24.1 一元二次方程.

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1 24.1 一元二次方程

2 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为1８m2 的地毯（如图） ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

3 解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,你能列出怎样的方程？ （5－2x）
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 你能化简这个方程吗? 8 x x x 数学 化 （8－2x） 5 （5－2x） 18m2 x

4 观察下面等式： １０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２ 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 一般化 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？ x＋1 x＋2 x＋3 x＋4 根据题意，你能列出怎样的方程? X2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2 你能化简这个方程吗?

5 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？ 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m; 数学化 1m 6 10m 10m 8m 7m x＋6 6m xm 根据题意，你能列出怎样的方程？ 72＋(x＋6)2 ＝102 你能化简这个方程吗?

6 议一议 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(５-２x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0. （ x＋６）２＋７２＝１０２ 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 上述三个方程有什么共同特点？ 只含有一个未知数x 都是整式方程 都可以化成ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式

7 议一议 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(５-２x)=18; 即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2 － 8x － 20＝0. （ x＋６）２＋７２＝１０２ 即 x2 ＋12 x －15 ＝0. 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，　　　　　　并且都可以化为ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．

8 － (3)2x2－ －1 ＝0 － (4) ＝0 练习 下列方程哪些是一元二次方程? (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
(4) ＝0 － y2 2 (5)x2＋2x－3＝1＋x2 解: (1)、 (4)

9 ≠±1 ＝－1 关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ 时，是一元二次方程． ≠3
关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1

10 关于x的方程（2m2+m-3）xm+1+5x=13是一元二次方程吗？若是。请求出m的值；若不是，请说明理由。

11 把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
二次项系数为5 ，一次项系数为 36， 常数项为 -32。

12 方 程 一般形式 二次项 系数 一次项 常数项 3x2=5x-1 4-7x2=0
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方　　程 一般形式 二次项 系数 一次项 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3x2－5x＋1＝0 －5 1 3 x2 ＋ x－8＝0 1 －8 1 －7 4 －7x2 ＋4＝0 7 － 4 或7x2 － 4＝0

13 根据题意，列出方程： （１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程： (x＋5) (x＋2) ＝54 即x2 ＋ 7x－44 ＝0

14 （２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得方程： x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242. 即 x2 ＋2x－8 0＝0.

15 从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 2尺 数学化 解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 （x-4）尺，长为（x-2）尺，依题意得方程： x x－2 x－4 4尺 (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2 即x2－12 x ＋20 ＝ 0

16 小结 本节课你又学会了哪些新知识呢？ １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数． ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系 你准备如何去求方程中的未知数呢?

17 作业： 课本习题 、2、3题。