(CxVx) QE PaVa UI (CaVa) UI CaVa DM CaVa Equiv. Pa CS Va ,15 MP Ca CS Va ,17 MP VaVa , 18 CI 第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 例3 所有政治家都是投票者。 或者有些公民是政治家或者有些公民不是公民。 因此，有些公民是投票者。 分 析 (x)(PxVx) p. (x)(CxPx)(y)(CyCy) p. (x)(CxVx) p. (x)((CxPx)(y)(CyCy)) 2 QE (CaPa)(y)(CyCy) EI (x)(PxVx) (x)(CxPx)(y)(CyCy) (x)(CxVx) 第五章 量化逻辑 共118页

53 第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 这里还有三条经验性方法： 我们应当尽可能 “例示”。
第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 这里还有三条经验性方法： 我们应当尽可能 “例示”。 我们常常会用量化等值（QE）和真值函项等值来决定做例示的位置。 存在例示应当在全称例示之前进行。 第五章 量化逻辑 共118页

54 第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 证明一元量化论证有效通常需要经过以下程序：
第三节 论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 证明一元量化论证有效通常需要经过以下程序： 写出给定前提，并写出结论的否定命题作为最后一个“前提”。 使用全称例示规则、存在例示规则和量化等值规则。 使用真值函项规则。 演绎出形式为“pp”的矛盾式。 其中，在每个证明中，第1步和第4步是必不可少的，而第2步和第3步使用的顺序是可以改变的。 第五章 量化逻辑 共118页

55 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

56 第四节 直言命题论证有效性证明 检验直言命题论证有效性的主要方法： 文恩图检验 三段论规则检验 欧拉图检验 谓词逻辑检验 第五章 量化逻辑
第四节 直言命题论证有效性证明 检验直言命题论证有效性的主要方法： 文恩图检验 三段论规则检验 欧拉图检验 谓词逻辑检验 第五章 量化逻辑 共118页

57 第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 例 子 用一元量化理论来证明 的有效性。 分 析
第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 例 子 用一元量化理论来证明 的有效性。 分 析 第一步要做的工作是将论证进行一元量化，即： (x)(SxPx) ∴(x)(SxPx) 第二步工作是将结论的否定命题添加到前提清单之中，即：1. (x)(SxPx) 2. (x)(SxPx) 第三步工作是根据上述两个前提构造出矛盾式。 第五章 量化逻辑 共118页

58 第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) p.
第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) p. SaPa EI SaPa UI Sa CS Pa ,5 MP Pa CS PaPa ,7 CI SAP SEP SIP SOP 反对关系 下反对关系 蕴涵关系 矛盾 关系 矛盾 关系 第五章 量化逻辑 共118页

59 第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明
第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 用同样的方法，我们不难构造出其它七种矛盾关系论证 的演绎有效性形式证明。读者可以自己验证一下。 SAP SEP SIP SOP 反对关系 下反对关系 蕴涵关系 矛盾 关系 矛盾 关系 第五章 量化逻辑 共118页

60 第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 例 子 用一元量化理论来证明SAPSIP 的有效性。 分 析
第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 例 子 用一元量化理论来证明SAPSIP 的有效性。 分 析 根据第三章的论述，蕴涵关系只有从存在观点来看才是成立的。 (x)(SxPx) ∴(x)(SxPx) SAP SEP SIP SOP 反对关系 下反对关系 蕴涵关系 矛盾 关系 矛盾 关系 第五章 量化逻辑 共118页

61 第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) p. (x)Sx p.
第四节 直言命题论证有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) p. (x)Sx p. Sa EI (x)(SxPx) QE (SaPa) UI SaPa DM SaPa EQUIV. SaPa UI Pa ,4 MP Pa ,4 MP PaPa ,11 CI 一、对当关系论证有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) QE (SaPa) UI SaPa DM SaPa EQUIV. SaPa UI …… 第五章 量化逻辑 共118页

