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第四章几种重要的分布 4.1 二项分布 4.2 超几何分布 4.3 普哇松分布 4.4 指数分布 4.5 Γ-分布 正态分布
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贝努里(Bernoulli)概型与二项分布
4.1二项分布 （一）随机变量ξ的分布律 贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 或
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2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为
其中0<P<1,q=1-p, 则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作ξ~B（n,p)
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P{ξ=k}的值恰好是二项式（q+px)n展开式中第k+1项xk的系数。
ξ的分布函数为: 事件Ａ至多出现m次的概率是 事件Ａ出现次数不小于不大于 的概率是
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例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.
(1)设ξ为汽车行驶途中遇到的红灯数,求ξ的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意,ξ~B(6,1/3),于是,ξ的分布律为:
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例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近６天内用水量正常的天数的分布。
例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近６天内用水量正常的天数的分布。 解 设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从二项分布，ξ～B( ) 用公式（4.1）计算其概率值，得到： 1 2 3 4 5 6 P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
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例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布
例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布 解：ξ服从二项分布，ξ～B( ) 可用贝努里公式计算pk。 现将计算结果列成分布表如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00
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例３ 一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样 （有放回抽取），求出现废品的频率为０.１的概率。 解 令ξ表示2０次重复抽取中废品出现的次数， 它服从二项分布。ξ～B( )
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（二）二项分布的期望和方差 二项分布B(n, p)
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二项分布B(n, p)：
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例3 若ξ~B(n,p),求E(ξ) 解:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则
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求Dξ 第i次试验事件A发生 设 第i次试验事件A不发生 则
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（三）二项分布的最可能值 二项分布中ξ可以取值0,１,…, n。使概率Ｐ{ξ=k}取 最大值的k，记作k0，称k0为二项分布的最可能值。
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由(2)得
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(4.3)
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例４ 某批产品中有８０％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出４个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证。
解 ξ服从二项分布，ξ～B( ) np+p= =4是整数，所以k0=4 和 k0=3时 Ｐ{ξ＝k0}为最大。即取出４个样品时， 一等品个数最可能是３或４。 用贝努公式计算ξ的分布律下 ξ 1 2 3 4 p 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096
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４.２超几何分布 例１ 某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。
例１ 某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。 解 ξ可以取０，１，２，３，４这５个值， 计算结果列成概率分布表如下： ξ 1 2 3 4 p 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010
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例２ 若一班有学生２０名，其中３名女同学，从班上任选４名去参观，求被选到的女同学人数ξ这一随机变量的分布律。
解 可以取０,１,２,３这４个值。 列成概率分布如下 ξ 1 2 3 p 0.4912 0.4211 0.0842 0.0035
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定义４２ 设Ｎ个元素分为两类，有Ｎ１个属于第一类，Ｎ２个属于第二类（Ｎ１＋Ｎ２＝Ｎ）。从中按不重复抽样取n个，令ξ表示这n个中第一（或二）类元素的个数，则ξ的分布称为超几何分布。其概率函数是
p 1 q p 当N→∞时， 超几何分布以二项分布为极限
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例３ 一大批种子的发芽率为90％，今从中任取10粒，求播种后，（１）恰有8粒发芽的概率； （２）不少于8粒发芽的概率。
例３ 一大批种子的发芽率为90％，今从中任取10粒，求播种后，（１）恰有8粒发芽的概率； （２）不少于8粒发芽的概率。 解 设10粒种子中发芽的种子数目为ξ。因10粒种子是由一大批种子中抽取的，这是一个Ｎ很大，n相对于Ｎ很小的情况下的超几何分布问题，可用二项分布公式近似计算。ξ～B( )
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４.３普哇松分布 定义 如果随机变量ξ的概率函数是 其中 λ>0 ，则称ξ 服从普哇松(Poisson) 分布。 利用级数 易知
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由于 或 两边对求导得 或
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普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中。 如一段时间内，电话用户对电话台的呼唤次数， 候车的旅客数，原子放射粒子数， 织机上断头的次数， 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等。 在二项分布中，ξ～B(n，p)当n比较大，p很小时， 用普哇松分布近似代替二项分布的公式，其中 λ＝np 普哇松分布的方便之处在于有现成的分布表 （见附表一）可查，免于复杂的计算。
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普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的普哇松分布 ξ～B(n,p)与ξ～Pλ(ξ=k)的比较
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例 ξ服从普哇松分布，Eξ=5,查表求 P(ξ=2)= P(ξ=5)= P(ξ=20)= 解 因普哇松分布的参数λ就是它的期望值Eξ， 故 λ=5查书后附表一， 有p5(2)= p5(5)= P5(20)=0
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例2 一大批产品的废品率为 p= 求任取一箱 （有100个产品），箱中恰有一个废品的概率。 解 所取一箱中的废品个数 服从超几何分布， 由于产品数量N很大，可按二项分布公式算， 其中n=100, p=0.015 但由于ｎ较大而ｐ很小， 可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算。 其中λ =np=1.5,查表得： 误差不超过0.01
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试用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际 检查结果比较。
例３ 检查了100个零件上的疵点数，结果如表4-6: 疵点数 1 2 3 4 5 6 频数 14 27 26 20 7 频率 0.14 0.27 0.26 0.20 0.07 0.03 概率 0.1353 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 试用普哇松分布公式计算疵点数的分布，并与实际 检查结果比较。 解： 要用普哇松(Poisson) 分布公式计算，首先要求出λ
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y y θ θ x
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指数分布 定义 如果随机变量ξ的概率密度为 x 其中λ>0，则称ξ服从参数为λ的指数分布。 易知 它的分布函数
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对任何实数a,b （0≤a<b),有 在习题三第12题中已经算出它的期望和方差：
