第十二章 微分方程 — 积分问题 推广 — 微分方程问题.

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1 第十二章 微分方程 — 积分问题 推广 — 微分方程问题

2 第十二章 第一节 微分方程的基本概念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① ② 由 ① 得 (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 P321.例2 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容) 分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 ( n 阶显式微分方程) 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解,
其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 引例2 引例1 通解: 特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 例1. 验证函数 是微分方程 的解, 并求满足初始条件 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 思考与练习 P263 (习题12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 第二节 目录 上页 下页 返回 结束

9 第二节 第十二章 可分离变量微分方程 可分离变量方程 转化 解分离变量方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
分离变量方程的解法: ① 设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式 两边积分, 得 则有 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 两边积分 因此可能增、 减解. 或 得 即 ( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 ( C 为任意常数 ) 由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
解: 分离变量得 两边积分得 即 ( C 为任意常数 ) 由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

13 例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14 练习: 解法 1 分离变量 即 ( C < 0 ) 解法 2 故有 积分 所求通解: ( C 为任意常数 )
解法 1 分离变量 即 ( C < 0 ) 解法 2 故有 积分 所求通解: ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

15 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分: 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

16 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 t 足够大时 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变 化规律. 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 即 设在 内水面高度由 h 降到 机动 目录 上页 下页 返回 结束

18 对应下降体积 因此得微分方程定解问题: 将方程分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

19 因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
两端积分, 得 利用初始条件, 得 因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

20 内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 有解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 有解 y = – x 及 y = C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

21 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

22 思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

23 作业 P (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6 第三节 目录 上页 下页 返回 结束

24 备用题 已知曲线积分 与路径无关, 其中 求由 确定的隐函数 解: 因积分与路径无关 , 故有 即 因此有
备用题 已知曲线积分 与路径无关, 其中 求由 确定的隐函数 解: 因积分与路径无关 , 故有 即 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

25 第三节 第十二章 齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

26 一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 解法: 令 代入原方程得 分离变量: 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
机动 目录 上页 下页 返回 结束

27 例1. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 )
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

28 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
例2. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 即 代回原变量得通解 (C 为任意常数) 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

29 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点,
取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 可得 OMA =  OAM =  从而 AO = OM 而 AO 于是得微分方程 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

30 利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, 于是方程化为 积分得 故有 得 (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面. (齐次方程)
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31 说明: 若已知反射镜面的底面直径为 d , 顶到底的距离为 h , 则将 代入通解表达式得 这时旋转曲面方程为
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32 *二、可化为齐次方程的方程 作变换 ( h, k 为待 定常数), 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)
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33 即得原方 求出其解后, 程的解. 原方程可化为 令 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 (可分离变量方程)
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34 例4. 求解 解: 令 令 得 再令 Y＝X u , 得 积分得 代回原变量, 得原方程的通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

35 作业 P276 1(1), (4), (6); 2 (2), (3); 3; 4(4) 得 C = 1 , 故所求特解为 思考: 若方程改为
如何求解? 提示: 作业 P (1), (4), (6); 2 (2), (3); 3; 4(4) 第四节 目录 上页 下页 返回 结束

36 第四节 第十二章 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

37 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x)  0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

38 2. 解非齐次方程 则 用常数变易法: 作变换 即 对应齐次方程通解 两端积分得 故原方程的通解 即 齐次方程通解 非齐次方程特解
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39 例1. 解方程 即 解: 先解 积分得 即 则 用常数变易法求特解. 令 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
解: 先解 即 积分得 即 则 用常数变易法求特解. 令 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

40 例2. 求方程 的通解 . 故方程可 解: 注意 x, y 同号, 变形为 由一阶线性方程通解公式 , 得 所求通解为 这是以
自变量的一阶线性方程 由一阶线性方程通解公式 , 得 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

41 例3. 有一电路如图所示, 其中电源 ∼ 电阻 R 和电 感 L 都是常量, 求电流 解: 列方程 . 由回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

