An Introduction to Database System An Introduction to Database System

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数据库系统概论 An Introduction to Database System 第六章关系数据理论中国人民大学信息学院 An Introduction to Database System

An Introduction to Database System
第六章关系数据理论 6.1 问题的提出 6.2 规范化 6.3 数据依赖的公理系统 *6.4 模式的分解 6.5 小结 An Introduction to Database System

6.1 问题的提出关系数据库逻辑设计针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式数据库逻辑设计的工具──关系数据库的规范化理论 An Introduction to Database System

问题的提出一、概念回顾二、关系模式的形式化定义三、什么是数据依赖四、关系模式的简化定义五、数据依赖对关系模式影响 An Introduction to Database System

一、概念回顾关系关系模式关系数据库关系数据库的模式 An Introduction to Database System

二、关系模式的形式化定义关系模式由五部分组成，即它是一个五元组： R(U, D, DOM, F) R：关系名 U：组成该关系的属性名集合 D：属性组U中属性所来自的域 DOM：属性向域的映象集合 F：属性间数据的依赖关系集合 An Introduction to Database System

三、什么是数据依赖 1. 完整性约束的表现形式限定属性取值范围：例如学生成绩必须在0-100之间定义属性值间的相互关连（主要体现于值的相等与否），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键 An Introduction to Database System

什么是数据依赖（续） 2. 数据依赖一个关系内部属性与属性之间的约束关系现实世界属性间相互联系的抽象数据内在的性质语义的体现 An Introduction to Database System

什么是数据依赖（续） 3. 数据依赖的类型函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）多值依赖（Multivalued Dependency，简记为MVD）其他 An Introduction to Database System

四、关系模式的简化表示关系模式R（U, D, DOM, F）简化为一个三元组： R（U, F）当且仅当U上的一个关系r满足F时，r称为关系模式 R（U, F）的一个关系 An Introduction to Database System

五、数据依赖对关系模式的影响 [例1]建立一个描述学校教务的数据库：学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）系主任姓名（Mname）、课程名（Cname）成绩（Grade）单一的关系模式： Student <U、F> U ＝｛ Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade ｝ An Introduction to Database System

数据依赖对关系模式的影响（续）属性组U上的一组函数依赖F： F ＝｛ Sno → Sdept, Sdept → Mname, (Sno, Cname) → Grade ｝ Sno Cname Sdept Mname Grade An Introduction to Database System

关系模式Student<U, F>中存在的问题
1. 数据冗余太大 2. 更新异常（Update Anomalies） 3. 插入异常（Insertion Anomalies） 4. 删除异常（Deletion Anomalies） An Introduction to Database System

数据依赖对关系模式的影响（续）结论： Student关系模式不是一个好的模式。 “好”的模式：不会发生插入异常、删除异常、更新异常，数据冗余应尽可能少原因：由存在于模式中的某些数据依赖引起的解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖 An Introduction to Database System

分解关系模式把这个单一模式分成3个关系模式： S（Sno，Sdept，Sno → Sdept）; SC（Sno，Cno，Grade，（Sno，Cno） → Grade）; DEPT（Sdept，Mname，Sdept→ Mname） An Introduction to Database System

6.2 规范化规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。 An Introduction to Database System

6.2 规范化函数依赖码范式 NF NF BCNF 多值依赖 NF 规范化小结 An Introduction to Database System

6.2.1 函数依赖函数依赖平凡函数依赖与非平凡函数依赖完全函数依赖与部分函数依赖传递函数依赖 An Introduction to Database System

一、函数依赖定义6.1 设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”，记作X→Y。 An Introduction to Database System

说明 1. 所有关系实例均要满足 2. 语义范畴的概念 3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定 An Introduction to Database System

二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y，如果X→Y，但Y  X，则称X→Y是非平凡的函数依赖若X→Y，但Y  X, 则称X→Y是平凡的函数依赖例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，非平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Grade 平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Sno (Sno, Cno) → Cno An Introduction to Database System

平凡函数依赖与非平凡函数依赖（续）若X→Y，则X称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素（Determinant）。若X→Y，Y→X，则记作X←→Y。若Y不函数依赖于X，则记作X→Y。 An Introduction to Database System

三、完全函数依赖与部分函数依赖定义6.2 在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’，都有X’ Y, 则称Y对X完全函数依赖，记作 X F Y。若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作X P Y。 An Introduction to Database System