62 第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明
第四节 直言命题论证有效性证明 一、对当关系论证有效性证明 用同样的方法，我们还可以构造其它七种从存在预设观点才能成立的对当关系论证。读者可以自己验证一下。 SAP SEP SIP SOP 反对关系 下反对关系 蕴涵关系 矛盾 关系 矛盾 关系 第五章 量化逻辑 共118页

63 第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 首先，让我们用一元量化理论来构造换质法论证的形式有效性证明。 例 子
第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 首先，让我们用一元量化理论来构造换质法论证的形式有效性证明。 例 子 用一元量化理论来证明换质论证 的有效性。 分 析 (x)(SxPx) ∴(x)(SxPx) 第五章 量化逻辑 共118页

64 第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) p.
第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) 2 QE (x)(SxPx) DN (x)(SxPx) 4 EQUIV. (x)(SxPx) DN SaPa EI SaPa UI Sa CS Pa ,9 MP Pa CS PaPa ,11 CI 第五章 量化逻辑 共118页

65 第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 用同样的方法，我们可能构造出其它 三种换质法论证的形式有效性证明。
第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 用同样的方法，我们可能构造出其它 三种换质法论证的形式有效性证明。 第五章 量化逻辑 共118页

66 第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 其次，让我们用一元量化理论来构造换位法的形式有效性证明。 例 子
第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 其次，让我们用一元量化理论来构造换位法的形式有效性证明。 例 子 用一元量化理论来证明换质论证 的有效性。 分 析 (x)(SxPx) ∴(x)(PxSx) 第五章 量化逻辑 共118页

67 第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(PxSx) p. Pa 8 CS
第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 (x)(SxPx) p. (x)(PxSx) p. (x)(PxSx) QE (x)(PxSx) 3 EQUIV. (x)(PxSx) 4 DM (x)(PxSx) DN (x)(PxSx) DN PaSa EI Sa CS Pa CS SaPa UI Pa ,9 MP PaPa ,12 CI 第五章 量化逻辑 共118页

68 第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明
第四节 直言命题论证有效性证明 二、直言运算论证的有效性证明 用同样的方法，我们可以构造出SIPPIS的形式证明。但无法构造出SAPPIS的形式证明。要想构造其形式证明，必须引入主项存在。这一点希望读者能够自行验证一下。 第五章 量化逻辑 共118页

69 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 第二格 第三格 第四格 AAA EAE AII EIO AAI EAO
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 AAA 第二格 第三格 第四格 EAE AII EIO AAI EAO AEE AOO AEO IAI OAO 第五章 量化逻辑 共118页

70 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 第二格 第三格 第四格 AAA EAE AII EIO AAI EAO
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 AAA 第二格 第三格 第四格 EAE AII EIO AAI EAO AEE AOO AEO IAI OAO 第五章 量化逻辑 共118页

71 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 第二格 第三格 第四格 AAA EAE AII EIO AAI EAO
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 AAA 第二格 第三格 第四格 EAE AII EIO AAI EAO AEE AOO AEO IAI OAO 第五章 量化逻辑 共118页

72 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 第二格 第三格 第四格 AAA EAE AII EIO AAI EAO
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 AAA 第二格 第三格 第四格 EAE AII EIO AAI EAO AEE AOO AEO IAI OAO 第五章 量化逻辑 共118页

73 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 例 子 用一元量化理论来证明EIO-1的有效性。 分 析 (x)(MxPx)
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 例 子 用一元量化理论来证明EIO-1的有效性。 分 析 (x)(MxPx) (x)(SxMx) ∴(x)(SxPx) 第五章 量化逻辑 共118页

74 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 (x)(MxPx) p. (x)(SxMx) p. Sa 7 CS
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 (x)(MxPx) p. (x)(SxMx) p. (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) QE (x) (SxPx) 4 DM (x) (SxPx) DN SaMa EI MaPa UI SaPa UI Sa CS Ma CS Pa ,11 MP Sa DN Pa ,13 DE PaPa ,12 CI 第五章 量化逻辑 共118页

75 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 第二格 第三格 第四格 AAA EAE AII EIO AAI EAO
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 第一格 AAA 第二格 第三格 第四格 EAE AII EIO AAI EAO AEE AOO AEO IAI OAO 第五章 量化逻辑 共118页

