商用微積分 CH3 微分.

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1 商用微積分 CH3 微分

2 微分的四個基本法則 法則1：常數的導函數 法則2：乘冪法則 法則3：函數有常數倍數的導函數 法則4：和法則 （c 為常數）
若n 為任意實數，則 法則3：函數有常數倍數的導函數 法則4：和法則 CH3 微分 第 頁

3 乘積法則及商法則 法則5：乘積法則 法則6：商法則 CH3 微分 第 頁

4 鏈鎖律 法則7：鏈鎖律 廣義乘冪法則 若h(x)= g[f(x)]，則
換言之，若已知 y = h(x) = g(u) ，其中u = f(x)，則 廣義乘冪法則 若函數 f 為可微且h(x)=[f(x)]n（n 為實數），則 CH3 微分 第 頁

5 廣義乘冪法則 若函數 f 為可微且 (n為實數)，則 CH3 微分 第頁

6 例6 令 ，求函數圖形上在點 的切線斜率。 CH3 微分 第157頁

7 解 在f的圖形上任意點的切線斜率為f'(x) ，要計算f'(x)時，我們可先運用廣義乘冪法則，接著再運用商法則，於是可得
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8 解 由上式可知 f 在 的切線斜率為 CH3 微分 第157頁

9 邊際成本 在某一產量下，工廠每多生產一件商品時真正成本稱為邊際成本(marginal cost)
我們可用總成本函數的變化率做為邊際成本的近似值 經濟學家將邊際成本函數(marginal cost function)定義為總成本函數的導函數。換言之，若C為總成本函數，則其邊際成本函數為C' ，於是邊際一詞等同於導函數。 CH3 微分 第163頁

10 平均成本函數 令C(x)為總成本函數，則平均成本函數(average cost function)記為 〔讀做C bar of x〕且表示為
平均成本函數的導函數 稱為邊際平均成本函數(marginal average cost function)，也就是平均成本函數對產量的變化率。 CH3 微分 第 頁

11 收入函數 收入函數R為 在某一銷售量之下，邊際收入(marginal revenue)代表產品多售出一單位的真正收入。
我們可說R' (x)為邊際收入，於是將R' (x) 定義為邊際收入函數(marginal revenue function)，R的導函數R'正是收入函數的變化率。 CH3 微分 第167頁

12 利潤函數 我們接下來要談的是利潤函數，利潤函數P為
其中R 和C 分別為收入函數與成本函數，x 則為商品的產量及銷售量。邊際利潤函數(marginal profit function) P‘(x)代表售出第(x + 1)個產品時所得的利潤（或虧損）（假設已售出 x 個產品）。 CH3 微分 第 頁

13 需求彈性 令 f 為定義成 x ＝ f(p)的可微分需求函數，則在單價為 p 時的需求彈性(elasticity of demand)為
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14 彈性需求 若E(p) ＞ 1，則稱為彈性(elastic)需求。 若E(p) ＝ 1，則稱為單位(unitary)需求。
若E(p) ＜ 1，則稱為非彈性(inelastic)需求。 CH3 微分 第171頁

15 彈性需求 1. 單價為 p 時，若為彈性需求[E(p)＞ 1]，單價的上漲會使收入減少，但單價下降會使收入增加。
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16 圖13 CH3 微分 第172頁

17 高階導函數 函數 f 在 x 的一階、二階、三階……及n 階導函數分別記為 或 CH3 微分 第176頁

18 通貨膨脹率 令某經濟體系在a年至b年的消費者物價指數(consumer price index, CPI)可用函數 I(t)來表示（其中a ≤ t ≤ b），I 在t ＝ c 的一階導函數 I‘(c)（其中a ＜ c ＜ b），為 I 在c的變化率。而， 則是I(t)在 t ＝ c 時對t的相對變化率(relative rate of change)，代表該經濟體系在t＝c時的通貨膨脹率(inflation rate)。 CH3 微分 第 頁

19 隱微分 考慮方程式 若在 x 及 y 上加上適當的限制，則此方程式定義 y 為 x 的函數，在此例卻不容易將 y 明確表為 x 的函數。我們自然會問起，此時如何計算dy/dx？ 幸虧有鏈鎖律，我們可直接由隱函數形式的方程式來計算dy/dx，這種方法稱為隱微分(implicit differentiation) CH3 微分 第182頁