完全函数依赖与部分函数依赖（续） [例1] 中(Sno,Cno)→Grade是完全函数依赖， (Sno,Cno)→Sdept是部分函数依赖因为Sno →Sdept成立，且Sno是（Sno，Cno）的真子集 F P An Introduction to Database System

四、传递函数依赖定义6.3 在R(U)中，如果X→Y，(Y X) ,Y→X Y→Z，则称Z对X传递函数依赖。记为：X → Z 注: 如果Y→X，即X←→Y，则Z直接依赖于X。例: 在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中，有： Sno → Sdept，Sdept → Mname Mname传递函数依赖于Sno 传递 An Introduction to Database System

6.2.2 码定义6.4 设K为R<U,F>中的属性或属性组合。若K U，则K称为R的侯选码（Candidate Key）。若候选码多于一个，则选定其中的一个做为主码（Primary Key）。 F An Introduction to Database System

码（续）主属性与非主属性包含在任何一个候选码中的属性，称为主属性（Prime attribute）不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute）全码整个属性组是码，称为全码（All-key） An Introduction to Database System

码（续） [例2] 关系模式S(Sno,Sdept,Sage)，单个属性Sno是码， SC（Sno，Cno，Grade）中，（Sno，Cno）是码 [例3] 关系模式R（P，W，A） P：演奏者 W：作品 A：听众一个演奏者可以演奏多个作品某一作品可被多个演奏者演奏听众可以欣赏不同演奏者的不同作品码为(P，W，A)，即All-Key An Introduction to Database System

外部码定义6.5 关系模式 R 中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码如在SC（Sno，Cno，Grade）中，Sno不是码，但Sno是关系模式S（Sno，Sdept，Sage）的码，则Sno是关系模式SC的外部码主码与外部码一起提供了表示关系间联系的手段 An Introduction to Database System

6.2.3 范式范式是符合某一种级别的关系模式的集合关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式范式的种类：第一范式(1NF) 第二范式(2NF) 第三范式(3NF) BC范式(BCNF) 第四范式(4NF) 第五范式(5NF) An Introduction to Database System

6.2.3 范式各种范式之间存在联系：某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF。一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化 An Introduction to Database System

NF 1NF的定义如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF 第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式 An Introduction to Database System

2NF（续） [例4] 关系模式 S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方函数依赖包括： (Sno, Cno) F Grade Sno → Sdept (Sno, Cno) P Sdept Sno → Sloc (Sno, Cno) P Sloc Sdept → Sloc An Introduction to Database System

2NF（续） S-L-C Sno Sdept S-L-C的码为(Sno, Cno) S-L-C满足第一范式。非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno, Cno) Grade Cno Sloc An Introduction to Database System

S-L-C不是一个好的关系模式（续） (1) 插入异常 (2) 删除异常 (3) 数据冗余度大 (4) 修改复杂 An Introduction to Database System

S-L-C不是一个好的关系模式（续）原因 Sdept、 Sloc部分函数依赖于码。解决方法 S-L-C分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖 SC（Sno， Cno， Grade） S-L（Sno， Sdept， Sloc） An Introduction to Database System

2NF（续）函数依赖图： S-L Sno Sdept Sloc Sno Cno Grade SC 关系模式SC的码为（Sno，Cno）关系模式S-L的码为Sno 这样非主属性对码都是完全函数依赖 An Introduction to Database System

2NF（续） 2NF的定义定义6.6 若R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于码，则R∈2NF。例：S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) ∈1NF S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) ∈2NF SC（Sno， Cno， Grade） ∈ 2NF S-L（Sno， Sdept， Sloc） ∈ 2NF An Introduction to Database System

2NF（续）采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。 An Introduction to Database System

NF 3NF的定义定义6.7 关系模式R<U，F> 中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z  Y）, 使得X→Y，Y→Z成立， Y → X，则称R<U，F> ∈ 3NF。若R∈3NF，则每一个非主属性既不部分依赖于码也不传递依赖于码。 An Introduction to Database System

3NF（续）例：2NF关系模式S-L(Sno, Sdept, Sloc)中函数依赖： Sno→Sdept Sdept → Sno Sdept→Sloc 可得： Sno→Sloc，即S-L中存在非主属性对码的传递函数依赖，S-L ∈ 3NF 传递 An Introduction to Database System