76 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 用同样的方法，我们可以构造出其它三段论有效性的形式证明。
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 用同样的方法，我们可以构造出其它三段论有效性的形式证明。 从存在观点来看，三段论的四个格共有24个有效式。换句话说，有9个式在假设观点下是无效的，它们是：AAI-1、EAO-1、AEO-2、EAO-2、AAI-3、EAO-3、AEO-4、EAO-4和AAI-4。其中，要想构成这些式的有效性证明，AAI-1、EAO-1、AEO-2、EAO-2和AEO-4这五个式需要引入主项存在预设；AAI-3、EAO-3和EAO-4这三个式需要引入中项存在预设；AAI-4需要引入大项存在预设。 第五章 量化逻辑 共118页

77 第四节 直言命题论证有效性证明 存在观点 第一格 第二格 第三格 第四格 引入大项存在预设，即假定P 引入中项存在预设，即假定M
第四节 直言命题论证有效性证明 存在观点 引入大项存在预设，即假定P 第一格 第二格 第三格 第四格 引入中项存在预设，即假定M AAA AEE IAI AEE 引入小项存在预设，即假定S EAE EAE OAO IAI AII AOO AII AEO EIO EIO EIO EIO AAI AEO AAI AAI EAO EAO EAO EAO 第五章 量化逻辑 共118页

78 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 例 子 用一元量化理论构造EAO-3的有效性证明。 分 析 (x)(MxPx)
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 例 子 用一元量化理论构造EAO-3的有效性证明。 分 析 (x)(MxPx) (x)(MxSx) ∴(x)(SxPx) 第五章 量化逻辑 共118页

79 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 (x)(MxPx) p. (x)(MxSx) p. MaSa 2 UI
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 (x)(MxPx) p. (x)(MxSx) p. (x)(SxPx) p. (x)(SxPx) QE (x) (SxPx) 4 DM (x) (SxPx) DN (x) (SxPx) EQUIV. SaPa UI MaPa UI MaSa UI MaPa ,8 CH …… 第五章 量化逻辑 共118页

80 第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 (x)(MxPx) p. (x)(MxSx) p. SaPa 9 UI
第四节 直言命题论证有效性证明 三、三段论的有效性证明 (x)(MxPx) p. (x)(MxSx) p. (x)(SxPx) p. (x)Mx p. Ma EI (x)(SxPx) QE (x) (SxPx) 6 DM (x) (SxPx) DN (x) (SxPx) EQUIV. SaPa UI MaPa UI MaSa UI MaPa ,10 CH Pa ,5 MP Pa , 5 MP PaPa ,15 CI 第五章 量化逻辑 共118页

81 第四节 直言命题论证有效性证明 存在观点 第一格 第二格 第三格 第四格 引入大项存在预设，即假定P 引入中项存在预设，即假定M
第四节 直言命题论证有效性证明 存在观点 引入大项存在预设，即假定P 第一格 第二格 第三格 第四格 引入中项存在预设，即假定M AAA AEE IAI AEE 引入小项存在预设，即假定S EAE EAE OAO IAI AII AOO AII AEO EIO EIO EIO EIO AAI AEO AAI AAI EAO EAO EAO EAO 第五章 量化逻辑 共118页

82 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

83 第五节 归谬法的其它应用 在本书中，我们所讲的归谬法是建立在“不可能前提真而结论为假”这一演绎有效性规则基础之上的，因此，其主要功能是通过构造形式证明来检验论证的有效性。在此，我们还可用这种方法来检验蕴涵式、重言式和矛盾式以及等值式是否成立问题。 第五章 量化逻辑 共118页

84 p(pq) 第五节 归谬法的其它应用 一、蕴涵检验
第五节 归谬法的其它应用 一、蕴涵检验 要检验一个命题是否蕴涵另一个命题，我们需要把第一个命题当作前提，而把另一个命题的否定命题当作另一个前提，然后看看它能否推导出矛盾式。 如果能够推导出矛盾式，则该蕴涵成立； 如果不能推导出矛盾，那该蕴涵不成立。 例 子 试证明“(x)Fx”蕴涵“(x)(FxGx)”。 分 析 p(pq) 第五章 量化逻辑 共118页

