第一章 证明(二) 第三节 线段的垂直平分线(一) 河南郑州第八中学 刘正峰

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1 第一章 证明(二) 第三节 线段的垂直平分线(一) 河南郑州第八中学 刘正峰 http://www.bnup.com.cn
北师大版九年级数学上册 第一章 证明(二) 第三节 线段的垂直平分线(一) 河南郑州第八中学　　刘正峰

2 用心想一想，马到功成 A B 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

3 线段垂直平分线的性质： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． N A P B C M 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．

4 用心想一想，马到功成 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

5 C B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上．

6 一题多解 P A C B 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB， ∴△APC≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．

7 一题多解 P A C B 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上．

8 线段垂直平分线的判定： 定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

9 想一想，做一做 C B A D 用尺规作线段的垂直平分线． 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线．
作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． 2．作直线CD． 直线CD就是线段AB的垂直平分线． B A D

10 放开手脚 做一做 1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= C A D B E

11 放开手脚 做一做 l P A B C 2．已知直线 l 和 l 上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P． 已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥ l ． 作法：1、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求的垂线． l P A B

12 课堂小结, 畅谈收获： 一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线．
课堂小结, 畅谈收获： 一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线．

13 补充练习： C A B D 1．已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．
2．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD A B C D