3NF（续）函数依赖图： S-L Sno Sdept Sloc An Introduction to Database System

3NF（续）解决方法采用投影分解法，把S-L分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖： S-D（Sno， Sdept） D-L（Sdept，Sloc） S-D的码为Sno， D-L的码为Sdept。分解后的关系模式S-D与D-L中不再存在传递依赖 An Introduction to Database System

3NF（续） S-D的码为Sno， D-L的码为Sdept Sno Sdept S-D Sloc D-L S-L(Sno, Sdept, Sloc) ∈ 2NF S-L(Sno, Sdept, Sloc) ∈ 3NF S-D(Sno，Sdept) ∈ 3NF D-L(Sdept， Sloc)∈ 3NF An Introduction to Database System

3NF（续）采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，仍然不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。 An Introduction to Database System

BC范式（BCNF）定义6.8 关系模式R<U，F>∈1NF，若X→Y且Y  X时X必含有码，则R<U，F> ∈BCNF。等价于：每一个决定属性因素都包含码 An Introduction to Database System

BCNF（续）若R∈BCNF 所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全函数依赖没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性 R ∈BCNF R ∈3NF 充分不必要 An Introduction to Database System

BCNF（续） [例5] 关系模式C（Cno，Cname，Pcno） C∈3NF C∈BCNF [例6] 关系模式S（Sno，Sname，Sdept，Sage）假定S有两个码Sno，Sname S∈3NF。 S ∈ BCNF An Introduction to Database System

BCNF（续）［例7］关系模式SJP（S，J，P）函数依赖：（S，J）→P；(J，P）→S （S，J）与（J，P）都可以作为候选码,属性相交 SJP∈3NF， SJP∈BCNF An Introduction to Database System

BCNF（续） [例8]在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。函数依赖： (S，J)→T，(S，T)→J，T→J (S，J)和(S，T)都是候选码 An Introduction to Database System

BCNF（续） S J T STJ中的函数依赖 J An Introduction to Database System

BCNF（续） STJ∈3NF 没有任何非主属性对码传递依赖或部分依赖 STJ∈BCNF T是决定因素，T不包含码 An Introduction to Database System

BCNF（续）解决方法：将STJ分解为二个关系模式： ST(S，T) ∈ BCNF， TJ(T，J)∈ BCNF 没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖 S J ST T TJ An Introduction to Database System

3NF与BCNF的关系 R ∈BCNF R ∈3NF 如果R∈3NF，且R只有一个候选码充分不必要充分必要 An Introduction to Database System

6.2.7 多值依赖 [例9] 学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。每个教员可以讲授多门课程，每种参考书可以供多门课程使用。 An Introduction to Database System

多值依赖（续）非规范化关系课程 C 教员 T 参考书 B 物理数学计算数学李勇王军张平周峰普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数 ... … … … … An Introduction to Database System

多值依赖（续）用二维表表示Teaching 普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数 … 李勇王军张平物理数学参考书B 教员T 课程C An Introduction to Database System

多值依赖（续） Teaching∈BCNF Teaching具有唯一候选码(C，T，B)，即全码 An Introduction to Database System

多值依赖（续） Teaching模式中存在的问题 (1)数据冗余度大 (2)插入操作复杂 (3) 删除操作复杂 (4) 修改操作复杂存在多值依赖 An Introduction to Database System

多值依赖（续）定义6.9 设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y和Z是U的子集，并且Z＝U－X－Y。关系模式R(U)中多值依赖 X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对（x，z）值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关例 Teaching（C, T, B） An Introduction to Database System

多值依赖（续）多值依赖的另一个等价的形式化的定义：在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得t[X]=s[X]，那么就必然存在元组 w，v r，（w，v可以与s，t相同），使得w[X]=v[X]=t[X]，而w[Y]=t[Y]，w[Z]=s[Z]，v[Y]=s[Y]，v[Z]=t[Z]（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中），则Y多值依赖于X，记为X→→Y。这里，X，Y是U的子集，Z=U-X-Y。 An Introduction to Database System

多值依赖（续）平凡多值依赖和非平凡的多值依赖若X→→Y，而Z＝φ，则称 X→→Y为平凡的多值依赖否则称X→→Y为非平凡的多值依赖 An Introduction to Database System

多值依赖（续）［例10］关系模式WSC（W，S，C） W表示仓库，S表示保管员，C表示商品假设每个仓库有若干个保管员，有若干种商品每个保管员保管所在的仓库的所有商品每种商品被所有保管员保管 An Introduction to Database System

