指导教师：郑振龙教授、博导 作者：康朝锋 厦门大学金融系金融工程博士研究生

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1 指导教师：郑振龙教授、博导 作者：康朝锋 厦门大学金融系金融工程博士研究生 kcfxm@163.com
中国利率衍生产品的定价和保值 Pricing and Hedging of Chinese Interest Rate Derivatives 指导教师：郑振龙教授、博导 作者：康朝锋 厦门大学金融系金融工程博士研究生

2 主要内容 引言 利率衍生产品定价和保值的一般原理 资产价格动态与利率动态 可赎回债券和可回售债券的定价 外汇结构性存款的定价
考虑期权后的久期、凸度和利率风险管理 含权债券利率风险的衡量 期权调整久期在银行利率风险管理中的运用

3 引言 利率衍生产品是价值依赖于利率变动的金融产品（例如利率上限、利率下限、互换以及远期利率协议等）。 常见利率衍生产品：
远期利率协议（Interest Rate Forward Rate Agreement）； 利率期货（Interest Rate Futures）； 利率互换（Swap）； 债券期权（Bond Options）； 利率上限（Cap）；利率下限（Floor）；利率双限（Collar）； 互换的期权或互换期权（Swaptions） 内嵌（Embeded）的利率衍生产品 银行资产和负债中内嵌的利率衍生产品 ； 结构化票据中内嵌的利率衍生产品 。

4 利率衍生产品的重要性：交易所交易衍生产品分布概況（2002）

5 利率衍生产品的重要性：交易所交易衍生产品分布概況（2003年1－10月）

6 利率衍生产品的重要性：交易所交易衍生产品增长概況

7 利率衍生产品定价和保值的理论研究文献 1973年Black-Scholes期权定价模型的创立。
BS模型在期货期权上的推广——Merton（1973）模型。 假设债券的价格和股票的价格服从相同的随机过程是不合理的。 均衡模型 以Vasicek（1977）为代表 ：拟合利率的均值回归 。 Cox，Ingersoll和Ross（1985）：一般均衡模 。 均衡模型的估计结果经常和实际数据不一致 。 套利模型 Black-Derman-Toy（1990）模型、Hull-White（1994）模型、Ho-Lee模型和Health-Jarrow-Morton（1992）模型。 随机弦模型，随机域模型、跳跃模型、定价核模型等等。

8 利率衍生产品定价和保值的实证研究文献 Chen和Scott（1993）、Pearson和Sun（1990）使用最大似然法，Heston（1989）、Gibbons和Ramaswamy（1993）使用广义矩法，Litterman和Scheinman（1991）使用因素分析法得出单因素模型不能很好地拟和收益率曲线的结论。 e Munnick和Schotman（1992）使用荷兰债券市场的数据对Vasicek、CIR模型的检验得到了类似的结论。 Chan，Karoly，Longstaff和Sanders（1992）使用美国市场的短期利率数据对单因素模型进行了检验，发行波动率的弹性系数为1.5，说明数据是不平稳的。 Stambaugh（1998），Longstaff和Shwartz（1992），Litterman、Scheinman和Weiss（1991）的研究表明增加因素的数目可以改善拟和效果。但是使用多因素模型会使利率衍生产品的定价变得非常复杂。

9 利率衍生产品的定价 －PDE法 核心原理：动态复制

10 利率衍生产品的定价 －风险中性定价 是当市场不存在套利机会时，则必然存在一个与客观概率等价的风险中性测度，此时按无风险利率贴现的资产价格服从鞅过程（Harrison kleps，1979；Harrison Priska，1981）。T时刻的不确定的现金流在t时刻的贴现（以t时刻可获得的信息为条件）为

11 利率衍生产品定价的基本模型――Black模型
在利率为常数的假定下, 远期价格与期货价格相等, 而远期价格收敛于现货价格 。 在时刻T，期权的盈利状态是 ，由于利率为常数，期货价格等于远期价格，而且远期价格收敛于现货价格，因此我们可认为在T时刻的期权盈利状态为 ，根据期货期权的定价公式