85 第五节 归谬法的其它应用 一、蕴涵检验 (x)Fx p. (x)Fx p. (x)(FxGx) p.
第五节 归谬法的其它应用 一、蕴涵检验 (x)Fx p. (x)(FxGx) p. (x)(FxGx) QE (x)(FxGx) 3 DM FaGa UI Fa EI Fa CS FaFa ,7 CI (x)Fx p. (x)(FxGx) p. (x)(FxGx) QE (x)(FxGx) 3 DM Fa EI FaGa UI Fa CS FaFa ,7 CI 第五章 量化逻辑 共118页

86 第五节 归谬法的其它应用 一、蕴涵检验 思考题 试证明下列蕴涵成立。 (x)Gx蕴涵(x)Gx
第五节 归谬法的其它应用 一、蕴涵检验 思考题 试证明下列蕴涵成立。 (x)Gx蕴涵(x)Gx (x)(FxGx)蕴涵(x)((FxHx)(GxHx)) 第五章 量化逻辑 共118页

87 第五节 归谬法的其它应用 pp 二、重言式与矛盾式检验
第五节 归谬法的其它应用 二、重言式与矛盾式检验 要检验一个命题是否是矛盾式是非常简单的，即以该命题作为前提进行推导，看看能否推导矛盾“pp”。 如果能，那么矛盾式成立； 如果不能，矛盾式便不成立。 例 子 试证明命题形式“(y)Ay(x)Ax”是一个矛盾式。 分 析 要想检验该命题形式是否矛盾式，只要把这个命题作为前提，看看能否直接推导出形式为“pp”矛盾即可。 pp 第五章 量化逻辑 共118页

88 第五节 归谬法的其它应用 二、重言式与矛盾式检验 (y)Ay(x)Ax p. (x)Ax 1 CS Aa 2 EI
第五节 归谬法的其它应用 二、重言式与矛盾式检验 (y)Ay(x)Ax p. (x)Ax CS Aa EI (y)Ay CS Aa UI AaAa ,3 CI 第五章 量化逻辑 共118页

89 第五节 归谬法的其它应用 pp 二、重言式与矛盾式检验 要检验一个命题形式是否为重言式，只要否定这个命题，然后推导出矛盾即可。 例 子
第五节 归谬法的其它应用 二、重言式与矛盾式检验 要检验一个命题形式是否为重言式，只要否定这个命题，然后推导出矛盾即可。 例 子 试证明“(x)Cx(y)Cy ”为重言式。 分 析 否定这个命题，然后演绎出矛盾。 pp 第五章 量化逻辑 共118页

90 第五节 归谬法的其它应用 二、重言式与矛盾式检验 ((x)Cx(y)Cy) p. (x)Cx(y)Cy 1 DM
第五节 归谬法的其它应用 二、重言式与矛盾式检验 ((x)Cx(y)Cy) p. (x)Cx(y)Cy DM (x)Cx CS (y)Cy CS (x)Cx QE (y)Cy QE (y)Cy DN Ca EI Ca UI CaCa ,9 CI 第五章 量化逻辑 共118页

91 第五节 归谬法的其它应用 pp (pq)(pq) 二、重言式与矛盾式检验 思考题 用归谬法证明：
第五节 归谬法的其它应用 二、重言式与矛盾式检验 思考题 用归谬法证明： (y)((x)HxHy)是一个重言式。 (x)(GxFx)(y)(FyGy)是一个矛盾式。 pp (pq)(pq) 第五章 量化逻辑 共118页

92 第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 要检验两个命题是否等值，需要检验两个命题是否相互蕴涵。 例 子
第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 要检验两个命题是否等值，需要检验两个命题是否相互蕴涵。 例 子 试证明“(x)Ax(x)Bx ”等值于“(x)(AxBx)”。 分 析 首先，让我们证明右边蕴涵左边，即证明“(x)Ax(x)Bx ”蕴涵“(x)(AxBx)”。 第五章 量化逻辑 共118页

