第三章 導函數 ‧3-1　函數的極限與連續 ‧3-2　導數及其基本性質 ‧3-3　微分公式 ‧3-4　高階導函數.

Presentation on theme: "第三章 導函數 ‧3-1　函數的極限與連續 ‧3-2　導數及其基本性質 ‧3-3　微分公式 ‧3-4　高階導函數."— Presentation transcript:

1 第三章 導函數 ‧3-1　函數的極限與連續 ‧3-2　導數及其基本性質 ‧3-3　微分公式 ‧3-4　高階導函數

2 3-1函數的極限與連續 區間表示法 函數極限的定義 函數極限的求法 極限的運算性質 左、右極限 函數的連續性

3 區間表示法 若a、b、x為實數，且 a < b (1)閉 區 間： (2)開 區 間： (3)半開區間(半閉區間)：

4 函數極限的定義 當函數 f (x)定義域中的x逐漸趨近於定數a時(x≠a)，則對應的函數值f (x)也逐漸趨近於α，即若x→a (x≠a)，則f (x)→α 此時我們稱為x趨近a時，f (x)的極限為α，記為

5 函數極限的求法 計算 之值： (f (x)為多項式、有理式或根式) (1)以x＝a直接代入 f (x)，函數值不會出現分母為0的情形，則 。
計算 之值： (f (x)為多項式、有理式或根式) (1)以x＝a直接代入 f (x)，函數值不會出現分母為0的情形，則 。 (2)以x＝a直接代入f (x)，函數值出現 的情形，通常要把使分子、分母產生0的公因式約去之後，再把x＝a代入，便可求得極限。

6 極限的運算性質

7 左、右極限 (1)當x > a且x →a ( x從a的右側趨近a )， 我們稱為 f (x)於a的右極限， 記作 。
記作 。 (2)當x < a且x →a ( x從a的左側趨近a ) ， 我們稱為f (x)於a的左極限， 記作 。

8 函數的連續性 函數 f (x)若滿足下列三個條件， 則稱函數f (x)於點x＝a為連續： (1) f (a)存在 (2) 存在 (3)

9 3-2　導數及其基本性質 變化率 導數的定義 導數的幾何意義 導數的物理意義 導函數 可微分與連續的關係

10 變化率 為函數f (x)在區間[a,b]的平均變化率。 為函數f (x)於a的瞬時變化率。

11 導數的定義(1) a 為函數f (x)定義域內一點， 我們稱極限值 為 f (x)在x＝a處的導數，以f '(a)表示之，即

12 導數的定義(2) 在 導數的定義中， 設x－a＝h，則x＝a＋h， 當x→a時，意指h →0，
在 導數的定義中， 設x－a＝h，則x＝a＋h， 當x→a時，意指h →0， 那麼f (x)在x＝a的導數我們也可以表示成：

13 導數的幾何意義 曲線y＝f (x)在x＝a的導數f '(a)， 即為此曲線在點(a,f (a))的切線斜率。

14 導數的物理意義 (1)位移函數f (t)在t＝a處的導數 為此運動物體在時刻a的瞬時速度。 (2)速度函數v(t)在t＝a處的導數

15 導函數 如果定義域中的每一個點a，函數f (x)都有導數
f '(a)，此時f '(x)形成一個新的函數，我們就稱f '(x)為f (x)的導函數。求導函數的過程稱為微分。 對於導數、導函數、微分、可微分這些名稱，實際上是指同樣的概念，只不過是名詞、動詞、形容詞的差別而已。 函數y＝f (x)的導函數，有下列的表示方法：

16 可微分與連續的關係 (1)可微分的函數必定是連續。 (2)連續函數不一定可微分。 例如： 函數f (x)＝│x│在x ＝0處雖然為連續，

17 3-3　微分公式 微分公式 連鎖規則

18 微分公式(1) 公式1：若 f (x)＝xn，則 ( n為自然數) 公式2：若f (x)＝k ，則 ( k為常數)
公式3：若y＝kf (x)，則 　　　　 ( k為常數)

19 微分公式 (2) 公式4：若y＝f (x)＋g(x)，則y＝f '(x)＋g'(x)
公式6：若y＝f (x)g(x)，則y＝f '(x)g(x)＋f (x)g'(x) 公式7：若 ，則

20 連鎖規則 (1)設y＝g(f (x))，且f '(x)、g'(f (x))均存在， 則y '＝g'(f (x))×f '(x)
(2)設n為有理數，f (x)為可微分函數， 若y＝(f (x))n，則y '＝n(f (x))n－1 ×f '(x)

21 3-4　高階導函數 第一、二階導函數 第三階與第n階導函數

22 第一、二階導函數 (1)對一般可微分的函數f (x)而言， 其導函數為f '(x)，或者記為 (2)若函數f '(x)仍可微分，

23 第三階與第n階導函數 (1)若函數f ''(x)仍可微分， (f ''(x))'稱為f (x)的第三階導函數，其記號為 (2)依此類推，
f (x)的第n階導函數，其記號為