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第四章现代数学的发展趋势 本章主要内容 ● 数学的统一性 ● 数学应用的广泛性 ● 计算机与数学发展 一、数学的统一性 所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。 数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
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第四章现代数学的发展趋势 1.数学的统一性发展的三个阶段 1）初等数学的统一。（1）《几何原本》的诞生，是古希腊数学家用公理化的演绎推理方法将之前的积累起来的关于数学的经验进行了统一的整理，把它变成公理化的演绎体系。后来到了17世纪，法国数学家费尔马、笛卡儿又用代数和几何一一对应的方式将几何与代数进行了统一。至此，初等数学的统一性很明显的体现出来了。同时，变量数学也诞生了。 （2）变量数学诞生后，数学的发展规模是空前的。由于变量数学的诞生，产生了微积分，同时在19世纪产生了代数的变革与几何的变革，几何的变革产生非欧几何体系，代数的变革产生了新的抽象代数。由于微积分的诞生，出现了新学科如微分方程、变分法等。这样新分支的诞生使数学发展有了非常大的规模。
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第四章现代数学的发展趋势 2）到20世纪30年代，法国的布尔巴基（Bourbaki）学派提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼出各种数学结构。他们认为数学的发展无非是各种结构的建立和发展，“数学好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……。”
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第四章现代数学的发展趋势 布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构（即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数结构等等。他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类，用数学结构能统一整个数学，各个数学分支只是数学结构由简单到复杂，由一般向特殊发展的产物。数学的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。
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第四章现代数学的发展趋势 3）20世纪下半叶，数学已经发展成一个庞大的理论体系，数学分工愈来愈细，分支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不断加强，主要体现在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起：例如微分拓扑学的建立、发展；整体微分几何研究的突破；代数几何领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的突破和发展都有密切的联系。
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第四章现代数学的发展趋势 二．数学应用的广泛性 随着科学发展，学科之间的相互渗透已是一种普遍现象，而其中数学的渗透又特别明显。这种渗透不能简单地理解为把数学作为一种科学研究的工具和技术，而是新的研究领域和交叉学科建立的动力。数学已成为其他学科理论的一个重要组成部分，这是数学应用日益广泛的体现。这种体现具体讲就是数学化。 现代科学发展的一个显著特点是，自然科学、技术科学以及社会科学都普遍地处于数学化的过程之中，它们都在朝着愈来愈精确的方向发展。电子计算机的发展和应用，为各门科学的数学化提供了可能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。
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第四章现代数学的发展趋势 1.自然科学的数学化 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它的理论深刻地反映和刻画了现实世界的空间形式和数量关系。随着社会进一步的发展，愈来愈需要对自然现象和客观物质作定量研究。“数”与“形”在现实世界中无处不在，客观世界的任何一种物质的几何形态都具有空间形式，其运动的路线是曲线，而曲线是由一些数量的某种关系来刻画。这就决定了数学及其方法可以运用于任何一门自然科学，数学是自然科学的基础。
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第四章现代数学的发展趋势 物理学应用数学的历史较长，18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期。 19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑桥学派的努力而形成了数学物理分支。 20世纪以后，随着物理科学的发展，数学相继在应用于相对论、量子力学以及基本粒子等方面取得了一个又一个的突破，极大地丰富了数学物理的内容，同时，也反过来刺激了数学自身的进步。 例1 在20世纪初，狭义相对论和广义相对论的创立过程中，数学都起到了作用。 1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski， ）提出了”闵可夫斯基空间”（三维空间+时间的四维时空），闵可夫斯基几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了合适的数学模型。
