第四章 数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式.

Presentation on theme: "第四章 数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式."— Presentation transcript:

1 第四章 数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式

2 内容提要 数值积分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式
数值微分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 自适应积分方法 多重积分

3 本讲内容 数值积分基本概念 Newton-Cotes 公式 为什么要数值积分 数值积分基本思想 代数精度 插值型求积公式 收敛性与稳定性
公式介绍 代数精度 余项表达式

4 数值积分 微积分基本公式： 但是在许多实际计算问题中 (1) F(x) 表达式较复杂时，计算较困难。如

5 几个简单公式 基本思想 矩形公式 梯形公式 抛物线公式

6 一般形式 数值积分一般公式 机械求积公式 求积系数 求积节点 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现
一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点 a  x0 < x1 < ··· < xn  b 上的函数值的加权平均作为 f () 的近似值，可得 机械求积公式 求积系数 求积节点 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现

7 代数精度 代数精度 定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，求积公式 代数精度的验证方法
都精确成立，但对次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度 代数精度的验证方法 将 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入，公式精确成立; 但对 f (x) = xm+1 不精确成立。 注：求积公式并不局限于机械求积公式

8 举例 例：试确定 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度 解：
将 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 代入求积公式，使其精确成立，得 … … 存在唯一解： 所以求积公式为： 具有至少 n 阶代数精度

9 举例 例：试确定系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解：
将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得 解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为 易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对 f (x)＝x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。

10 举例 例：(教材第100页) 试确定下面求积公式中的系数，使其具有尽可能高的代数精度。 解：
将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得 解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求积公式为 将 f (x)＝x3 代入，等号不成立，故公式具有 2 次代数精度。

11 代数精度 可以验证： 性质：任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的机械求积公式一定满足 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度
中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度 性质：任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的机械求积公式一定满足 练习：抛物线公式 具有 几次 代数精度？

12 插值型求积公式 插值型求积公式 误差： 设求积节点为：a  x0 < x1 < ··· < xn  b
若 f (xi) 已知，则可做 n 次多项式插值： 其中 误差： 其中

13 插值型求积公式 性质：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理：下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的
当 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 时，有 即公式精确成立 性质：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理：下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 证明：板书 当机械求积公式具有尽可能高的代数精度时, 它总是插值型的

14 求积公式余项 注意： 教材上 101 页的公式 (1.8) 无法验证 后面所有求积公式的余项估计都不能使用这个方法，否则按做错处理！！！

15 收敛性 求积公式的收敛性 定义：如果求积公式 满足
设求积节点为：a  x0 < x1 < ··· < xn  b ，令 xi = xi –xi-1 定义：如果求积公式 满足 则称该求积公式是 收敛的。

16 稳定性 求积公式的稳定性 定义：对  > 0，若存在  > 0，使得当 ( i = 0, 1, … , n) 时，有
则称该求积公式是 稳定的。 定理：若 Ai > 0, i = 0, 1, … , n，则下面的求积公式是稳定的 证明：板书

17 Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes 求积公式 基于等分节点的插值型求积公式就称为 Newton-Cotes 公式
积分区间：[a, b] 求积节点： xi = a + i  h 求积公式： Cotes 系数

18 Newton-Cotes 公式 n = 1: 梯形公式 n = 2: 抛物线公式 Simpson公式 n = 4:
代数精度 = 1 n = 2: 抛物线公式 Simpson公式 代数精度 = 3 n = 4: 科特斯 (Cotes) 公式 代数精度 = 5

19 Cotes 系数与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 无关

20 N-C 公式 Cotes 系数具有以下特点： (1) (2)
(3) 当 n  8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。 一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式 当 n  7 时，Newton-Cotes 公式是稳定的

21 N-C 公式代数精度 定理：n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 阶代数精度
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对 f (x)＝xn+1 精确成立。 x = a + t h t = n - s 即

22 余项 例：试确定梯形公式的余项表达式 板书 例：试确定 Simpson 公式的余项表达式 板书 例：试确定下面的求积公式的余项表达式 板书

23 余项 定理：当 n 是奇数时，设 f(x)Cn+1[a,b]，则 N-C 公式的余项可表示为
证明：略 注：不适用非等步长的求积公式！

24 作业 教材第 135 页：1、3、4、5、7