第九章 常微分方程数值解  考虑一阶常微分方程的初值问题

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1 第九章 常微分方程数值解  考虑一阶常微分方程的初值问题
第九章 常微分方程数值解  考虑一阶常微分方程的初值问题 只要 f (x, y) 在[a, b]  R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述问题存在唯一解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值

2 节点间距 为步长，通常采用等距节点， 即取 hi = h (常数)。 在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、 泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。 把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是 上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化 导致不同的方法。

3 9.1 欧拉Euler 法与改进欧拉法 1.欧拉法： 向前差商近似导数 亦称为欧拉折线法
x0 x1 1.欧拉法： 向前差商近似导数 亦称为欧拉折线法 记为 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1)  yi+1 称为局部截断误差 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。

4  欧拉法的局部截断误差： Ri 的主项 欧拉法具有 1 阶精度。 例9.1 用欧拉法求初值问题
例9.1 用欧拉法求初值问题 当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。 方程真解：

5 n xn yn y(xn) n = y(xn) - yn 1.0000 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021

6 2．改进欧拉法 一阶方程的初值问题与积分方程 是等价的，当x = x1时， 借助于数值积分，求y(x1)的值 用矩形公式

7 用梯形公式 则有

8 改进欧拉法 在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为 应用改进欧拉法，如果序列 收敛，它的极限便 满足方程

9 3．公式的截断误差 二元泰勒公式： 设 z=f(x,y) 在点 的某一邻域内连续且直到有n+1阶 连续偏导数， 为此邻域内任一点，则有：

10

11 欧拉法的截断误差： 改进欧拉法的截断误差： 例 9.2 在区间[0, 1.5]上，取h = 0.1，求解。 本题的精确解为， 可用来检验近似解 的精确程度。计算结果如下表：

12 xn 欧拉法yn 迭代一次 改进欧拉法yn 准确解 1 0.1 1.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5

13 9.2 龙格 - 库塔法 建立高精度的单步递推格式。 单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。  考察改进的欧拉法，可以将其改写为：

14 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得
将改进欧拉法推广为： ) , ( ] [ 1 2 phK y ph x f K h i + = l 首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得 Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开 Step 2: 将 K2 代入第1式，得到

15 存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较 要求 ，则必须有： 这里有 个未知数， 个方程。 3 2 存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。 注意到， 就是改进的欧拉法。 Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？

16 ) ... , ( ] [ 1 2 32 31 3 21 - + = m m m i hK y h x f K b a l 其中i ( i = 1, …, m )，i ( i = 2, …, m ) 和 ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。  最常用为四级4阶经典龙格-库塔法

17 4 阶龙格――库塔法 截断误差阶为 O(h5)。

18 例9.4 用龙格――库塔法解初值问题 y’ = x2 – y (0≤x≤1) y(0) = 1 解 ： 取 h = 0.1，

19 9.3 线性多步法 初值问题 y’ = f (x, y) y (x0) = y0­ 与积分方程 等价 线性多步法： （1）求出开头几个点上的近似值，即计算“表头”； （2）利用 逐步求后面点xk上的值yk。

20 1. 阿当姆斯外推公式 以xn-2，xn-1，xn为节点作牛顿向后插值多项式P2(x)。 其中

21 插值公式的余项为 则积分公式的截断误差为

22 k = 3时的外推公式为 余项为 ：

23 将差分表示成函数值的和的形式： 二阶阿当姆斯外推公式可改写为： 三阶阿当姆斯外推公式可改写为：

24 2.阿当姆斯内插公式 将被积函数用以xn-1，xn，xn+1为插值节点的内插多项式 得到： k=1

25 k = 2 时

26 阿当姆斯外推法与内插联合起来

27 9.4 解二阶常微分方程边值问题的差分法 考虑常微分方程的边值问题： 其中p(x)，q(x)和f (x)均为[a, b]上给定的函数， ，为已知数。 假定p(x)、q(x)及f (x)均为[a, b]上充分光滑的函数， 且q(x)≤0，这时，边值问题存在连续可微的解，且唯一。

28 用差分法解边值问题的主要步骤是： （1）将区间[a, b]离散化； （2）在这些节点上，将导数差商化，从而把微分方程 化为差分方程； (3) 解差分方程――实际上就是解线代数方程组。 将[a, b]区间用节点 分成N等分，其中x0 = a与xN = b 称为边界点， 而x1, x2, …, xN-1称为内点。

29 例9.7 试用差分法解方程 解 将[0, 1]划分为四等分，即取 ，得五个节点 差分方程为

30 将它改写成 在每个内点列方程得 由追赶法公式解得： y3 = y2 = y1 =

31 期末考试开卷部分（上机实习）： 1. 列主元高斯消元法解方程组 Ax=b 2. 平方根法解方程组Ax=b 3. 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程组Ax=b 4. 乘幂法求矩阵A的最大特征值和特征向量 5. 乘幂法和雅可比方法求矩阵A的特征值和特征向量 6. 样条函数方法 7. 最小二乘法 8. 龙贝格积分 9. 龙格-库塔方法

32 期末考试闭卷部分： 数值代数： 1. 第二章 非线性方程求根 ：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法 要求：根的存在，公式，收敛性条件的判别 2. 第三章 解线性方程组的直接法：掌握Gauss消元法进行到底 的条件，矩阵三角分解定理的条件和结论，向量和 矩阵的范数，方程组的条件数与病态方程组的求解 3. 第四章 解线性方程组的迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔 迭代法；要求：求解公式，收敛条件。

33 4. 函数插值：拉格朗日插值，牛顿插值，埃米尔特插值
要求：插值公式，余项公式 5. 数值积分：插值型求积公式（矩形、梯形、辛普生、 龙贝格）。公式和误差，代数精确度的概念。 6. 常微分方程数值解：单步法（欧拉、改进欧拉，龙格-库塔） 差分法。要求：求解公式和误差阶。