第二讲 概率统计基本概念 一、概率统计的基本概念 1．随机事件（random test）

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1 第二讲 概率统计基本概念 一、概率统计的基本概念 1．随机事件（random test）
第二讲 概率统计基本概念 一、概率统计的基本概念 1．随机事件（random test） 在一定条件下可能实现，也可能不能实现的现象称为随机事件。 如“某一铜矿体中铜品位为0.5%-1.2%”、“闪长岩侵入于碳酸盐地层中形成矽卡岩铁矿”、“钻探到地下1000米处见矿”等。 由于地质作用的长期性和复杂性，地质过程中的大多数地质现象都可当作是随机事件。

2 2．总体（population）和样本（group）
　　假设我们研究某个矿体，并从该矿体上采集一组（n个）样品，并分析这组样品中成矿元素Cu和伴生金属元素Pb、Zn、Ag的含量，便可得到一系列元素含量的值，如下所示： 其中，1=Cu, 2=Pb, 3=Zn, 4=Ag,

3 其中，1=Cu, 2=Pb, 3=Zn, 4=Ag, 将这组样品中一切测定值的集合称为总体(population) 某个样品上所得到的测定值为样本(group) 样本中的单个测定值称为个体（individuals） 一个总体中所含个体的数目称为总体大小（此处为n×4) 样本中所包含个体的总数为样本大小/容量（此处为4） 　　注意：样本和样品的区别！

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5 3．随机变量（random variables）
在观测或试验中，可能取这个或那个数值，但事前不能确定取什么样的值，而一旦观测/试验完成，其值也随之唯一确定。这种变量称为随机变量(离散型、连续型)。 在某个铜矿体的不同部位取样并分析各样品的Cu品位值。显然，每个样品的品位事先是不能预测，且随其在矿体位置的不同而有所变化，但经化验分析后其值又是唯一的，因此Cu品位是一个随机变量。地质学中大多数变量都是随机变量。　

6 4．频率(frequency)和概率(probability)
若进行N次观测，某一事件A出现的次数m称为其发生的频数（f*），m/N比值称事件A发生的频率. 如果试验（观测）条件相同，当N→∞时，频率f的极限值称为事件A出现的概率，用P表示。实际上，当N足够大时（N>50~100），可取事件A的频率作为概率的近似值。 对某一地区500个水系沉积物样品进行Au的含量分析，其中64个样品的品位>50 ppb，则 样品品位高于50ppb的频数为64，频率为64/500=12.8%, 它接近于本区样品Au含量超过50ppb的概率。

7 5．随机事件的概率有以下重要性质 （1）对任意事件A，0≤P (A)≤1
　（2）若事件A和事件B互不相容（即A、B不可能同时出现）则P (A +B) = P (A) + P (B)（概率加法) 　（3）条件概率（conditional probability） 若A、B为两个随机事件，且P (B)≠0，则事件B已经出现的条件下事件A出现的概率称为条件概率，即 P (A|B) = P (AB)表示AB同时出现的概率，即联合概率（joint probability）。

8 例：将某一区域划分为16个单元，其中7个单元出现NE向断裂，4个单元出现铅锌矿化；其中三个出现在有NE向断裂的单元内，试计算当存在NE向断裂的条件下有矿化的概率。
P(NE向断裂) ＝7/16=0.44, P(矿化|NE向断裂) =P(矿化&NE向断裂)/ P(NE向断裂) =(3/16)/0.44=0.187/0.44=42.5%

9 （4）全概率公式 　若事件B1, B2, …., Bn是一组互不相容的事件，并且B1＋B2＋….＋Bn是一个必然事件，则称 B1, B2, …., Bn构成了一个互不相容的事件完备群。若事件A与事件Bi (i=1, 2, …, n)中之一同时出现，即： A＝AB1+AB2+…+ABn, 则事件A出现的概率为： P(A)=P(B1)P(A|B1) +…+ P(Bn)P(A|Bn)

10 (5)贝叶斯准则（Bayes’ theory ）
　　贝叶斯准则的基本公式为： P(AB) = P(B|A)P(A) 即事件A、B同时出现的概率等于事件A已经出现时事件 B出现的概率乘以事件A发生的概率。上式等价于： P(AB) = P(A|B)P(B) 即P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)。此式又可写成： P(A|B)P(B) P(A) P(B|A) = 贝叶斯公式非常有用，因为有时我们只知道条件概率中 A事件的概率，但恰恰所关心的是B事件的概率。

11 例： 经测量发现某一地区有磁场异常的出现（A），但我们所关心的是磁异常出现的情况下该区出现矿床（B）的概率是多少。我们可以获得矿区的条件概率P（磁异常|矿化）和非条件概率P（矿化），但却很难直接获得P（矿化/磁异常），因为需要对每一个磁异常进行检查和验证，这在实际工作中往往是不太可能的。通过贝叶斯公式，我们可以对P（矿化|磁异常）进行计算，即：