20 以隱微分求dy/dx 1.將式子的兩邊同時對 x 微分（注意：任何含 y 之項的導函數必有dy/dx的因子）。
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21 例3 考慮方程式 x2+y2＝ 4。 a.以隱微分方法求dy/dx。 b.求函數 y =f(x)的圖形在點 的切線斜率。
c. 求(b)之切線方程式。 CH3 微分 第183頁

22 解 a. 將式子的兩邊同時對 x 微分，得 CH3 微分 第 頁

23 解 b.此函數在點 的切線斜率為 （註： 讀做dy/dx evaluated at 。） CH3 微分 第184頁

24 解 c.以斜率 及點 ，使用點斜式可得切線方程式為 切線的圖形在圖17中。 CH3 微分 第184頁

25 解 CH3 微分 第184頁

26 解 我們可將x2＋y2＝ 4 的式子，寫成顯函數的形式(y＝f(x))，即 現在，原方式定義兩函數：
點 並不在y＝g(x)的圖形上，所以本題的函數應為 f 的圖形為上半圓（原點為圓心且半徑為 2），如圖17所示。 CH3 微分 第184頁

27 解 註：符號 是用來表示dy/dx 在點(a, b)的值。 CH3 微分 第185頁

28 應用例題6 新成屋的變化率 根據全國不動產經紀人協會的研究，未來 5年內美國西南部新成屋數目 N(t)（以百萬計）與房貸利率r(t)（以每年的百分率計）的關係為 若已知房貸利率為每年11% 且以每年 1.5%的速率增加，求新成屋數目的變化率。 CH3 微分 第186頁

29 解 目前已知 而我們想求的是 dN/dt。先於原式中代入 r ＝ 11，得 CH3 微分 第186頁

30 解 或N ＝ 5/3（N不得為負）。再將原式的兩邊同時對 t 微分，得 再代入 N ＝ 5/3 及dr/dt ＝ 1.5 後得
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31 解 解得dN/dt 為 這表示新成屋的數目是以每年50,000戶的速率減少。 CH3 微分 第187頁

32 求解相關變化率問題 1. 對各量指定一變數，若需要的話，畫圖以助思考。 2. 寫出各變數及其對 t 之變化率的已知值。
3. 求可表示變數之間的關係方程式。 4. 以隱微分將方程式的兩邊對t微分。 5. 代入第2 步驟的數值，再解方程式求得所需的變化率。 CH3 微分 第188頁

33 微分量 經濟學家想知道國家資本支出的些微增加，會如何影響國家的出口總額。 社會學家想知道增加房地產的投資，會如何影響犯罪率。
生意人想知道產品單價的些微調漲，會如何影響其利潤。 細菌學家想知道些微增加殺菌劑的量，會如何影響病菌的群體數。 CH3 微分 第192頁

34 增量 令x表某一變量且假設 x 由x1變至x2，則 x 的變化量稱為 x的增量(increment in x)，並記為∆x（讀做delta x），亦即 假設兩個變量x 和y 的關係式為y ＝ f(x)，其中f 為函數。當 x 的值由 x 變到 x ＋ ∆ x時，y 亦會有所改變，y的改變量稱為y的增量(increment in y)，記為∆y 並定義成 CH3 微分 第 頁

35 增量 CH3 微分 第193頁

36 增量 CH3 微分 第194頁

37 微分量 令y ＝ f(x)為x 的可微函數，則 1. 自變數 x 的微分量dx為dx ＝ ∆x。 2. 依變數 y 的微分量dy為
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38 應用例題5 汽車速度對營運成本的效應 卡車在500哩的旅途上，以平均速度為v mph來行駛時的營運成本（以元計）為
當平均速度由55 mph增加到58 mph時，求營運成本的近似變化量。 CH3 微分 第196頁

39 解 已知v ＝ 55 且∆v ＝ dv ＝ 3，則 營運成本減少1.46 元，這說明了為何很多卡車司機經常超速（速限為55mph）。
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40 第3章公式總整理 CH3 微分 第 頁

41 第3章公式總整理 CH3 微分 第 頁