42 ∼ 解方程: 利用一阶线性方程解的公式可得 由初始条件: 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

43 ∼ 因此所求电流函数为 解的意义: 暂态电流 稳态电流 机动 目录 上页 下页 返回 结束

44 二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 解法: 除方程两边 , 得 令 求出此方程通解后,
运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利简介,并自动返回. (线性方程) 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束

45 例4. 求方程 的通解. 则方程变形为 解: 令 其通解为 将 代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

46 内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 2. 伯努利方程 化为线性方程求解.
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 2. 伯努利方程 化为线性方程求解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

47 思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

48 作业 P (3) , (6) , (9) ; (5) ; 6 ; 7 (3) , (5) 第五节 目录 上页 下页 返回 结束

49 备用题 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 令 提示: 则有 利用公式可求出 机动 目录 上页 下页 返回 结束

50 其中 2. 设有微分方程 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有
机动 目录 上页 下页 返回 结束

51 2) 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

52 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式,
( 雅各布第一 · 伯努利 ) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .

53 第十二章 第五节 全微分方程 一、全微分方程 二、积分因子法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

54 一、全微分方程 则称 ① 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

55 例1. 求解 解: 因为 故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

56 例2. 求解 解: ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 或 故原方程的通解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束

57 二、积分因子法 思考: 如何解方程 但若在方程两边同乘 这不是一个全微分方程 , 就化成例2 的方程 . 若存在连续可微函数 使
思考: 如何解方程 但若在方程两边同乘 这不是一个全微分方程 , 就化成例2 的方程 . 二、积分因子法 若存在连续可微函数 使 为全微分方程, 为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子. 例2 目录 上页 下页 返回 结束

58 常用微分倒推公式: 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 可取 机动 目录 上页 下页 返回 结束

59 例3. 求解 解: 分项组合得 即 选择积分因子 同乘方程两边 , 得 即 因此通解为 即
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

60 作业 P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4 习题课1 目录 上页 下页 返回 结束

61 备用题 解方程 解法1 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 故通解为 此外, y = 0 也是方程的解.
备用题 解方程 解法1 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 故通解为 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

62 解法2 化为齐次方程. 原方程变形为 积分得 将 代入 , 得通解 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

63 解法3 化为线性方程. 原方程变形为 其通解为 即 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

64 第六节 第十二章 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

65 一、 型的微分方程 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

66 例1. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

67 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻 t = 0 时 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且 初初速度为0, 求质点的运动规律. 解: 据题意有 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

68 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

69 二、 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

70 例3. 求解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

71 例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图.
考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 弧段重力大小 (  : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 两式相除得 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

72 则得定解问题: 悬 链 线 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

73 三、 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

74 例5. 求解 解: 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

75 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间
例6. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: M : 地球质量 m : 物体质量 代入方程得 积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

76 注意“－”号 两端积分得 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

77 因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
由原方程可得 因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

78 说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为 解方程可得 问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为 解方程可得 问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

79 例7. 解初值问题 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 得 积分得 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

80 例8. 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 积记为
为曲边的曲边梯形面积 满足的方程 . ( 99 考研 ) 解: 在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束

81 利用 得 两边对 x 求导, 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 再利用 y (0) = 1 得
机动 目录 上页 下页 返回 结束

82 内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

83 思考与练习 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例6 例7 机动 目录 上页 下页 返回 结束

84 作业 P (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 第七节 目录 上页 下页 返回 结束

85 备用题 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度
大小为 2v, 方向指向A , 试建立物体 B 的运动轨迹应满 足的微分方程及初始条件. 提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 去分母后两边对 x 求导, 得 ① 又由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束

86 代入 ① 式得所求微分方程: 其初始条件为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

87 第七节 高阶线性微分方程解的结构 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 第十二章 一、二阶线性微分方程举例
机动 目录 上页 下页 返回 结束

88 一、二阶线性微分方程举例 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向
下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 解: 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力 (虎克定律) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