12 复杂利率衍生产品的定价 蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟，这种方法先根据一定的利率动态模型建立风险中性世界中利率的各种演变路径，然后通过求各条路径利率衍生产品价值的平均值来定价。 二叉树法或三叉树法，这种方法通过离散的利率树图描述利率的动态过程，然后从后面回推衍生产品的价格。 有限差分法（Finite Difference Methods），这种方法通过将偏微分方程离散化来求利率衍生产品的价格。

13 利率衍生产品保值的一般性原则 套期保值的整体思想就是使下面的式子成立 运用泰勒展开

14 一阶和二阶套期保值

15 资产价格动态与利率动态 确定利率的变动过程是为利率衍生产品的定价和保值的基础。 我们将论证用一些特殊的随机过程描述利率动态过程的合理性。
动态复制和B－S微分方程。 我们将论证用一些特殊的随机过程描述利率动态过程的合理性。 然后介绍描绘利率动态过程的基本随机过程的性质及其估计方法。

16 用随机过程描述利率动态的合理性 柯莫哥洛夫后向方程（Kolmogorov backward equation）：均值和方差以外的参数不重要
Merton（1992）证明：只需要假设在任意短的时间内资产价格存在不确定性、并且方差有界，我们就可以用一个随机过程（Stochastic process）描述资产价格动态。 如果进一步假设资产价格满足马尔可夫（Markov）过程可以证明资产价格的条件概率服从的偏微分方程——柯莫哥洛夫后向方程（Kolmogorov backward equation），只和资产价格的均值和方差有关，而与分布的具体形式无关。

17 Kolmogorov backward equation

18 柯莫哥洛夫后向方程的重要意义 在马尔可夫（Markov）过程的条件下 ，我们可以用均值和方差满足一定条件的随机过程描述资产价格动态。
具体而言，我们可以假设资产价格服从 伊藤过程（Ito process，随机冲击项服从正态分布的随机过程） 二叉树过程（随机冲击项服从二项分布的随机过程） 甚至三叉树过程等等 关键是要拟合了资产价格的均值和方差。

19 连续和离散 伊藤过程（Ito process）: 描述资产价格动态的基本连续时间模型 。 二叉树过程：描述资产价格动态的基本离散时间模型 。

20 伊藤过程和二叉树过程的一致性 只要参数满足一定的条件二叉树模型会收敛于对数正态分布（Cox 和Miller，1990）。

21 用随机过程描述利率动态过程的合理性 在一定前提下我们可以用伊藤过程（连续时间利率模型）、二叉树过程（离散时间利率模型）甚至其他随机过程（如三叉树过程）来描述利率的动态。 这对经济结构没有做不切实际的假设。

22 利率模型的分类 均衡模型 无套利模型 单因子 多因子 Merton（1973）；Vasicek（1977） ；Dothan（1978）
Rendleman和Bartter（1980） ；Courtadon（1982） Cox, Ingersoll 和 Ross(1985) Ho 和 Lee（1986） ；Kopprasch et al.（1987） ；Black, Derman 和 Toy（1990） ；Hull 和 White（1990,1994a）；Black 和 Karasinkai（1991） 多因子 Richard（1978）；Brennan 和 Schwartz（1979）；Langetieg（1980）；Schaefer 和 Schwartz（1984）；Chaplin（1987）；Chen 和 Scott（1992）；Longstaff 和 Schwartz（1992） Heath, Jarrow 和 Morton（1990,1992）；Hull 和 White（1994b）

23 基本的离散利率模型：二叉树模型 基础模型：利率服从二项分布、利率的波动率不变但趋势可变(Ho－Lee模型 )
模型改进：利率的对数服从二项分布、利率的波动率不变但趋势可变(Original Salmon Brothers模型 ) BDT模型（Black―Derman―Toy Model）：利率的对数服从二项分布、波动率可变，回归行为受到波动率期限结构的影响 回归行为不受波动率期限结构影响的模型(Black 和 Karasinkai的模型 )

