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九年级数学总复习 动态中的定值问题 九年级数学备课组 刘 素 琴
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中考热点 命题趋势 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。 动态题是近年来中考的一个热点问题。
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“动态”回放 （2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围； （3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．
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“动态”回放 （2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
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“动态”回放 （2015•扬州）如图，已知⊙O 的直径AB=12cm,AC是⊙ 的弦，过点C作⊙O 的 切线交BA的延长线于点P，连接BC
（1）求证：∠PCA=∠B （2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长.
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“动态”回放 （2016•一模）如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交……． （1）线段AN的取值范围是 （2）当0＜t＜2时，①求证：MN:NP为定值；② ……． （3）当2＜t＜5时，①求证：MN:NP为定值； ② ……．
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走近“动态” 动态 特征 以几何知识和图形为背景，主要研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的变化规律或特点的一类试题. 就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、定值问题及存在性问题等. 动态 类型 解这类题要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，或抓住“变”中的“不变”、运动中的变化规律等. 基本策略
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热身运动 （2014•扬州） AB=10 已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； AB=10
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合作探究 例1.如图2，在“自主练习”中的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． （ EF= ）
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求动态中的定值问题基本策略和要点 “以静制动”， 抓住“变”中的“不变”， 构建合适的“模型”或“基本图形”突显内在联系.
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合作探究 求路径长的定值问题关键 怎么求？ 是什么？
例2.如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（点P与A、B、C、D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，求点Q走过的路径长. 求路径长的定值问题关键 怎么求？ 是什么？
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变式拓展 （15年桂林） 如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长. （ 8 ）
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回顾反思 ？ 谈谈你本节课的收获…….
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当堂反馈 如图①，A（-8，0）、B（2,0）、点C在y轴上，若tan∠ABC=3，直线l绕点A以AB为起始位置顺时针转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点. （1）求点P的运动路径长.
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（2）如图②，过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由.
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谢谢！
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归类 建模 2.如图1，小军将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决． （1）省略. （2）如图3，在（1）的条件下，小军先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，当两纸片重叠部分的面积为10cm2时，求点G平移的距离．
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概念引入 勾股值 平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横坐标x 的绝对值表示为 ，纵坐标 y的绝对值表示为 ，我们把点P （x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 P （x，y）的勾股值，读作“点p的勾股值”，记为：「P 」， 即「 P」= ，（其中的“+”是四则运算中的加法）
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概念学习 y P（x，y） 勾 x 股 已知点A（1,2），它的勾股值即「A」=? ∵A（1,2），∴「A」=
请列举一个点坐标，并计算这个点的勾股值. y P（x，y） 勾 x H 股
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「A」= 概念学习 错 错 错 对 2.判断正误： 坐标平面内的点A（a，b），若「A」=5， （1）a+b=5 ； （ ） （2） （ ）
2.判断正误： 坐标平面内的点A（a，b），若「A」=5， （1）a+b=5 ； （ ） （2） （ ） （3） （ ） 错 错 错 「A」= 对
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？ 理解应用 1.求下列点的勾股值. （1）已知 ，求「A」. （2）点B 在第二象限，求「B」. 已知「P」=3，则点P的坐标是（ ？）
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理解应用 2.点M 在函数 的图像上， 且「M 」=6，求点M 的坐标； y X≥0时，y≥0 ？ x X＜0时，y＜0
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变式拓展 ？ 求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积. 条件如何转化呢？ ？
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变式拓展 y 3 3 x -3 -3 解：设N（x，y）， ∵ 「N」=3 ∴ + =3
∴ =3 （1）若x≥0,y＞0时，则x+y=3，即y=－x+3， （2）若x≥0,y＜0时，则x－y=3，即y=x－3， （3）若x＜0,y≥0时，则－x+y=3，即y=x+3， （4）若x＜0,y≤0时，则－x－y=3，即y=－x－3， ∴满足条件 的所有点 围成的图形是正方形，如图. ∴满足条件 的所有点 围成的图形的面积为18. 3 3 x -3 -3
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回扣目标 ？ 谈谈你本节课的收获…….
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课堂反馈 1.若「P 」=0，则点P在 . 2.对于平面内的点E（x0，y0）若「E」= ，则下列式子表达正确的是（ ）
A．x0+y0= B．x02+y02=3 C． D．
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学习快乐！ 快乐成长！
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课堂反馈 1.若「P 」=0，则点P在 . 2.对于平面内的点E（x0，y0）若「E」= ，则下列式子表达正确的是（ ）
（0,0） D A．x0+y0= B．x02+y02=3 C． D．
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课堂反馈 3.求点A（2，-1） , 的勾股值「A」、「B」. 4.点D在函数 的图像上，且「D」=3，求点D的坐标； 「A」 =3
5.求满足条件「N」+1=3的所有点N围成的图形的面积 围成的图形面积为8
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变式拓展 1.点C在函数 的图像上，且「C」=4，求点C的坐标； y x （0,1） 0＜X＜0.5时，y＞0 当X＜0时，y＞0
（0.5,0） x 当X＞0.5时，y＜0
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