89 阻力 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 则得强迫振动方程:
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90 ‖ 例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,
求电容器两两极板间电压 所满足的微分方程 . 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 ~ ‖ 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 ∼ 由电学知 根据回路电压定律: 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

91 ‖ 化为关于 的方程: 故有 ~ 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得
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92 方程的共性 — 可归结为同一形式: 为二阶线性微分方程. n 阶线性微分方程的一般形式为 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.
例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式: 为二阶线性微分方程. n 阶线性微分方程的一般形式为 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

93 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 定理1. 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 证毕
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94 说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题,
下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

95 定义: 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如， 在( ,  )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 必需全为 0 , 在任何区间 I 上都 线性无关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

96 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 线性无关 (证明略) 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 机动 目录 上页 下页 返回 结束

97 定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 故方程的通解为 常数, 推论.
(自证) 例如, 方程 有特解 且 故方程的通解为 常数, 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

98 三、线性非齐次方程解的结构 定理 3. 是二阶非齐次方程 ① 则 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, ②
是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 运行时, 点击按钮“复习”, 可显示一阶线性方程解的结构. 复习 目录 上页 下页 返回 结束

99 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为
证毕 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

100 定理 4. 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
机动 目录 上页 下页 返回 结束

101 定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解
非齐次方程特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

102 例3. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( ). 提示: 都是对应齐次方程的解,
常数, 则该方程的通解是 ( ). (89 考研 ) 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

103 例4. 已知微分方程 有三 个解 求此方程满足初始条件 的特解 . 解: 是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为
代入初始条件 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

104 *四、常数变易法 复习: 对应齐次方程的通解: 常数变易法: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 ③
情形1. 已知对应齐次方程通解: 设③的解为 ④ 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

105 令 ⑤ 于是 将以上结果代入方程 ①: 得 ⑥ 故⑤, ⑥的系数行列式 是对应 齐次方程的解
运行时, 点击按钮“P10”, 可显示线性无关条件. 得 ⑥ 故⑤, ⑥的系数行列式 P10 目录 上页 下页 返回 结束

106 于是得 积分得: 代入③ 即得非齐次方程的通解: 说明: 将③的解设为 只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一 个条件,
方程⑤的引入是为了简化计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

107 情形2. 仅知③的齐次方程的一个非零特解 代入 ③ 化简得 设其通解为 积分得 由此得原方程③的通解: (一阶线性方程)
运行时, 点击按钮“代入③”, 或“可显示方程③. 由此得原方程③的通解: 代入③ 目录 上页 下页 返回 结束

108 例5. 的通解为 已知齐次方程 求 的通解. 解: 将所给方程化为: 利用⑤,⑥建立方程组: 积分得 故所求通解为
运行时, 点击按钮“⑤,⑥”, 可显示方程组⑤⑥. 故所求通解为 ⑤,⑥ 目录 上页 下页 返回 结束

109 例6. 的通解. 解: 对应齐次方程为 由观察可知它有特解: 令 代入非齐次方程后化简得 ⑦ 此题不需再作变换. 特征根: 设⑦的特解为
(二阶常系数非齐次方程) 此题不需再作变换. 特征根: 设⑦的特解为 代入⑦可得: 于是得⑦的通解: 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

110 思考与练习 P300 题1, 3, 4(2), (5) 作业 P 301 *6, *8 第八节 目录 上页 下页 返回 结束

111 第八节 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 第十二章 转化
机动 目录 上页 下页 返回 结束

112 二阶常系数齐次线性微分方程: ① 和它的导数只差常数因子, ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为 ②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 1. 当 时, ②有两个相异实根 则微分 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

113 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根
因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

114 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

115 小结: 特征方程: 特 征 根 通 解 实根 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

116 推广: 特征方程: 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 则其通解中必含 对应项
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117 例1. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为
解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

118 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 初始 求物体的运动规律 解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 自由振动方程 , 因此定解问题为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