24 基础模型：利率服从二项分布、利率的波动率不变但趋势可变

25 期望和方差

26 模型改进：利率的对数服从二项分布、利率的比例波动率不变但趋势可变
上述模型有两个缺陷， 一是是利率在不断下行的过程中可能出现负值， 二是短期利率的波动率是不变的，即利率的波动率和利率高低没有关系，可是相当一部分业内人士认为当利率水平比较高的时候，短期利率的基点波动率应该比较大。 为了解决上述问题，需要对模型加以改进。

27 负利率问题的解决

28

29 常数基点波动率问题的解决

30 一个重要的结论

31 BDT模型（Black―Derman―Toy Model）：利率的对数服从二项分布、波动率可变，回归行为受到波动率期限结构的影响

32 回归行为不受波动率期限结构影响的模型

33 离散利率模型的估计 －以BDT模型 为例 求两期的利率动态树图

34 求3期的利率动态树图

35 可赎回债券和可回售债券的定价 债券中经常会包含一种或数种内嵌期权（Embeded Options），当债券中包含的期权和债券无法分割时，称为“内嵌期权”。 可提前赎回债券（Callable Bonds）和可回售债券（Putable Bonds）通常都是属于这种类型。

36 典型的赎回条款 回售条款和赎回条款类似。 设A公司于2004年3月15日发行了一份期限为30年的可赎回债券，到期日为2034年3月14日。
此后赎回价格下跌，在2015年年3月15日至2016年年3月15日之间，A公司随时有权力根据102.85元的价格赎回债券。在2024年年3月15日至到期日之间，A公司随时有权力根据面值赎回债券。 赎回价格最初高于平价，而后逐年下降为平价。一旦赎回价格触及平价，便会维持该水准至到期日为止。 回售条款和赎回条款类似。

37 可赎回债券＝普通债券＋看涨期权空头

38 可回售债券＝普通债券＋看跌期权多头

39 运用二叉树模型为可赎回债券定价

40 运用二叉树模型为可回售债券定价

41 定价步骤 估计利率二叉树 不可提前赎回（回售）的债券除息（ex-coupon）价格树 赎回（回售）权价值树：MAX（持有，执行）

42 国开行含权债券含权条款例子 可赎回债券：02国开06 ；10 年期；起息日2002-6-16
本期债券仅设定一次发行人选择提前赎回的权利，即发行人可选择在2007年6月16日以面值全部赎回债券，发行人选择赎回前，将至少提前一个月，即于2007年5月16日之前告知全体债券持有人，同时通知中央国债登记结算有限责任公司。 可回售债券：01国开20 ；10 年期；起息日 本期债券的任何持有人均可选择在2006年的付息日由发行人以本金全部或部分赎回债券，但需至少提前一个月，即于2006年11月21日之前告知中央国债登记结算有限责任公司托管部。本期债券不设定发行人主动赎回事项,仅设定持有人有选择赎回的权利。

43 国开行可赎回债券的定价结果

44 国开行可回售债券的定价结果

45 结果分析 从定价结构可以看出，可赎回债券的价值基本上在发行价格附近波动，说明市场对这种债券的定价是比较合理的，不过可回售债券的定价结果表明这种债券存在被严重低估的情况，可能的原因是国内市场对这种债券的价值还缺乏充分的认识。这类似于我国可转换债券市场上投资者持有的转股权被严重低估。 此外，要注意的是本文使用的利率期限结构是从上海证券交易所的国债数据中剥离出来的，这样做的一个隐含假定是上交所的利率期限结构是合理的，不过由于我国债券市场还处于发展初期，其利率期限结构有明显的不合理之处，这可能会对上述结论造成一定的影响。

46 外汇结构性存款的定价 我们可以将与利率的关联外汇结构性存款看成赎回价格恒等于存款本金的可赎回债券。

47 研究设计 厦门主要商业银行在2004年初推出的外汇结构性存款 利率模型：BDT模型

48 美元利率数据 美国国债收益率曲线（Treasury Yield Curve）数据
美国财政部官方公布的美国国债收益率曲线数据是根据每日债券收盘价格运用三次多项式（Cubic Polynomial）从息票债券中计算出来的