93 第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 (x)Ax(x)Bx p. (x)(AxBx) p. (x)(AxBx) 2 QE
第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 (x)Ax(x)Bx p. (x)(AxBx) p. (x)(AxBx) QE (x)(AxBx) DM (x)(Ax(x)Bx) 1 QE Aa(x)Bx EI AaBa UI Aa CS (x)Bx ,7 DE Bb EI AbBb UI Bb CS BbBb ,13 CI 第五章 量化逻辑 共118页

94 第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 要检验两个命题是否等值，需要检验两个命题是否相互蕴涵。 例 子
第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 要检验两个命题是否等值，需要检验两个命题是否相互蕴涵。 例 子 试证明“(x)Ax(x)Bx ”等值于“(x)(AxBx)”。 分 析 首先，让我们证明左边蕴涵右边，即证明“(x)Ax(x)Bx ”蕴涵“(x)(AxBx)”。 然后，让我们证明右边蕴涵左边，即证明“(x)(AxBx)”蕴涵“(x)Ax(x)Bx ” 。 第五章 量化逻辑 共118页

95 第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 (x)(AxBx) p. ((x)Ax(x)Bx) p.
第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 (x)(AxBx) p. ((x)Ax(x)Bx) p. (x)Ax(x)Bx 2 DM (x)Ax CS (x)Ax QE (x)Bx CS (x)Bx QE AaBa EI Aa UI Ba ,9 DE Ba UI BaBa ,11 CI 第五章 量化逻辑 共118页

96 第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 要检验两个命题是否等值，需要检验两个命题是否相互蕴涵。 例 子
第五节 归谬法的其它应用 三、等值式检验 要检验两个命题是否等值，需要检验两个命题是否相互蕴涵。 例 子 试证明“(x)Ax(x)Bx ”等值于“(x)(AxBx)”。 分 析 首先，让我们证明左边蕴涵右边，即证明“(x)Ax(x)Bx ”蕴涵“(x)(AxBx)”。 然后，让我们证明右边蕴涵左边，即证明“(x)(AxBx)”蕴涵“(x)Ax(x)Bx”。 我们既证明了第一命题蕴涵第二个命题，又证明了第二个命题蕴涵第一个命题，因此，这两个命题是等值的。 第五章 量化逻辑 共118页

97 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

98 第六节 一般量化理论 一元量化理论处理的是带一个变元命题的符号化，因此，我们称之为“一元量化理论”。然而，在自然语言中，有些语句是单句，但并不是陈述句，不能翻译成A、E、I或O命题形式，它反映的是两个或两个以上对象之间的关系。反映两类对象之间关系的命题，被称为“关系命题”。这种命题需要带有多个变元才能处理其形式。 第五章 量化逻辑 共118页

99 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 关系
第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 关系 一个关系（relation）把几个东西串在一起了，因而，使用一元量化理论无法表达这类命题。例如，“x支持y”是一种可以被符号化为Sxy的关系，它可解释为x与y之间有S这种关系。 这个表达式既可以是指“美国支持巴基斯坦”，又可以是指“巴基斯坦被美国支持”，但或许对于巴基斯坦来说，重要的是这并不意味着“巴基斯坦支持美国”。 因此，在关系中，一旦被指定，变元的次序变得相当重要。 第五章 量化逻辑 共118页

100 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 在处理关系命题时，我们对一元量化理论进行扩充是必要的。现在，有一个量词落入了另一个量词的辖域内也是可能的。例如： 1. (x)(y)Sxy。 某东西支持某东西 2. (x)(y)Sxy 每个东西都支持至少某个东西 3. (x)(y)Sxy 至少存在一个东西x，使得x支持每个东西y 量词顺序影响着其意义的翻译 第五章 量化逻辑 共118页

101 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 2. 关系命题的符号化
第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 2. 关系命题的符号化 假如我们只涉及到国家，即把我们的论域限制到国家，那么，下列一般命题可以被看作典型的关系命题例子，而且这些关系的可以被符号化为： 第五章 量化逻辑 共118页

