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8.2.1 换元积分法
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一、第一类换元法 问题 ？ 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令
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在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理
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定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同.
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例1 求 解（一） 解（二） 解（三）
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例2 求 解 一般地
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例3 求 解
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例4 求 解
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例5 求 解
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例6 求 解
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例7 求 解
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例8 求 解
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例9 求 原式
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例10 求 解
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例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
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例12 求 解
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例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）
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解（二） 类似地可推出
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例14 设 求 解 令
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例15 求 解
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二、第二类换元法 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果）
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则有换元公式 定理2 证 设 为 的原函数, 令 则
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第二类积分换元公式
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例16 求 解 令
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例17 求 解 令
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例18 求 解 令
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说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令
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说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令
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说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 例19 求 （三角代换很繁琐） 解 令
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例20 求 解 令
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说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例21 求 令 解
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例22 求 （分母的阶较高） 令 解
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说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例23 求 解 令
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基本积分表
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8.2.2分部积分法
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复习引入 一.求下列不定积分： 解： （公式法） （凑微分法） (公式法与凑微分法都不能直接运用) 二.函数积的微分法则
d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu 对上式两边求不定积分，得：
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分部积分法 新课讲授 如果函数uu(x)及vv(x)具有连续导数，则有 分部积分的过程： (uv) uvuv，
对上述等式两边求不定积分，得 这个公式称为分部积分公式。 分部积分的过程：
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新课讲授 注： 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u.
一.分部积分公式： 二. 关键：恰当选取u和确定v. 如何选取u:(LIATE法) L-----对数函数 I-----反三角函数 A-----代数函数 T-----三角函数 E-----指数函数 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x). 注： 使用分部积分公式，若选f(x)=u,则v≠g(x) 而v'=g(x).
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例题与练习 例1.求下列不定积分 解： 解：
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例题与练习 例1.求下列不定积分 解： 解：
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例题与练习 解： 练习1.求下列不定积分
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常用解题技巧 (Ⅰ)多次使用分部积分法则 例2. 解： 练习2.求不定积分
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常用解题技巧 (Ⅱ)还原法 例3. 解： 练习3：
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常用解题技巧 Ⅲ 与换元法相结合 解： 练习4.求不定积分
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例5． 例6． 例7． 例8．
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例9． 例10． 例11．
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例13． 解：因为
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练习:用什么积分法求下列积分？
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课堂小结： ①第一换元积分法则： ②掌握常见的六种凑微分类型
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(3)根据LIATE法，恰当选取u和确定v.
(4)运用分部积分公式： (5)掌握常用三种解题技巧.
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思考题 求积分
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思考题解答
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思考题 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？
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思考题解答 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 第一次时若选 第二次时仍应选
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