多值依赖（续） W S C W1 S1 C1 C2 C3 S2 W2 S3 C4 C5 S4 An Introduction to Database System

多值依赖（续）用下图表示这种对应 W→→S且W→→C An Introduction to Database System

多值依赖的性质（1）多值依赖具有对称性若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y （2）多值依赖具有传递性若X→→Y，Y→→Z，则X→→Z –Y （3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。若X→Y，则X→→Y。（4）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y Z。（5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。（6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。 An Introduction to Database System

多值依赖与函数依赖的区别 (1) 多值依赖的有效性与属性集的范围有关 (2) 若函数依赖X→Y在R（U）上成立，则对于任何Y'  Y均有X→Y' 成立多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y'  Y有X→→Y' 成立 An Introduction to Database System

NF 定义关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y  X），X都含有码，则R∈4NF。如果R ∈ 4NF，则R ∈ BCNF 不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖允许的非平凡多值依赖是函数依赖 An Introduction to Database System

4NF（续）例： Teaching(C,T,B) ∈ 4NF 存在非平凡的多值依赖C→→T，且C不是码用投影分解法把Teaching分解为如下两个关系模式： CT(C, T) ∈ 4NF CB(C, B) ∈ 4NF C→→T， C→→B是平凡多值依赖 An Introduction to Database System

6.2.9 规范化小结关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具目的：尽量消除插入、删除一场，修改复杂，数据冗余基本思想：逐步消除数据依赖中不合适的部分实质：概念的单一化 An Introduction to Database System

规范化小结（续）关系模式规范化的基本步骤 1NF ↓ 消除非主属性对码的部分函数依赖消除决定属性 2NF 集非码的非平 ↓ 消除非主属性对码的传递函数依赖凡函数依赖 NF ↓ 消除主属性对码的部分和传递函数依赖 BCNF ↓ 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖 4NF An Introduction to Database System

规范化小结（续）不能说规范化程度越高的关系模式就越好在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止 An Introduction to Database System

6.3 数据依赖的公理系统逻辑蕴含定义6.11 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R <U，F>，其任何一个关系r，若函数依赖X→Y都成立, （即r中任意两元组t，s，若tX］=sX］，则tY］=sY］），则称F逻辑蕴含X →Y An Introduction to Database System

1. Armstrong公理系统关系模式R <U，F >来说有以下的推理规则： A1.自反律（Reflexivity）：若Y  X  U，则X →Y为F所蕴含。 A2.增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z  U，则XZ→YZ为F所蕴含。 A3.传递律（Transitivity）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。 An Introduction to Database System

定理 6.1 Armstrong推理规则是正确的（l）自反律: 若Y  X  U，则X →Y为F所蕴含证: 设Y  X  U 对R <U，F> 的任一关系r中的任意两个元组t，s：若t[X]=s[X]，由于Y  X，有t[y]=s[y]，所以X→Y成立，自反律得证 An Introduction to Database System

定理 6.l Armstrong推理规则是正确的（续）
(2)增广律: 若X→Y为F所蕴含，且Z  U，则XZ→YZ 为F所蕴含。证：设X→Y为F所蕴含，且Z  U。设R<U，F> 的任一关系r中任意的两个元组t，s：若t[XZ]=s[XZ]，则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；由X→Y，于是有t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]，所以 XZ→YZ为F所蕴含，增广律得证。 An Introduction to Database System

定理 6.l Armstrong推理规则是正确的（续）
(3) 传递律：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则 X→Z为 F所蕴含。证：设X→Y及Y→Z为F所蕴含。对R<U，F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s：若t[X]=s[X]，由于X→Y，有 t[Y]=s[Y]；再由Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含，传递律得证。 An Introduction to Database System

2. 导出规则 1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。（A2， A3）伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。分解规则：由X→Y及 ZY，有X→Z。（A1， A3） An Introduction to Database System

导出规则 2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1 引理6.l X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是 X→Ai成立（i=l，2，…，k） An Introduction to Database System

Armstrong公理系统 Armstrong公理系统是有效的、完备的有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中；完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来 An Introduction to Database System

3. 函数依赖闭包定义6.l2 在关系模式R<U，F>中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。定义设F为属性集U上的一组函数依赖，X U， XF+ ={ A|X→A能由F 根据Armstrong公理导出}，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包 An Introduction to Database System