102 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 =(y)(x)Sxy 每个国家都支持每个国家。 1. 不同变元用来表达命题中提及的不同东西。
第六节 一般量化理论 =(y)(x)Sxy 一、关系命题的符号化 每个国家都支持每个国家。 某个国家支持某个国家。 每个国家都支持自己。 至少有一个国家支持自己。 某个国家支持每个国家。 每个国家都被某个国家支持。 某个国家被每个国家支持。 每个国家都支持某个国家。 1. 不同变元用来表达命题中提及的不同东西。 =(x)(y)Sxy =(x)(y)Sxy =(x)Sxx =(x)Sxx =(x)(y)Sxy 2. 在命题中，量词位置总是有一定次序的。 =(y)(x)Sxy =(x)(y)Syx =(y)(x)Syx 第五章 量化逻辑 共118页

103 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 思考题 令“Dxy”代表“x保卫y”，并把论域限制到国家，然后，将下列命题进行符号化。
第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 思考题 令“Dxy”代表“x保卫y”，并把论域限制到国家，然后，将下列命题进行符号化。 每个国家都保卫自己。 某个国家保卫每个国家。 每个国家都保卫某个国家。 第五章 量化逻辑 共118页

104 第六节 一般量化理论 (y)(x)Sxy 一、关系命题的符号化
第六节 一般量化理论 (y)(x)Sxy 一、关系命题的符号化 如果我们不把论域限制到国家，那么我们的翻译就必须更加清楚，因此需要更加详细。 首先，让我们考虑上述第6个命题“每个国家都被某个国家支持”，其翻译过程如下： 步骤一：每个y使得，如果y是一个国家，那么，y就被某个国家支持。 步骤二： (y)(Cyy被某个国家支持）。 步骤三： (y)(Cy(x)(x是一个国家而且y被x支持))。 步骤四： (y)(Cy(x)(CxSxy))。 第五章 量化逻辑 共118页

105 第六节 一般量化理论 (x)(y)Syx 一、关系命题的符号化
第六节 一般量化理论 (x)(y)Syx 一、关系命题的符号化 如果我们不把论域限制到国家，那么我们的翻译就必须更加清楚，因此需要更加详细。 其次，让我们来考虑第7个命题“某个国家被每个国家支持”的翻译过程。 步骤一：至少存在一个国家被每个国家支持。 步骤二：(x)(x是国家x被每个国家支持）。 步骤三：(x)(Cx(y)(y是一个国家x被y支持))。 步骤四：(x)(Cx(y)(CySyx))。 第五章 量化逻辑 共118页

106 第六节 一般量化理论 (y)(x)Syx 一、关系命题的符号化
第六节 一般量化理论 (y)(x)Syx 一、关系命题的符号化 如果我们不把论域限制到国家，那么我们的翻译就必须更加清楚，因此需要更加详细。 最后，让我们再来考虑一下第8个命题“每个国家支持某个国家”的翻译过程。 步骤一：每个国家都支持至少一个国家。 步骤二：每个y使得，如果y是一个国家，那么y支持至少一个国家。 步骤三：(y)(如果y是一个国家，那么y支持至少一个国家）。 步骤四：(y)(Cy(x)(CxSyx)) 第五章 量化逻辑 共118页

107 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 思考题 根据刚才所讲的翻译过程，在不限制论域情况下，将下列命题翻译成符号形式。
第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 思考题 根据刚才所讲的翻译过程，在不限制论域情况下，将下列命题翻译成符号形式。 每个国家保卫自己。 某个国家保卫每个国家。 每个国家保卫某个国家。 第五章 量化逻辑 共118页

108 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 甚至当我们假定了论域时，也最好根据上述过程进行翻译。特别是在处理含有量词的复合命题时，这非常有帮助。 第五章 量化逻辑 共118页

