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曲线拟合 Curve fitting 2002级研究生《医学统计学》
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医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论。这时可以用曲线直线化估计（Curve estimation）或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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曲线直线化估计的步骤 2002年12月 绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型（可同时选取几类） 按曲线类型，作曲线直线化变换
建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算决定系数 将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程 比较决定系数选取“最佳”曲线方程 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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曲线形式 （根据生物学机制理论决定） 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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常见的曲线回归方程 ①幂函数： ②对数： 2002年12月 或 ③指数函数： 或 ④多项式： ⑤logistic： 或
第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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一、利用线性回归拟合曲线（例1） 2002年12月 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
例 上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭电泳, 测得火箭高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性回归方程。 X Y X'＝lnX (lnX) Y (lnX)Y 残差平方 合计 1.6458 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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（一）绘制散点图，决定曲线类型 （二）曲线直线化变换 =a+blnX
第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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（三）建立线性回归方程 回归方程为： =19.7451+7.7771 lnX
方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝763.50，表明回归方程有贡献。 确定系数为0.99，表明回归拟合原资料很好。 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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用线性回归拟合曲线（例2） 2002年12月 表9-11 25名重伤病人的住院天数X与预后指数Y 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 编号
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X 19 26 31 34 38 45 52 53 60 65 Y 54 50 37 35 25 20 16 18 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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（一）绘制散点图，决定曲线类型 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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（二）曲线直线化变换 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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（三）建立线性回归方程 回归方程为： X 方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝276.38，表明回归方程有贡献。 确定系数为0.9551，表明回归拟合原资料较好。 转换为原方程的另一种形式： 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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比较两个回归方程可见，对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。
曲线直线化 非线性最小二乘法 比较两个回归方程可见，对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。 主要因为曲线直线化以后的回归只对变换后的Y*(＝lnY)负责, 得到的线性方程可使Y*与其估计值 之间的残差平方和最小,并不保证原变量Y与其估计值 之间的残差平方和也是最小。 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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问题：前一个例子只对自变量作对数变换的对数曲线拟合，能否保证原变量Y与其估计值 之间的残差平方和也是最小？幂函数曲线拟合呢？
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问题：如何判断哪个曲线拟合方程更佳？ 对于例9-15，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（曲线直线化）：
线性（直线）R2： (y = x) 幂曲线R2： (y = x ) 对数曲线R2： (y = Ln(x) ) 指数曲线R2： (y = e x) 二项式曲线R2：0.9812(y = x x2 ) 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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问题：如何判断那个曲线拟合方程更佳？ 对于例9-15，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（非线性回归——迭代法）：
线性（直线）R2： (y = x) 幂曲线R2： (y = x ) 对数曲线R2： (y = Ln(x) ) 指数曲线R2： (y = e x) 二项式曲线R2：0.9812(y = x x2 ) 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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R的计算（曲线直线化） 原变量Y与 （直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值＝相关指数R 线性（直线）R：＝X与Y间相关系数绝对值
幂曲线R： ＝lnX与lnY间相关系数绝对值 对数曲线R： ＝lnX与Y间相关系数绝对值 指数曲线R： ＝ X与lnY间相关系数绝对值 二项式曲线R： ＝√（1－SS残差/SS总） 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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R的计算（非线性回归） 原变量Y与 （直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值＝相关指数R 线性（直线）R：＝X与Y间相关系数绝对值
幂曲线R： ≠lnX与lnY间相关系数绝对值 对数曲线R： ＝lnX与Y间相关系数绝对值 指数曲线R： ≠ X与lnY间相关系数绝对值 二项式曲线R： ＝√（1－SS残差/SS总） 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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散点图辨析 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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注意绘制散点图，并结合专业知识解释 如果条件允许最好采用非线性回归（Nonlinear Regression）拟合幂函数曲线与指数函数曲线
第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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采用SAS进行曲线拟合 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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采用SPSS进行曲线拟合 曲线直线化 非线性回归 2002年12月
Analyze Regression Curve Estimation …可选Power 、Logarithmic、Exponential、Quadratic、Cubic 等 非线性回归 Analyze Regression Nonlinear … 设置模型： Model Expression 参数赋初值：Parameters… 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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作业 P168 第6题 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华 2002年12月
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