49 三次多项式（Cubic Polynomial） 法
定义折现因子为

50 息票债券的价格这时可以写成折现因子的函数(假定下面等式中所有的息票是一样的，本金为1 0 0美元，到期支付)

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52 整个估计的核心就是我们取一个息票债券集，按前面的方法计算每一种息票债券，然后做线性回归找三次方程的最优系数。

53 定价结果 厦门中国银行“汇聚宝” ： 厦门建设银行”汇得利” :1021.49。 厦门工商银行“汇财宝” :1006.071。
“期限可变”理财计划 ：期限较短，只有3年，而且银行只有在第一年末才有权执行提前清偿的权力： 。 日进斗金”理财计划 ：最短六个月；最长三年 ，在每个计息日，中国银行有权决定是否终止该理财计划 ， 。 厦门建设银行”汇得利” : 。 厦门工商银行“汇财宝” : 。

54 解释 定价使用的利率是美国国债收益率，银行在将结构性存款转卖的过程中获得的收益率可能高于美国国债收益率。

55 马考勒久期（Duration）局限性

56 马考勒久期的局限性 利率与债券价格的关系不是线性的。 没有考虑一些债券可能附带或隐含的期权性质。
利用马考勒久期衡量利率风险必须满足两个前提条件，一是利率期限结构是一条水平线；二是不同期限的收益率的变化只是曲线的平移。

57 凸度(Convexity)

58 正凸度和负凸度 正凸度表明，当市场利率下降时，债券价格将以加速度上升；当市场利率上升时，债券价格将以减速度下降，因此，正凸度对投资者是有利的。而负凸度表明，当市场利率下降时，债券价格将以减速度上升，当市场利率上升时，债券价格将以加速度下降，因此，负凸度对投资者而言是不利的。所以说负凸度会放大投资者承担的利率风险。 正的凸度意味着赢多输少，这当然是大家所想得到的。 如果市场是有效率的，投资者要获得正的凸度就需要支付一定的代价。相反承担负的凸度就可以获得更高的回报。

59 有效久期（Effective Duration）和有效凸度（Effective Convexity）
由于嵌入期权，它可能使得可赎回债券债券在低收益率时，债券很可能被提前赎回，此时债券价格并不会向普通债券那样加速上升，呈现出负凸度。 直接衡量利率风险：计算初始收益率减去和加上X 个基本点债券价格的波动，初始收益率是指证券的初始到期收益率， 它是由无风险市场利率(通常是相同期限的国库券收益率) 加上期权调整利差构成的。

60 OAS的计算 用无风险利率贴现得到证券的理论价格；
将无风险利率加上一个固定值(如5个基本点) ，再计算证券的理论价格，直到理论价格与市场价格相一致。 用此时得到的证券贴现率(即到期收益率) 减去无风险率就是OA S。

61 运用二叉树模型计算有效久期 （1）估计利率的二叉树动态树图，计算证券的OAS；
（2）将利率期限结构上升（下降）少量固定的基点，在此基础上重新估计利率的二叉树图； （3）给二叉树图上的每个短期利率加上OAS得到“调整后的二叉树”； （4）使用“调整后的二叉树”计算调整后的债券价格。 （5）计算有效久期

62 用模拟技术计算有效久期 从附息国库券收益率曲线计算零息票收益率曲线； 选择定义利率期限结构的数学模型； 运用蒙特卡罗模拟模拟n条利率路径；
结合提前偿付模型计算每一条利率路径上的现金流并贴现； 计算证券的理论价格及其OA S； 将得到的OA S 加到初始零息票利率上， 得到新的贴现率； 将新的贴现率分别上移和下移固定的基本点(如100 个基本点) ， 计算证券在移动后贴现率下的新价格； 计算有效久期。