109 第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 例 子
第六节 一般量化理论 一、关系命题的符号化 例 子 如果每个国家都保卫自己，那么，如果中国遭到某个国家攻击，那么中国就会保卫自己。（假定论域被限制到国家，令c＝中国， Dxy＝x保卫y，Axy＝x攻击y） 分 析 每个国家都保卫自己 中国遭到某个国家攻击 中国就会保卫自己 (x)Dxx((y)DycDcc) =(x)Dxx =(y)Dyc =Dcc 第五章 量化逻辑 共118页

110 第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 涉及到关系和在量词辖域内量词的形式演绎同样需要遵守前述一元量化理论中的规则。可是，在具体进行例示时，需要特别注意以下三点： 首先，全称例示和存在例示都必须总是涉及到管辖了这个命题其它部分的量词。 其次，全称例示和存在例示都应当用一个名称或个体来取代且只取代那些落入量词辖域内的变元出现。 最后，必须注意不要混合使用或用完证明中有用的字母。在考虑存在例示时这一点尤其重要。 第五章 量化逻辑 共118页

111 第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 例 子 请构造下列论证的形式证明。 (x)(y)(CyLxy) (x)(y)(ByLxy)
第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 例 子 请构造下列论证的形式证明。 (x)(y)(CyLxy) (x)(y)(ByLxy) ∴(x)(CxBx) 分 析 (x)(CxBx) 第五章 量化逻辑 共118页

112 第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 CbBb 8 EI (x)(y)(CyLxy) p. Cb 10 CS
第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 (x)(y)(CyLxy) p. (x)(y)(ByLxy) p. (x)(CxBx) p. (x)(CxBx) QE (x)(CxBx) 4 EQUIV (x)(CxBx) 5 DM (x)(CxBx) DN (x)(CxBx) DN (y)(CyLay) EI CbBb EI Cb CS CbLab UI Lab ,11 MP (y)(ByLay) UI BbLab UI Bb CS Lab ,16 MP LabLab ,17 CI 第五章 量化逻辑 共118页

113 第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 请构造下列论证的形式证明。 例 子 (x)(y)Sxy ∴ (y)(x)Sxy 分 析
第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 例 子 请构造下列论证的形式证明。 (x)(y)Sxy ∴ (y)(x)Sxy 分 析 (x)(y)Sxy p. (y)(x)Sxy p. 第五章 量化逻辑 共118页

114 第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 (x)(y)Sxy p. (y)(x)Sxy p. (y)(x)Sxy 2 QE
第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 (x)(y)Sxy p. (y)(x)Sxy p. (y)(x)Sxy QE (y)(x)Sxy QE (y)Say EI (x)Sxb EI Sab UI Sab UI SabSab ,8 CI 第五章 量化逻辑 共118页

115 第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 例 子 请构造下列论证的形式证明。 (x)CaxDbb (x)Cax ∴(y)Dby 分 析
第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 例 子 请构造下列论证的形式证明。 (x)CaxDbb (x)Cax ∴(y)Dby 分 析 (x)CaxDbb p. (x)Cax p. (y)Dby p. 第五章 量化逻辑 共118页

116 第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 (x)CaxDbb p. Dbb 4 UI DbbDbb 9,10 CI
第六节 一般量化理论 二、一般量化演绎 (x)CaxDbb p. (x)Cax p. (y)Dby p. (y)Dby QE Cac EI (x)(CaxDbb) QE CacDbb UI Cac DN Dbb ,8 DE Dbb UI DbbDbb ,10 CI 第五章 量化逻辑 共118页

117 目录 量词符号化 第一章 引论 第二章 论证 直言命题符号化 第三章 直言命题逻辑 论证有效性证明 第四章 真值函项逻辑
直言命题论证有效性证明 归谬法的其它应用 一般量化理论 第一章 引论 第二章 论证 第三章 直言命题逻辑 第四章 真值函项逻辑 第五章 量化逻辑 第六章 归纳逻辑 第七章 论证评价与谬误 主要参考文献 关键术语与人名中英文对照 第五章 量化逻辑 共118页

118 作业： 本章后面的所有练习题，下周四之前提交。 第五章 量化逻辑 共118页