第七章 组合变形杆的强度 在工程实际中，受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形。若与各种基本变形形式相应的应力应变是同量级而不能忽略，则构件的变形称为组合变形。在线弹性、小变形条件下，可利用叠加原理对组合变形杆件进行强度计算。

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1 第七章 组合变形杆的强度 在工程实际中，受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形。若与各种基本变形形式相应的应力应变是同量级而不能忽略，则构件的变形称为组合变形。在线弹性、小变形条件下，可利用叠加原理对组合变形杆件进行强度计算。

2 7.1 斜弯曲 两个正交平面弯曲的组合 工程中有些梁的横向载荷虽然通过弯曲中心，但不与梁的任一形心主惯性平面平行。变形后横截面上中性轴将不再垂直于载荷平面，挠曲线不在与载荷平行的平面内，称为斜弯曲。将横向载荷分解为两主惯性平面内的平面力系，每个分力系单独作用时均产生平面弯曲，因此斜弯曲是两个正交平面弯曲的组合。 按如图选取坐标和弯矩分量，则截面内任一点处的弯曲正应力为： O y z D1 D2 M M z M y y z 得中性轴方程 令 x 中性轴为过坐标原点的直线，中性轴与 y 轴的夹角为θ，有 截面内处于与中性轴平行的直线上的点弯曲正应力相等，其大小与该点到中性轴的距离成正比。 作平行于中性轴的两直线，分别与截面周边相切的D1、D2 两点分别为拉应力和压应力最大的点。

3 解：载荷过梁的弯曲中心但不平行于主惯性平面，为斜弯曲。作弯矩图确定危险截面。
例：图示跨长为 l =4m 的简支梁,由№32a 工字钢制成。作用在跨中的横力F = 33kN,其作用线与横截面铅垂对称轴间的夹角φ= 15o ，且通过截面的形心。已知钢的许用应力[σ]=160MPa 。试校核梁的正应力强度。 解：载荷过梁的弯曲中心但不平行于主惯性平面，为斜弯曲。作弯矩图确定危险截面。 l = 4m F=33kN Mmax Mymax Mzmax 其沿两主惯性轴的分量为： Fl / 4 查表得： 用 Iz / Iy 值很大的截面承受斜弯曲或方向不很稳定的横力是不适宜的。 梁的强度在工程允许的范围内 若

4 7.2 弯曲与拉伸(压缩)的组合 截面核心 弯曲与拉伸(压缩)的组合分为两种情况，一种是横向力与轴向力同时作用下产生的弯曲与拉伸(压缩)的组合；另一种是由偏心拉(压)引起的组合变形。 一、横向力与轴向力同时作用时的拉(压)弯组合变形 x O y z 轴力引起的正应力： D2 M z M y FN y z 横向力引起的正应力： 截面内任一点处的正应力为： D1 得中性轴方程 令 中性轴为直线，中性轴与 y 轴的夹角为θ，在轴 y上的截距为 ay ，有

5 例：图示简支刚架由两根无缝钢管制成。已知钢管的外径为 140mm，壁厚为10mm 。试求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。
10kN 1.2m A B C 解：求支反力 以两杆为研究对象，由对称性，只要分析一半部分即 AC 杆，将力沿杆轴向和横向分解 FAV FBV FAH FAV 10kN FBV AC 杆内任一截面上有： A B C 危险截面在 C ( x=2m ) 处，内力为： x FAx FAy

6 例：图示简支刚架由两根无缝钢管制成。已知钢管的外径为 140mm，壁厚为10mm 。试求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。
10kN 1.2m A B C 解： FAV FBV FAH 10kN A B C x FAx FAV FBV FAy

7 7.2 弯曲与拉伸(压缩)的组合 截面核心 F O x y z 二、偏心拉伸和压缩 yF zF A 杆内任一截面上的内力力为：
7.2 弯曲与拉伸(压缩)的组合 截面核心 F O x y z 二、偏心拉伸和压缩 yF zF A 杆内任一截面上的内力力为： 截面内任一点 E 处的正应力为： O` y z 令 得中性轴方程 x E( y, z ) 中性轴为不过原点的直线，在轴 y上的截距为 ay ，在轴 z上的截距为 az ，有 ay az Mz My FN 中性轴将截面划分为受拉区和受压区。