119 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 方程: 特征方程: 特征根: 方程通解: 利用初始条件得: 故所求特解:
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120 解的特征: 简谐振动 A: 振幅,  : 初相, 周期: 固有频率 (仅由系统特性确定) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

121 2) 有阻尼自由振动情况 方程: 特征方程: 特征根: 这时需分如下三种情况进行讨论: 小阻尼: n < k
解的特征 大阻尼: n > k 解的特征 临界阻尼: n = k 解的特征 机动 目录 上页 下页 返回 结束

122 小阻尼自由振动解的特征 : ( n < k ) 运动周期: 振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.
由初始条件确定任意常数后变形 运动周期: 振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

123 大阻尼解的特征: ( n > k ) 1) 无振荡现象; 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 此图参数:
1) 无振荡现象; 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 此图参数: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

124 临界阻尼解的特征 : ( n = k ) 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 2) 无振荡现象 ;
2) 无振荡现象 ; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

125 例4. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解
解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程: 特征根 : 运行时, 点击按钮“推广”, 可显示高阶常系数线性微分方程解的结构. 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 推广 目录 上页 下页 返回 结束

126 例6. 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

127 例7. 解: 特征方程: 特征根为 则方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

128 内容小结 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束

129 作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3 思考与练习 求方程 的通解 . 答案:
通解为 通解为 通解为 作业 P (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3 第九节 目录 上页 下页 返回 结束

130 备用题 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为
其通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

131 第九节 第十二章 常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束

132 二阶常系数线性非齐次微分方程 : ① 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

133 一、  为实数 , 为 m 次多项式 . 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若  不是特征方程的根, 则取
其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若  不是特征方程的根, 则取 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 从而得到特解 形式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

134 (2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若  是特征方程的重根 , 即 是 m 次多项式,
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若  是特征方程的重根 , 即 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

135 例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束

136 例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得 因此特解为
所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

137 例3. 求解定解问题 解: 本题 特征方程为 其根为 故对应齐次方程通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 原方程通解为 由初始条件得
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138 解得 于是所求解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

139 二、 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第二步 求出如下两个方程的特解 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解
第四步 分析原方程特解的特点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

140 利用欧拉公式将 f (x) 变形 第一步 机动 目录 上页 下页 返回 结束

141 第二步 求如下两方程的特解 ② ③ 设 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有 特解: 故 等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

142 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
第三步 求原方程的特解 原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 均为 m 次多项式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

143 第四步 分析 因 本质上为实函数 , 均为 m 次实 多项式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

144 小 结: 对非齐次方程 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解: 其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
机动 目录 上页 下页 返回 结束

145 例4. 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 不是特征方程的根, 故设特解为 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解
机动 目录 上页 下页 返回 结束

146 例5. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程: 比较系数, 得
因此特解为 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

147 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
例6. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

148 第七节例1 (P294)中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 求物体的运动规律.
例7. 第七节例1 (P294)中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 ④ 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 代入④可得: 因此原方程④之解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

149 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入④可得: 方程④的解为 自由振动 强迫振动
机动 目录 上页 下页 返回 结束

150 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 可无限增大, 这时产生共振现象 . 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;
自由振动 强迫振动 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 可无限增大, 这时产生共振现象 . 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p = k . 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有 利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

151 内容小结  为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

152 思考与练习 1 . (填空) 设 时可设特解为 时可设特解为 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

153 2. 求微分方程 的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程 特征根: 对应齐次方程通解: 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时,
的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程 特征根: 对应齐次方程通解: 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时, 代入原方程得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

154 有特解 3. 已知二阶常微分方程 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解:
原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

155 作业 P (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3 ; 习题课2 目录 上页 下页 返回 结束

156 第十节 第十二章 欧拉方程 欧拉方程 常系数线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

157 欧拉方程的算子解法: 则 计算繁! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

158 则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

159 例1. 解: 则原方程化为 亦即 ① 特征方程 其根 则①对应的齐次方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