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第四章现代数学的发展趋势 有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须有理论的数学结构，爱因斯坦为此花费了三年时间，最后在数学家格罗斯曼（M.Grossmann）帮助下掌握了发展相对论引力学说所必须的数学工具----以黎曼几何为基础的绝对微分学，即爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程： 爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成！”
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第四章现代数学的发展趋势 自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有某种特征，定量研究揭示研究对象具有某种特征的数量状态。精确的定量研究使人们能够对客观事物的认识从现象上升到本质，从而可能有精确的科学预见功能。数学是实现定量研究的必要条件。所以，一门科学只有当它与数学充分地融合，才可能精确地揭示客观事物的状态和变化规律，才会显示其真正的价值。 因此，自然科学研究必然要经过定量研究过程，所以科学研究的一般过程是从定性研究出发，然后再研究其量的规律性，进行定量研究，并进一步把定性研究和定量研究相结合。 科学的数学化是有一个发展过程，它是从低级运动形态发展到高级运动形态，以简单运动形态到复杂运动形态。与此相应的，是从物理学、力学、天文学开始，发展到化学、生物学和工程技术科学。
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第四章现代数学的发展趋势 （2）以生物学为例 与物理和天文等学科相比， 生物学中应用相当迟缓. 将数学方法引进生物学的研究大约始于20世纪初. 英国统计学家皮尔逊（K.Pearson， ）首先将统计学应用于遗传学和进化论， 并于1902年创办了《生物统计学》（Biometrika）杂志， 统计方法在生物学中的应用变的日益广泛。 意大利生物学家达松纳（D’Ancona）在研究地中海各种鱼群的变化及其彼此影响时，发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量在全部渔获量中的比例成倍增长。他感到困惑的是作为鱼饵的小鱼也应该多起来，并且鲨鱼在鱼群中的总体比例应该不变的。什么原因使得鲨鱼的增长要比小鱼的增长更快呢？
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第四章现代数学的发展趋势 达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他请教意大利数学家伏尔泰拉（V. Volterra）。1926年， 伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程 . 用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者（鲨鱼）增加，被食者（被食小鱼）减少；当捕鱼量增加时，捕食者减少，被食者增加。这给生物学一个满意的答复。这一现象现在称为伏尔泰拉原理，已在许多生物学领域中应用。如使用农药杀虫剂，若把害虫及其天敌一起毒杀，则由于杀死害虫数量猛增，根据伏尔泰拉原理，却会使捕食害虫的天敌下降更快，引起不利后果。
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用微分方程建立生物模型在20世纪50年代曾获得轰动性成果，这就是描述神经脉冲传导过程的霍奇金-哈斯利（Hodgkin-Huxley）方程（1952年）和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱因-拉特里夫（Hartline-Ratliff）方程（1958年），它们都是复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这两项工作分别获得1963年和1967年的诺贝尔医学生理学奖。 3）以医学为例 20世纪60年代，数学方法在医学诊断技术中的应用提供了这方面的又一重要实例。就是CT扫描仪的发明。 年间，美籍南非理论物理学家科马克（A.M.Cormack）发表了计算人体不同组织对X射线吸收量的数学公式，解决了计算机断层扫描的理论问题。科马克的工作促使英国工程师亨斯菲尔德（G.N.Hounsfield）发明了第一台计算机X射线断层扫描仪即CT扫描仪。科马克和亨斯菲尔德共同荣获了1979年诺贝尔医学生理学奖。
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第四章现代数学的发展趋势 2.社会科学的数学化 20世纪数学发展的另一个特点就是数学广泛应用于社会科学之中，即社会科学数学化的趋势增长。 所谓社会科学数学化，就是指数学向社会科学的渗透，也就是运用数学方法来揭示社会现象的一般规律。 由于社会现象的随机因素较多，情况较复杂，因此在数学化过程中所需的变量参数也较多，因此造成社会科学数学化的难度比较大，社会科学数学化的进程也就较晚。但是，随着各门科学和数学本身的进步，影响各种社会现象的因素将逐渐被数学所阐明，因此运用数学的可能性就愈来愈大。从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势