8 7.2 弯曲与拉伸(压缩)的组合 截面核心 F O x y z 二、偏心拉伸和压缩 yF zF A yF zF A 中性轴方程
7.2 弯曲与拉伸(压缩)的组合 截面核心 F O x y z 二、偏心拉伸和压缩 yF zF A yF zF A 中性轴方程 可见在截面形心附近存在一个范围，当偏心压力的作用点在此范围内，则任一截面上只有压应力。此范围称为截面核心。 O` y z x E( y, z ) az Mz My FN ay

9 例：图示矩形截面杆受轴向拉力F = 12 kN，材料的许用应力[σ]=100MPa 。求切口的容许深度 x (不计应力集中的影响)。已知 b =5 mm ，h = 40 mm 。
其中： M FN x / 2 C 由强度条件： F 有 整理得： 切口的容许深度 为 5.21mm。

10 例：试求图示边长为 b 和 h 矩形截面的截面核心 。
解：取截面形心主轴为坐标轴。截面核心的边界由所有使中性轴恰与截面周边相切而又不穿过截面的偏心压力作用点组成。 y z O 1 b h A B C D 1 h/6 中性轴为与 AB 边重合的直线：

11 例：试求图示边长为 b 和 h 矩形截面的截面核心 。
解：取截面形心主轴为坐标轴。截面核心的边界由所有使中性轴恰与截面周边相切而又不穿过截面的偏心压力作用点组成。 3 y z O 1 b h A B C D 4 2 中性轴为与 AB 边重合的直线： 1 b/6 3 h/6 h/6 b/6 4 2 中性轴为与 BC 边重合的直线： 中性轴为与 CD 边重合的直线： 中性轴为与 DA 边重合的直线：

12 例：试求图示边长为 b 和 h 矩形截面的截面核心 。
解：取截面形心主轴为坐标轴。截面核心的边界由所有使中性轴恰与截面周边相切而又不穿过截面的偏心压力作用点组成。 3 y z O 1 b h A B C D 4 2 中性轴为过截面同一顶点而斜率不同的直线： 1 b/6 3 过 B 点，从 AB 边转到 BC 边的一族中性轴方程为： h/6 h/6 b/6 4 2 偏心压力作用点在一段直线上，该直线段两端点分别为点 1 和点 2。 同理，与过顶点 C、D、A 的几族中性轴相应的偏心压力作用点分别在点2和点 3、点3和点4、点4和点1连成的直线段上。 即，矩形截面的截面核心是位于截面中央的菱形，其对角线长度分别为 h/3 和 b/3 。

13 7.3 弯曲与扭转的组合 机械设备中的传动轴、曲柄轴等，大多处于弯曲和扭转的组合变形状态，本节讨论圆截面杆件在弯扭组合时的强度计算。 l a
7.3 弯曲与扭转的组合 机械设备中的传动轴、曲柄轴等，大多处于弯曲和扭转的组合变形状态，本节讨论圆截面杆件在弯扭组合时的强度计算。 l a F C B A 危险截面 A 上的内力为： D1 D2 Mo = Fa F D1： D2： Fa T ： D2 D1 M ： Fl

14 7.3 弯曲与扭转的组合 机械设备中的传动轴、曲柄轴等，大多处于弯曲和扭转的组合变形状态，本节讨论圆截面杆件在弯扭组合时的强度计算。 l a
7.3 弯曲与扭转的组合 机械设备中的传动轴、曲柄轴等，大多处于弯曲和扭转的组合变形状态，本节讨论圆截面杆件在弯扭组合时的强度计算。 l a F C B A 危险截点处的主应力为： Mo = Fa F 应用第三或第四强度理论，有 T ： Fa M ： Fl