160 设特解: 代入①确定系数, 得 ① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

161 例2. 解: 将方程化为 则方程化为 即 ② 特征根: 设特解: 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为 (欧拉方程)
机动 目录 上页 下页 返回 结束

162 例3. 解: 由题设得定解问题 ③ ④ 则③化为 ⑤ 特征根: 设特解: 代入⑤得 A＝1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

163 得通解为 利用初始条件④得 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

164 思考: 如何解下述微分方程 提示: 原方程 直接令 作业 P ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束

165 第十一节 微分方程的幂级数解法 本节内容: 一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题 第十二章 微分方程解法: 积分法
— 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容 本节内容: 一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束

166 一、一阶微分方程问题 幂级数解法: 本质上是待定系数法 设所求解为 ① 将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

167 例1. 解: 根据初始条件, 设所求特解为 代入原方程, 得 比较同次幂系数, 得 故所求解的幂级数前几项为
机动 目录 上页 下页 返回 结束

168 二、二阶齐次线性微分方程 ② 定理. 设 P(x), Q(x) 在 (－R, R ) 内可展成 x 的幂级数,
则在－R < x < R 内方程②必有幂级数解: (证明略) 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

169 例2. 的一个特解. 解: 设特解为 代入原方程整理得 比较系数得: 可任意取值, 因是求特解, 故取 从而得 当n > 4 时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束

170 因此 此题的上述特解即为 注意到: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

171 例3. 求解勒让德 (Legendre) 方程 ③ 解: 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它). 设方程的解为 代入③:
定理 目录 上页 下页 返回 结束

172 整理后得: 比较系数, 得 例如: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

173 作业 P323 1 (1),(4); 2(2) 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解: 上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛,
它们是方程的 两个线性无关特解. 作业 P (1),(4); 2(2) 第12节 目录 上页 下页 返回 结束

174 *第十二节 第十一章 常系数线性微分方程组 解法举例 解方程组 代入法 消元 算子法 高阶方程求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

175 第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ;
常系数线性微分方程组解法步骤: 第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ; 第二步 求出此高阶方程的未知函数 ; 第三步 把求出的函数代入原方程组 , 一般通过求导 得其它未知函数 . 注意: 一阶线性方程组的通解中, 任意常数的个数 = 未知函数个数 如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

176 ① 例1. 解微分方程组 ② ③ 解: 由②得 代入①, 化简得 特征方程: ④ 通解: 将④代入③, 得 ⑤
机动 目录 上页 下页 返回 结束

177 2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,
原方程通解: 注意: 1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受②式制约). 2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系, 3) 若求方程组满足初始条件 的特解, 只需代入通解确定 即可. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

178 例2. 解微分方程组 解: 则方程组可表为 ⑥ ⑦ 根据解线性方程组的克莱姆法则, 有 用代数方法 消元自作
机动 目录 上页 下页 返回 结束

179 即 ⑧ 其特征方程: 特征根: 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解: ⑨ 求 x : ⑦×D－⑥得 ⑩ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. 记 记
机动 目录 上页 下页 返回 结束

180 作业 P (*习题 12-12) 1 (3),(6); (2), (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

181 习题课 (一) 第十二章 一阶微分方程的 解法及应用 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束

182 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 参考L.P413-P414 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

183 例1. 求下列方程的通解 提示: (1) 故为分离变量方程: L.P415例1 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

184 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 化为 调换自变量与因变量的地位 ,
用线性方程通解公式求解 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

185 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

186 例2. 求下列方程的通解: 提示: (1) 原方程化为 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (分离变量方程) (贝努里方程)
L.P418例2 令 u = x y , 得 (分离变量方程) (2) 将方程改写为 (贝努里方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

187 化方程为 令 t = x – 1 , 则 (齐次方程) 令 y = u t 可分离变量方程求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

188 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

189 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . (03考研) 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

190 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束

191 练习题: P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) P326 题2 求以
(题3只考虑方法及步骤) P326 题2 求以 为通解的微分方程. 消去 C 得 提示: P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

