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--球的体积和表面积--
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球的体积 高等于底面半径的旋转体体积对比 R
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学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是πR和R的矩形。
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球的体积 问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积. A O A O B2 C2
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A 球的体积 O R O
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球的体积
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球的体积
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球的表面积 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
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球的表面积
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球的表面积 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 第一步：分割 O 则球的表面积： 则球的体积为： O
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球的表面积 O 第二步：求近似和 O 由第一步得：
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如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥
球的表面积 如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥 第三步：化为准确和 O
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例题讲解 例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
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(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 由计算器算得: 答:空心钢球的内径约为4.5cm.
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正方体的内切球 (变式2)把钢球（直径为5cm）放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体 正方体的内切球 侧棱长为5cm
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正方体的外接球 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 正方体的外接球 A B C D D1 C1 B1 A1 O
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变式.如图，求与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱都相切的球O的表面积。
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例３已知圆台上下底面圆周都在球面上，且下底面经过球心O，圆台的高等于球半径的一半，求圆台的体积与球的体积的比．
A C B
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O C A B 例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r， O A B C
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例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
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例5.求棱长为a的正四面体的内切球和 外接球的表面积 . 解:如图所示,设点O是内切球的球心. 由图形的对称性知点O也是外接球的球心.
设内接球半径为r,外接球半径为R. 的正四面体表面积S表=4 . 正四面体的体积
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内切球的表面积S内= 在 中, 得 即 外接球的表面积
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1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.
练习一 8 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍. 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3. 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________,表面积之比_________. 1:2:3
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练习二 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.
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练习二 课堂练习 5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为_____.
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为_____. 6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是______.
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课堂小结 了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
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课堂作业
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