§3平面曲线的弧长与曲率.

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1 §3平面曲线的弧长与曲率

2 本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计
算公式. 一、平面曲线的弧长 定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:

3 定义2 设平面曲线 C 由参数方程

4 定理10.1 (光滑曲线弧长公式) 设曲线 C 由参数方 若C为一光滑 曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为

5 证 于是

6 因此

7 由第一章§1习题 6 可知 于是,

8 即 从而

9 注1 若曲线 C 由直角坐标方程 表示,则 C 亦可看作 因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时, 注2 若曲线 C 由极坐标方程 示,则 C 又可看作 由于

10

11 例1 a 解

12 例 2 解 例3 段弧长. 解

13 *二、平面曲线的曲率 曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示, 在光滑曲线 上, 弧段 与 的长度相差不 多而弯曲程度却很不一样.
在光滑曲线 上, 弧段 与 的长度相差不 多而弯曲程度却很不一样. 这反映动点沿曲线从P 移 到Q 时, 切线转过的角度 比动点从Q 移到 R 时切线. 转过的角度 要大得多

14 设 表示曲线在点 处切线的倾角, 表示动点由 P 沿曲线移至 时切线倾角的增量.若 之长为 ,则称 为弧段 的平均曲率.如果存在有限极限

15 则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率. 由于曲线光滑,故总有 可得

16 即 若曲线由 表示,则 例1 求椭圆 上曲率 最大和最小的点. 解 由于

17 因此椭圆在各点的曲率为 当 时, 在 处曲率最大,在 处曲率最小, 由例1可得,若 则各点处曲率相等, 为

18 显然, 直线上各点处的曲率为 0. 设曲线上一点P处曲率 若过 P 作一个半径为 的圆, 使它在点 P 处与曲线有相同的切线, 并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧(见图). 我们把这个圆称为曲线 在 P 处的曲率圆.曲率圆 的半径称为曲率半径, 曲 率圆的圆心称为曲率中心.

19 火车轨道从直道进入半径为 R 的 例2 如图所示, 圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨 道(用虚线表示), 使得曲率由零连续地变到 以保证火车行驶安全 (使火车的向心加速度

20 缓冲曲线常采用三次 曲线 对此曲线用曲率公式求得:

21 因此曲线段 的曲率从 0 渐渐增加到接近于 从而起到缓冲 作用.