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第四章现代数学的发展趋势 其主要原因可以归结为有下面四个方面： 第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。如概率论、离散数学、模糊数学、数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等，都为社会科学数学化提供了有力的武器。这些新的数学分支使社会科学数学化成为可能。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。
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第四章现代数学的发展趋势 例1 社会科学的数学化，最早是经济学。在经济学中开始引用数学方法，如果从古尔诺（Cournot）在1883年发表《财富理论的数学原理之研究》一书算起，已有100多年的历史了。 现代数学揭示了经济学中新的经济规律，促进了经济知识的完善化。例如，在经济学中应用运筹学中的博弈论、决策论、线性规划等数学方法，来研究消费理论、生产理论、投资理论、收入理论等。数学与经济学相结合产生了数学经济学。20世纪50年代以后，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以致大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作。前苏联数学家康托洛维奇（А.В.Канторович， ）和美籍荷兰经济学家库普曼斯（T.C.Koopmans）同获1975年度诺贝尔经济学奖. 康托洛维奇和美国数学家丹齐格（G.B.Dantzig）各自独立创建的线性规划论，在20世纪50年代被库普曼斯应用于经济学而获得成功。
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第四章现代数学的发展趋势 20世纪50年代以来，数量经济学由于公理化方法的引入而取得了重大进展。1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛（G.Debreu）发表了<价格理论>，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述。从此，公里化方法成为现代经济学研究的基本方法。阿罗和德布洛先后于1974年和1983年获得诺贝尔经济学奖。 例2 数学与语言相互渗透，产生了数理语言学这门新的交叉学科。它用数学方法来研究语言结构和语法形式属性。随着现代科学技术的发展和电子计算机的推广应用，使人脑与电脑通力协作，使数学与语言融为一体，产生计算机语言。
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第四章现代数学的发展趋势 例3 数学向文学研究领域的渗透，使人们发现数学与文学之间存在联系，像英国数学家西尔维斯特（Sylvester）撰写的《诗的格律》一文，就应用了数学方法对莎士比亚的《十四行诗》进行了分析。1980年，美藉华人陈炳藻先生运用了数学与计算机相结合的手段发表了《从词汇上统计，论〈红楼梦〉的作者问题》。还有复旦大学教授李贤平先生对此亦作出了贡献。 社会科学的数学化已为人们所广泛接受，社会科学的数学化是数学与社会科学相互作用、相互渗透的进程。一方面，它把数学运用于各门社会科学，从而极大地提高社会科学研究的质量和效率，使社会科学更加完善和更具有说服力。另一方面，它使社会科学与数学相结合产生新的交叉学科，从而进一步促进数学的发展。
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第四章现代数学的发展趋势 三、计算机与数学发展 电子计算机是20世纪最伟大的技术成就之一。这个最初为了代替人类计算的机器使得人类面临着一场新的科学技术革命。在数学方面，计算机至少有三种新的用途，第一，用来证明一些数学命题，而通常证明这类命题，需要进行异常巨大的计算与演绎工作。第二，用来预测某些数学问题的可能结果。第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法。 1. 数学机械化 （1）数学机械化的产生与发展 20世纪40年代，出现了计算机以后由此产生一门新的学门，叫做人工智能。人工智能考虑诸如，机器翻译，机器推理，机器下棋，机器看病等等，它的目的就是利用计算机来代替或减轻某种形式的脑力劳动。
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第四章现代数学的发展趋势 1854年，英国数学家乔治·布尔（George Boole）把逻辑简化成的一种代数，用一些符号把逻辑推理形式化，发表了《逻辑的数学分析》和《思维规律的研究》，从而创立了布尔代数。这种代数把逻辑推理简化成极其容易操作，因而可以减轻脑力劳动。这可以看作数学机械化的起步。 世纪末，德国数学家希尔伯特创立并且发展数理逻辑以来，脑力劳动机械化的设想才有了明确的数学形式。 年，波兰数学家塔斯基（Tarski）证明了在初等几何和初等代数这一范围内的定理证明可以机械化，并且提出了一个算法。这在理论上非常成功，它把一类初等代数和初等几何的定理证明，完全交给机器去做，是真正意义上的脑力劳动机械化。但是这个算法非常繁琐，并且有许多定理的证明都不成功。