F的闭包 F={XY, YZ} F+={ Xφ, Yφ, Zφ, XYφ, XZφ, YZφ, XYZφ, XX, YY, ZZ, XYX, XZX, YZY, XYZX, XY, Y Z, XYY, XZY, YZZ, XYZY, XZ, YYZ, XYZ, XZZ, YZYZ,XYZZ, XXY, XYXY,XZXY, XYZXY, XXZ, XYYZ,XZXZ, XYZYZ, XYZ, XYXZ,XZXY, XYZXZ, XZYZ, XYXYZ,XZXYZ, XYZXYZ } F={XA1, …… , XAn}的闭包F+计算是一个NP完全问题 An Introduction to Database System

关于闭包的引理引理6.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y  U，X→Y能由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y XF+ 用途将判定X→Y是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，转化为求出XF+ 、判定Y是否为XF+的子集的问题 An Introduction to Database System

求闭包的算法算法6.1 求属性集X（X  U）关于U上的函数依赖集F 的闭包XF+ 输入：X，F 输出：XF+ 步骤：（1）令X（0）=X，i=0 （2）求B，这里B = { A |( V)(  W)(V→WF∧V  X（i）∧A W)}；（3）X（i+1）=B∪X（i）（4）判断X（i+1）= X （i）吗? （5）若相等或X（i）=U , 则X（i）就是XF+ , 算法终止。（6）若否，则 i=i+l，返回第（2）步。 An Introduction to Database System

算法6.1 对于算法6.1，令ai =|X（i）|，{ai }形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此该算法最多 |U| - |X| 次循环就会终止。 An Introduction to Database System

函数依赖闭包 [例1] 已知关系模式R<U，F>，其中 U={A，B，C，D，E}； F={AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B}。求（AB）F+ 。解设X（0）=AB； (1) X（1）=AB∪CD=ABCD。 (2) X（0）≠ X（1） X（2）=X（1）∪BE=ABCDE。 (3) X（2）=U，算法终止 （AB）F+ =ABCDE。 An Introduction to Database System

4. Armstrong公理系统的有效性与完备性
证明： 1. 有效性可由定理6.1得证 2. 完备性只需证明逆否命题: 若函数依赖X→Y不能由F从Armstrong公理导出，那么它必然不为F所蕴含 An Introduction to Database System

Armstrong公理系统完备性证明 (1) 引理: 若V→W成立，且V  XF+，则W  XF+ (2) 构造一张二维表r，它由下列两个元组构成，可以证明r必是R（U，F）的一个关系，即F+中的全部函数依赖在 r上成立。 XF+ U-XF+ (3) 若X→Y 不能由F从Armstrong公理导出，则Y 不是XF+ 的子集。 An Introduction to Database System

5. 函数依赖集等价定义6.14 如果G+=F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。引理6.3 F+ = G+ 的充分必要条件是F  G+ ，和G  F+ 证: 必要性显然，只证充分性。（1）若FG+ ，则XF+  XG++ 。（2）任取X→YF+ 则有 Y  XF+  XG++ 。所以X→Y  (G+）+= G+。即F+  G+。（3）同理可证G+  F+ ，所以F+ = G+。 An Introduction to Database System

6. 最小依赖集定义6.15 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集或最小覆盖。 (1) F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。 (2) F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。 (3) F中不存在这样的函数依赖X→A， X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。 An Introduction to Database System

最小依赖集 [例2] 关系模式S<U，F>，其中： U={ Sno，Sdept，Mname，Cno，Grade }， F={ Sno→Sdept，Sdept→Mname，(Sno，Cno)→Grade } 设F’={Sno→Sdept，Sno→Mname，Sdept→Mname， (Sno，Cno)→Grade，(Sno，Sdept)→Sdept} F是最小覆盖，而F’不是。因为：F ’ - {Sno→Mname}与F ’等价 F ’ - {(Sno，Sdept)→Sdept}也与F ’等价 An Introduction to Database System

7. 极小化过程定理6.3 每一个函数依赖集F均等价于一个极小函数依赖集Fm。此Fm称为F的最小依赖集。证明: 构造性证明，找出F的一个最小依赖集。 An Introduction to Database System

