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概率论与数理统计第19讲 本讲义可在网址 或 ftp://math.shekou.com 下载

2 §5.3 抽样分布

3 一, 抽样分布 有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数, 此时需对总体的未知参数或对总体的数字特征(如数学期望, 方差等)进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断. 在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布.

4 讨论抽样分布的途径有两个. 一是精确地求出抽样分布, 并称相应的统计推断为小样本统计推断; 另一种方式是让样本容量趋于无穷, 并求出抽样分布的极限分布. 然后, 在样本容量充分大时, 再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布, 进而对未知参数进行统计推断, 称与此相应的统计推断为大样本统计推断. 这里重点讨论正态总体的抽样分布, 属小样本统计范畴, 此外, 也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限分布, 属大样本统计范畴.

5 二, 单正态总体的抽样分布 设总体X的均值为m, 方差为s2, X1,X2,, Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有

6 而

7 定理1 设总体X~N(m,s2), X1,X2,, Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有

8 定理2 设总体X~N(m,s2), X1,X2,, Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1)
(证略)

9 定理3 设总体X~N(m,s2), X1,X2,, Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
证明 结论(1)是c2分布定义的直接推论.

10 对结论(2), 前面已知 由t分布的定义有

11 例1 设X~N(21,22), X1,X2,,X25为X的一个样本, 求 (1) 样本均值X的数学期望与方差; (2) P{|X-21 |0.24}. 解 (1) 因为

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14 例如若s=0.1, n=10. 则 于是我们以99.7%的概率断言, X与物体真正重量m的偏差不超过0.09. 如果将称量次数n增加到100, 则 这时我们以同样的概率断言, X与物体真正重量m的偏差不超过0.03.

15 例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差
例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差. 对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(m,s2), 这里s2=100米2, 现在进行了25次发射试验, 用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差, 试求S2超过50米2的概率.

16 解 因为 于是 于是我们以超过97.5%的概率断言, S2超过50米2.

17 例4 从正态总体N(m,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2, …, Xn. X是样本的均值. 若m未知, 计算概率
[分析] 计算与随机变量有关的事件的概率, 必须知道该随机变量的分布.

18 解 若m未知, 由于Xi~N(m,0.52), 所以

19 故 查c2分布表知: 所以

20 查c2分布表知, 所以

21 例5 从正态总体X~N(m,s2)中抽取容量为16的一个样本, X, S2分别为样本均值和样本方差, 若m, s2均未知, 求S2的方差D(S2)及概率

22 解

23

24

25 (3) 由于

26

27 则 (3) 当s12=s22=s2时,

28 证明 (1) 因 相互独立, 故 即

29 (2) 因 且相互独立, 因此有

30 (3) 当s12=s22=s2时, 由(1)知 则 整理后即得结论.

31 例6 设两个正态总体X与Y都服从正态分布N(20,3)
例6 设两个正态总体X与Y都服从正态分布N(20,3). 今从总体X与Y中分别抽得容量n1=10, n2=15的两个相互独立的样本, 求P{|X -Y |}>0.3}. 解 由题设知

32 于是

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34 四, 一般正态总体抽样分布的极限分布 对于一般总体, 无论其服从什么分布(离散的或者连续的), 只要样本容量n足够大根据中心极限定理, 它的样本均值X都近似服从正态分布. 即近似有

35 课堂练习 1. 设X1,X2,…,X15为正态总体N(0,32)的一个样本, X为样本均值, 求:

36 2. 设X1,X2,…,Xn为总体X~N(m,s2)的一个样本, X和S2为样本均值和样本方差
2. 设X1,X2,…,Xn为总体X~N(m,s2)的一个样本, X和S2为样本均值和样本方差. 又设新增加一个试验量Xn+1, 而且Xn+1与X1,…,Xn也相互独立, 求统计量 的分布.

37 作业 习题5-3 第183页开始 第2,3,9题