12 5.频率分布和概率分布（frequency distribution & probability distribution）

13 　　如果观测次数无限增大，且分组区间无限减小，则可以用频率分布曲线来代表总体分布的概率分布曲线，它对应着一个函数关系y=f(x)。函数f(x)称为X的概率密度函数（probability density function）。若f(x)已知，给定区间（a, b），则随机变量X在（a, b）区间的取值概率

14 第二讲 概率统计基本概念（续） 一、概率统计的基本概念 1．随机事件 随机现象 V.S. 决定性现象
第二讲 概率统计基本概念（续） 一、概率统计的基本概念 1．随机事件 随机现象 V.S. 决定性现象 过马路遇到红灯 V.S. F=ma; 长方形面积 = L x H 2．总体和样本 3．随机变量 4．频率、概率、条件概率、联合概率 全概率公式、贝叶斯准则 随机事件A, 若在N次试验中出现了n次，则 FN(A) = n/N； 频率稳定性－－－统计规律性 概率P(A) P(NE向断裂) P(矿化|NE向断裂) P(矿化&NE向断裂)

15 5.频率分布和概率分布（frequency distribution & probability distribution）

16 　　如果观测次数无限增大，且分组区间无限减小，则可以用频率分布曲线来代表总体分布的概率分布曲线，它对应着一个函数关系y=f(x)。函数f(x)称为X的概率密度函数（probability density function）。若f(x)已知，给定区间（a, b），则随机变量X在（a, b）区间的取值概率

17 6．概率分布函数（probability distribution function）
　　定义：设X是随机变量，对于任何实数x，若事件（X≤x）的概率P（X≤x）有意义，则可定义函数： 　　　F (x) = P (X≤x) [x∈R1=(-∞, +∞)] 则称F (x)为随机变量X的概率分布函数。它给出随机变量X不大于x值的概率。 在数学上，F(x) = P (X≤x) 可用积分形式表示：

18 正态分布的随机变量的 概率密度函数 正态分布的随机变量的 概率分布函数

19 7．随机变量的若干重要数字特征 （1）平均值（aerage/expectation）
设离散型随机变量X 的可能取值为x1, x2, …, xn, .., P (X =xi) = Pi，则X的平均值 μ = （即以取值概率为权的加权平均值） 　对连续型随机变量X，设其概率密度函数为f (x)，则　 E(X) ＝ 　样本算术平均值 μ = 　　　　　　　　　　　　　　

20 众数 (mode): 具有最大频率的随机变量的取值 中位数 (median): 累积概率50%时对应的观测值.
在正态分布中，mode=median=expectation　　　　　　　　　　　　　　　　　　 f(x) .

21 S2= 方差的平方根称为标准差(standard deiation), 记为σ.
（2）方差、标准差、变异系数 　方差（ariance）是对随机变量离散性质的反映和度量，实际上反映了每一个体(观测值)偏离总体平均值的程度。其数学表达式为： D(X) = E[X-E(X)]2 样本方差的计算： S2= 方差的平方根称为标准差(standard deiation), 记为σ.

22 变异系数（Coefficient of ariation）
变异系数是衡量矿化均匀程度等的重要参数 CV=

23 cov(X,Y )=E[X-E(X)][Y-E(Y)]
　(3)协方差（Coariance）， σXY 　用以表征表征随机变量X、Y相对于各自平均值的协同变化（joint ariation）。分别对随机变量X和Y进行观测，得样本容量为n的一组观测值x1，x2…xn和y1，y2…yn，则　　 cov(X,Y )=E[X-E(X)][Y-E(Y)] 样本协方差计算：

24 （4）相关系数（correlation coefficient）
随机变量X与Y之间的相关系数记为 样本相关系数计算： 　　相关系数有以下性质： 　　1）对任意随机变量X和Y， -1≤rxy≤1 　　2）相互独立的随机变量x, y，其rxy=0，σxy也为0）

25 De Wijs 锌品位数据 118个样品 deWijs(1951)发表了取自Boliia的Pulacayo地区铅锌矿-石英矿脉中的118个锌元素化验数据。 在一条铅锌矿-石英脉（地下446标高）240米长的穿脉水平巷道中，每隔2米刻槽取了118个样品。大块脉质平均仅0.5米宽并同时包含了两侧围岩中侵染状的闪锌矿，部分地方出现近似平行的细矿脉脉道。水平巷道中样品被切割成标准的1.3米宽（与期望的终止宽度相吻合）。图中的的化验值表示了平均加权的锌的百分含量，每隔样品点代表1.3米宽度（与矿脉垂直切割） Zinc (％) Distance (m) Zinc (％) rank

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28 N: 118 Max: Max_Dist: 186 Min: Min_Dist: 230 Range: Mean: Var: Std: Median: Mode: IQR: CV: Skewness: Kurtosis:

29 Q-Q Plot

30 lg[Zinc (％)] Distance (m) N: 118 Max: 1.5944 Min: 0.5682 Range: 1.0262
Mean: Std: Median: Trimmean: Geomean: Harmmeam: Mode: Mad: Var: IQR: Moment: CofV: Skewness: Kurtosis: Distance (m)