15 7.3 弯曲与扭转的组合 x z y D1 D2 D1 对拉伸(压缩)、弯曲、扭转的组合变形，危险点的应力状态为： D

16 解：以圆轴为研究对象，将齿轮的切向力向轮心简化，得圆轴的受力图。
例：图示钢制实心圆轴，齿轮 C 的节圆直径 D1 = 60 mm，其上作用有铅直切向力4kN，水平径向力 0.56 kN；齿轮 D 的节圆直径 D2 = 160 mm，其上作用有铅直切向力 1.5 kN，水平径向力 1.5 kN。材料的许用应力[σ]=100MPa ，试按第四强度理论确定该轴的直径 d 。 解：以圆轴为研究对象，将齿轮的切向力向轮心简化，得圆轴的受力图。 0.56kN 1.5kN 分别作圆轴的扭矩图及在 xy 和 xz 两个纵向对称面内的弯矩图。 圆形截面在斜弯曲时任一截面的弯曲正应力可用该截面上的总弯矩计算，即总弯矩越大，截面上的最大正应力越大。且当两正交纵向平面内的弯矩沿轴线都是线性分布时，总弯矩沿轴线的分布曲线是非凸的，即有： 1.5 kN 4 kN FA z FA y FB y FB z 0.56 kN 0.12 kNm x z y D C B A T (kNm)： 0.12 则危险截面为 C 或 D。 Mz (kNm)： 0.39 0.27 由第四强度理论： My (kNm)： 0.106 0.007 0.39 0.29 M (kNm)：

17 例：图示钢制实心圆轴，齿轮 C 的节圆直径 D1 = 60 mm，其上作用有铅直切向力4kN，水平径向力 0
例：图示钢制实心圆轴，齿轮 C 的节圆直径 D1 = 60 mm，其上作用有铅直切向力4kN，水平径向力 0.56 kN；齿轮 D 的节圆直径 D2 = 160 mm，其上作用有铅直切向力 1.5 kN，水平径向力 1.5 kN。材料的许用应力[σ]=100MPa ，试按第四强度理论确定该轴的直径 d 。 解： 0.56kN 1.5kN 1.5 kN 4 kN FA z FA y FB y FB z 0.56 kN 0.12 kNm x z y D C B A T (kNm)： 0.12 Mz (kNm)： 0.39 0.27 My (kNm)： 0.106 0.007 M (kNm)： 0.39 0.29 取轴的直径 d =34.6mm

18 7.4 复合梁的强度 由两种或两种以上材料所构成的梁，称为复合梁。试验表明复合梁在纯弯曲时，平面假设与单向受力假设仍然成立。
7.4 复合梁的强度 由两种或两种以上材料所构成的梁，称为复合梁。试验表明复合梁在纯弯曲时，平面假设与单向受力假设仍然成立。 一、复合梁的基本方程 1 2 z y O E1 , A1 E2 , A2 ε y O σ y O 由此可以确定中性轴的位置 e

19 7.4 复合梁的强度 一、复合梁的基本方程 复合梁变形微分方程: 1 2 z y O E1 , A1 E2 , A2 ε y O σ y O
7.4 复合梁的强度 一、复合梁的基本方程 复合梁变形微分方程: 1 2 z y O E1 , A1 E2 , A2 ε y O σ y O e

20 7.4 复合梁的强度 二、转换截面法 对某些截面复合梁，可以根据基本方程将多种材料构成的截面转化为单一材料的等效截面，然后按分析一般梁的方法计算求解。称为转换截面法。 例： 一上部为木材、下部为钢板的复合梁，其横截面如图所示，在纵向对称面内（xy平面）作用有正值弯矩M=30kNm。若木材和钢的弹性模量分别为E1=10GPa、E2=200GPa，试用转换截面法求木材和钢板横截面上的最大正应力。 解：复合梁横截面两种材料区域均为矩形 z y C 150 250 10 z y C y1 y2 由： 模量比 变化后截面的水平形心轴与原截面中性轴重合

21 例： 一上部为木材、下部为钢板的复合梁，其横截面如图所示，在纵向对称面内（xy平面）作用有正值弯矩M=30kNm。若木材和钢的弹性模量分别为E1=10GPa、E2=200GPa，试用转换截面法求木材和钢板横截面上的最大正应力。 解：复合梁横截面两种材料区域均为矩形 又： z y C 150 250 10 z y C y1 y2 等效截面(相当截面)

22 例： 一上部为木材、下部为钢板的复合梁，其横截面如图所示，在纵向对称面内（xy平面）作用有正值弯矩M=30kNm。若木材和钢的弹性模量分别为E1=10GPa、E2=200GPa，试用转换截面法求木材和钢板横截面上的最大正应力。 解： z y C 150 250 10 z y C y1 y2 σ y O 11.5MPa 96.7MPa