63 非平坦利率期限结构和收益率曲线非平行移动下的久期模型
随机久期 关键利率久期 关键利率久期是一种探讨利率曲线非平行移动下的久期的尝试。收益率曲线移动的时候带来的风险我们有时称之为收益率曲线风险（Yield Curve Risk），关键利率久期就是用来测量收益率曲线风险的一种方法。

64 含权债券利率风险的衡量 区分无风险收益率和风险溢酬变动的必要性 含权债券可以看成普通债券和内嵌期权的组合，然后分别计算其久期和凸度。
如果利率地变动是由于国债收益的变动引起的，那么我们就可以用加权平价法来计算含权债券的久期；如果利率变动是由于风险溢酬的变动引起的，那么含权债券的久期就直接等于对于的普通债券的久期。

65 可转换债券的利率风险衡量 可转换债券＝普通债券＋转股权－赎回权＋回售权＋转股价格调低权 近似：可转换债券＝普通债券＋转股权－赎回权

66 可转换债券的利率风险衡量 利率变动是由于可转债的风险风险溢酬的变动引起的，可转债的久期和其对于的普通债券的久期没有任何分别。
利率变动是由于无风险利率的变动引起的

67 可赎回债券的利率风险 赎回权相当于一个欧式看涨期权（买权），而对于有收益资产看涨期权而言，
所以此时rho一般为正，rho对r的导数为负，而普通债券的久期和凸度为正，所以可赎回债券的久期为正，而凸度可能为负。

68 可回售债券的利率风险 回售权相当于一个看跌期权（卖权），而对于有收益资产欧式看跌期权而言，
所以此时rho一般为负，rho对r的导数为正，而普通债券的久期和凸度为正，所以可回售债券的久期为正，凸度也为正。

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71 结果分析 凸度的数值普遍偏大，这说明凸度在债券投资中对价格影响很大，忽略它会对投资决策带来重大影响。

72 期权调整久期在银行利率风险管理中的运用

73 分析 （1）从利率风险的角度看，银行净资产的价值变动受五个因素的影响，即久期缺口、凸度缺口、总资产价值、负债总价值和利率变动。
（2）在利率发生较小变动时，凸度的影响可以忽略不计。在这种情况下，当久期缺口为正时，银行净资产的价值变动与利率变动方向相反，即如果利率下降，则银行资产与负债的价值都会上升，但资产价值上升占主导，银行净资产价值上升。反之，利率上升将会使银行净资产价值下降。当久期缺口为负时，利率变动对银行净资产价值的影响正好相反。 （3）在利率发生较大变动时，凸度的影响不能被忽略。在这种情况下，若凸度缺口为正，会对银行净资产的价值变动起正向推动作用；反之，若凸度缺口为负，会对银行净资产的价值变动起负向推动作用。

74 两种利率风险管理策略 （1）积极缺口管理策略，根据对未来市场利率走势的预测，调整其久期缺口的性质及规模，并保持凸度缺口非负，以获得利率变动所带来的收益。 （2）保守缺口管理策略，又称为利率风险免疫管理策略。调整资产和负债结构，在使久期缺口为零的情况下，最大化凸度缺口。

75 内嵌期权对久期缺口管理和凸度缺口管理的影响

76 分析 银行在两种期权上都处于空头，导致久期缺口扩大，同时负的凸度会加大资产的利率风险，所以贷款和存款内嵌的期权对银行承担的利率风险的综合影响为加大了银行的利率风险。 银行发行的和利率关联的结构性存款基本上是在存款中嵌入买权，而且银行处于买权多头，所以其凸度可能为负，从这个角度看，发行这种存款有利于缓解银行承担的利率风险。 银行为了缓解贷款和存款内嵌的期权对银行承担的利率风险的综合影响，可以适当地发行银行可提前结束的贷款和存款。这一方面可以降低贷款利率，提高存款利率，又有利于在一定程度上降低银行的利率风险。

77 进一步的研究 开发考虑期权后的银行利率风险管理软件。 可转换债券的定价。 三叉树、蒙特开罗模拟、有限差分。
利率期限结构的拟合技术对利率衍生产品定价和保值的影响。

78 谢谢各位老师和同学！