192 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 为贝努里方程 , 令 提示: 为全微分方程 , 通解 提示: 可化为贝努里方程 令
微分倒推公式 提示: 为全微分方程 , 通解 提示: 可化为贝努里方程 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

193 提示: 令 , 即 则 原方程化为 故原方程通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

194 二、解微分方程应用问题 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸 为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b 且鸭子游动方向始终朝着点O , 求鸭子游动的轨迹方程 . L.P414 则 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

195 鸭子的实际运动速度为 由此得微分方程 即 ( 齐次方程 ) 定解条件 ( 求解过程参考P273例3 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

196 练习题: P327 题 5 , 6 P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 它的切线在纵
轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 此点处切线方程为 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 思考: 能否根据草图列方程? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

197 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )
P327 题6. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? ( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 内车间内 的改变量为 则在 两端除以 并令 得微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

198 初始条件 解定解问题 得 k = ? t = 30 时 因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

199 作业 P , 7; P276 *4 (2) ; P (2) , (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

200 习题课 (二) 第十二章 二阶微分方程的 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

201 一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 逐次积分求解 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

202 4(2)； 8 2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 常系数情形 代数法 非齐次 欧拉方程
练习题: P327 题 2 ; (6) , (7) ; 4(2)； 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束

203 解答提示 P327 题2 求以 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为
提示: (6) 令 则方程变为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

204 特征根: 齐次方程通解: 令非齐次方程特解为 代入方程可得 原方程通解为 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 特解设法有何变化 ? 提示:
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205 P327 题4(2) 求解 提示: 令 则方程变为 积分得 利用 定常数 再解 并利用 思考 若问题改为求解 则求解过程中得
问开方时正负号如何确定? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

206 P327 题8 设函数 在 r > 0 内满足拉普拉斯方程 二阶可导, 且 试将方程化为以 r 为自变
量的常微分方程 , 并求 f (r) . 提示: 利用对称性, 原方程可化为 即 ( 欧拉方程 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

207 解初值问题: 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

208 例1. 求微分方程 满足条件 处连续且可微的解. 提示: 解满足 特征根 : 设特解 : 代入方程定 A, B, 得 故通解为 得
（P 429 例5 ） 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

209 处的衔接条件可知, 解满足 其通解: 定解问题的解: 故所求解为 （P 429 例5 ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束

210 例2. 且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

211 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

212 例3. 设函数 内具有连续二阶导 数, 且 (1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 (03考研) 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知 上式两端对 x 求导, 得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

213 代入原微分方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①得 A＝0, 从而得①的通解:
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214 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 题 目录 上页 下页 返回 结束

215 二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律 建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件
确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还要衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

216 例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 解:
设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数) 又设卫星的初速度 则有初值问题: ② ③ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

217 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束

218 为使 ④ 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

219 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点
例5. 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 为 k), 求质点的运动规 提示: 两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 … 开方如何定 + – ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

220 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦
力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 此时链条受力 由牛顿第二定律, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

221 思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的
微分方程通解: 由初始条件得 故定解问题的解为 解得 当 x = 20 m 时, (s) 思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的 数学模型是什么 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

222 不考虑摩擦力时的数学模型为 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 此时链条滑下来 所需时间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

223 练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测 要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系.
设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律 重力 浮力 阻力 质量 m 体积 B 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

224 作业 P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) 8 ; *11(1) 得 初始条件为
质量 m 体积 B 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 作业 P , 6 ; P (8) ; 4 (2) ,(4) 8 ; *11(1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

225 有特 备用题 1. 设二阶非齐次方程 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 . 解: 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 一阶线性非齐次方程
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226 故 再积分得通解 复习: 一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

227 2. (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 的和. 解: (1) (02考研)
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228 (2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足
所以 (2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足 其特征方程: 特征根: ∴齐次方程通解为 设非齐次方程特解为 代入原方程得 故非齐次方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

229 代入初始条件可得 故所求级数的和 机动 目录 上页 下页 返回 结束