极小化过程（续） (1)逐一检查F中各函数依赖FDi：X→Y，若Y=A1A2 …Ak，k > 2，则用 { X→Aj |j=1，2，…， k} 来取代X→Y。 (2)逐一检查F中各函数依赖FDi：X→A，令G=F-{X→A}，若AXG+，则从F中去掉此函数依赖。 (3)逐一取出F中各函数依赖FDi：X→A，设X=B1B2…Bm，逐一考查Bi （i=l，2，…，m），若A （X-Bi ）F+ ，则以X-Bi 取代X。 An Introduction to Database System

极小化过程（续） [例3] F = {A→B，B→A，B→C，A→C，C→A} Fm1、Fm2都是F的最小依赖集： Fm1= {A→B，B→C，C→A} Fm2= {A→B，B→A，A→C，C→A} F的最小依赖集Fm不唯一极小化过程( 定理6.3的证明 )也是检验F是否为极小依赖集的一个算法 An Introduction to Database System

6.4 模式的分解把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模式的方法不是唯一的只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，分解方法才有意义 An Introduction to Database System

关系模式分解的标准三种模式分解等价的定义： ⒈ 分解具有无损连接性 ⒉ 分解要保持函数依赖 ⒊ 分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性 An Introduction to Database System

模式的分解（续）定义6.16 关系模式R<U,F>的一个分解： ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn>} U= ∪Ui，且不存在 Ui  Uj，Fi 为 F在 Ui 上的投影定义6.17 函数依赖集合{X→Y | X→Y  F+∧XY Ui} 的一个覆盖 Fi 叫作 F 在属性 Ui 上的投影 n i=1 An Introduction to Database System

模式的分解（续）例：S-L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} S-L∈2NF 分解方法可以有多种： 1. S-L分解为三个关系模式：SN(Sno) SD(Sdept) SO(Sloc) 2. SL分解为下面二个关系模式： NL(Sno, Sloc) DL(Sdept, Sloc) 3. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) NL(Sno, Sloc) An Introduction to Database System

具有无损连接性的模式分解关系模式R<U,F>的一个分解 ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>， …，Rn<Un,Fn>} 若R与R1、R2、…、Rn自然连接的结果相等，则称关系模式R的这个分解ρ具有无损连接性（Lossless join）具有无损连接性的分解保证不丢失信息无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题 An Introduction to Database System

模式的分解（续）第3种分解方法具有无损连接性问题:这种分解方法没有保持原关系中的函数依赖 SL中的函数依赖Sdept→Sloc没有投影到关系模式ND、NL上 An Introduction to Database System

保持函数依赖的模式分解设关系模式R<U,F>被分解为若干个关系模式 R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn> （其中U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在Ui  Uj，Fi为F在Ui上的投影），若F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分解得到的某个关系模式中的函数依赖Fi所逻辑蕴含，则称关系模式R的这个分解是保持函数依赖的（Preserve dependency） An Introduction to Database System

模式的分解（续） 4. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) DL(Sdept, Sloc) 这种分解方法就保持了函数依赖 An Introduction to Database System

模式的分解（续）如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不丢失信息如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或解决各种异常情况分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定能够保持函数依赖；同样，保持函数依赖的分解也不一定具有无损连接性。 An Introduction to Database System

模式的分解（续）第1种分解方法既不具有无损连接性，也未保持函数依赖，它不是原关系模式的一个等价分解第2种分解方法保持了函数依赖，但不具有无损连接性第3种分解方法具有无损连接性，但未持函数依赖第4种分解方法既具有无损连接性，又保持了函数依赖 An Introduction to Database System

分解算法算法6.2 判别一个分解的无损连接性算法6.3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。算法6.4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖的分解算法6.5 （分解法）转换为BCNF的无损连接分解算法6.6 达到4NF的具有无损连接性的分解 An Introduction to Database System

6.5 小结关系模式的规范化，其基本思想： An Introduction to Database System

小结(续) 若要求分解具有无损连接性，那么模式分解一定能够达到4NF 若要求分解保持函数依赖，那么模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF 若要求分解既具有无损连接性，又保持函数依赖，则模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF An Introduction to Database System

小结(续) 规范化理论为数据库设计提供了理论的指南和工具也仅仅是指南和工具并不是规范化程度越高，模式就越好必须结合应用环境和现实世界的具体情况合理地选择数据库模式 An Introduction to Database System

下课了。。。研究休息一会儿。。。 An Introduction to Database System

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