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指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如
随机服务系统中的服务时间，某些消耗性产品（电子 元件等）的寿命等等，都常被假定服从指数分布。 假若产品的失效率为λ，则产品在t( t>0) 时间 失效的分布函数 而产品的可靠度为:
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例1 某元件寿命ξ服从参数为λ(λ-1 =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？
例1 某元件寿命ξ服从参数为λ(λ-1 =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ 解 参数为λ的指数分布的分布函数为 各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为
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例 .电子元件的寿命ξ(年）服从参数为3的指数分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解
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参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。
设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从 参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。 解 当t ≤0时， 当t >0时， =1- {在t时刻之前无汽车过桥} 于是
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4.5 Γ-分布 定义4.5 如果连续性随即变量ξ具有概率密度 其中λ>0，r>0，则称ξ服从Γ-分布，记作ξ～Γ(λ,r)
Γ-分布 定义 如果连续性随即变量ξ具有概率密度 其中λ>0，r>0，则称ξ服从Γ-分布，记作ξ～Γ(λ,r) 这里的Γ(r)就是微积分里定义的 Γ-函数，即
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当r>0时这个积分式收敛的，利用Γ-函数的定义可以证明
还可以计算出 Γ-分布在概率论，数理统计和随机过程中都有不少应用。 当r=1时，为指数分布
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当r为正整数时， 它是排队论中常用到的r阶爱而朗分布；
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当r =n/2(n是正整数），λ=1/2时 就是具有n个自由度的χ2分布 简记作χ2 (n) 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一。 自由度: 表示进入到所要考虑的统计问题中自由变量的个数 多一个约束条件,就少一个自由变量.
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定理4.1 如果ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，且ξi服从参数为λ,ri的Γ-分布，则它们的和 ξ1+ξ2+…+ξn服从参数为 r1+r2+…+rn的Γ－分布
Γ-分布具有可加性 证明：略
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4.6 正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 B A
正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 B A A，B间真实距离为，测量值为ξ。ξ的概率密度应该是什么形态？
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（一） 正态分布的概率密度 定义 如果连续型随机变量ξ的概率密度为 其中σ,μ为常数，并且σ>0，则称ξ服从参数为μ,σ正态分布， 简记作N(, 2) 利用普哇松积分 可以验证
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＝0
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特别地，当参数μ=0，σ =1时，φ(x) 可以写成
称它为标准正态分布的概率密度，简记作N(0,1)
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其中 为实数， >0 ，则称ξ服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为ξ～N(, 2).
若随机变量 其中 为实数， >0 ，则称ξ服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为ξ～N(, 2).
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正态分布有两个特性： (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称；(p93) φ()＝maxφ(x)＝
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(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布
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（二） 标准正态分布概率密度φ0(x)的性质及
概率密度函数表 标准正态分布ξ～N(0,1)密度函数表示为 分布函数表示为
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φ0(x)除具有一般概率密度的性质外，还有下列性质：
（2） φ0(-x) = φ0(x) ，即 φ0(x) 的图形关于y轴对称； （3） φ0(x)在( -∞，0)内严格上升，在 ( 0,+∞) 内严格下降，在x=0处达到最大值： （4） φ0(x) 在x= ±1处有两个拐点； （5） 即x轴是曲线 φ0(x) 的水平渐近线。 例1 介绍查概率密度函数表
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例1 ξ～N(0,1) 求 0.3391 0.3989
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（三）一般正态分布与标准正态分布的关系 定理 如果 其概率密度分别记为 分布函数分别记为 证:
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定理 如果 称随机变量函数 为标准化变换。 证：
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（四） 标准正态分布函数表 如果ξ～N(0,1),则对大于零的实数x, 的值可以由附表三直接查到。
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例2 = 0.975 ＝P(ξ≥1.96)=1- P(ξ≤1.96)=0.025 =P(-1.96≤ξ≤1.96)= =0.95 = －1 = ＝1
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∴如果ξ～N(0,1)，则
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例3 解：
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例4 解： 查表得：
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P{1.32<ξ<2.43}=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066
若 ξ~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.32<ξ<2.43}=(2.43)-(1.32) = 正态分布表 注：(1) (x)＝1－ (－x)； (2) 若X～N(, 2)，则
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（五）正态分布与Γ-分布的关系 定理 4.4 如果 ξ服从N(0, 1)，则ξ2服从 λ＝0.5，r=0.5的Γ-分布，即 证：
当x≤0时， 当x>0时
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当x>0时
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（六） 二元正态分布 定义4.7 若二元连续型随机变量（ξ，η）的联合概率密度为 （4.16） 其中 均为常数 。
定义 若二元连续型随机变量（ξ，η）的联合概率密度为 （4.16） 其中 均为常数 。 时，称（ξ，η）服从二元正态分布
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定理 4.5 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。
定理 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。 证：设（ξ，η）的联合概率密度由（4.16）式给出， ξ的边缘概率密度记为 ＝1
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由第三章的知识我们知道： 相互独立的两个随机变量一定不相关ρ＝0 但是不相关的随机变量不一定独立 然而对于二元正态分布来说，有定理4.6成立
定理4.6 服从二元正态分布的随机变量（ξ,η ) 它们独立的充分必要条件是ξ与η的相关系数ρ=0
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证：必要性 充分性
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定义 若连续型随机变量ξ的概率密度为 称ξ服从具有n个自由度的t分布，简记为t（n）。
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定义4.9 若连续型随机变量 ξ的概率密度为 称 ξ 服从具有第一个自由度为 n1 ， 第二个自由度为n2 的F分布，简记为
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