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第四章现代数学的发展趋势 1959年，美籍华人王浩教授设计了一个机械化方法，只需9分钟计算时间，用计算机证明了两位英国数学哲学家罗素和怀特海（Alfred North Whitehead）于1913年出版的《数学原理》中的几百条定理。 1976年，美国伊利诺斯（Illinois）大学的阿佩尔（K. Appel）和哈肯（W. Kaken）用计算机运行了1200小时证明了数学家们100多年来所没有解决的四色猜想——任何一幅地图着色，只要四种颜色就可以使所有相邻地区的颜色不相同。1977年，数学家吴文俊在定理证明机械化研究上取得初步成果。他独立证明了初等几何主要一类定理的证明可以机械化，并且提出了切实可行的机械化方法，国际上称“吴方法”。
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第四章现代数学的发展趋势 2）数学机械化的意义 （I）数学机械化与公理化一样，对于数学的发展具有巨大的现实意义。数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。这是因为，抽象的数学概念和结论，往往难于掌握和运用。当把抽象的概念变成具体可算的过程，将易于接受和适宜应用。运用机械化思想考察数学，将引导数学家重新认识数学对象，建立新的模式，从而发现新的结论。 （II）数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义。吴文俊认为“公理化的思想导源于古希腊，机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。”他分析了中国传统数学的光辉成就在数学科学进步历程中的地位和作用，指出数学机械化思想是我国古代数学的精髓，它与源于古希腊的公理化思想，对于数学的发展都发挥了巨大作用。
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第四章现代数学的发展趋势 2.计算数学的发展 计算数学，也叫做数值计算方法或数值分析，是一门研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的学科，其主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决，具体有代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。随着15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技术有了新发展。以解析几何与微积分为标志的近代数学发展，计算数学也有相应的发展。随着15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技术有了新发展。以解析几何与微积分为标志的近代数学发展，计算数学也有相应的发展。
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第四章现代数学的发展趋势 但是这些发展都受到具体计算速度的限制。随着科学技术发展，人们面临需要处理的数据量更大。计算机的出现为大规模的数据处理创造了条件，人们也开始真正认识到计算数学的重要性。集中而系统地研究适用于计算机的计算数学立刻变得非常迫切和必要。计算数学的方法正是在大量的数值计算实践和理论分析工作的基础上真正发展起来，它不仅仅是一些数值方法的简单积累，而且揭示包含在多种多样的数值方法之间的相同的结构和统一的原理。计算机和计算数学的发展是相辅相成、相互制约和相互促进的。如果没有计算机的问世，那么今天也许就不会有作为数学中独立分支的计算数学。因此现代意义下的计算数学是数学与计算机应用相结合产生的交叉学科，
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第四章现代数学的发展趋势 3.新学科的发展 数学的发展非常迅速，出现了许多新的学科。这里我们仅仅介绍非常具有代表性的学科——分形几何。 分形的思想最早出现在1875至1925年数学家的著作。分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构与原先的一样。比如雪花曲线——一条周长无限而面积有限的封闭曲线，而圆周没有这种现象，它经过放大后便变得比较平直。 分形几何学的研究离不开电子计算机，电子计算机和电子计算机绘图能够产生分形，把它们显示出来，电子计算机的发展才使得人们有能力研究分形。 分形几何学不仅描绘了大自然中诸如地震、树、海岸线等自然现象，而且在天文、气象和工业等方面也有广泛应用。
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第四章现代数学的发展趋势 分形是法国数学家曼德勃罗特（B.B. Mandelbrot）于1975年创造的，他在1975、1977和1982年先后出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了分形几何学这一新的数学分支。其基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
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分形时装
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