國立蘭陽女中數學教師 陳敏晧 國立清華大學歷史所博士班

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1 國立蘭陽女中數學教師 陳敏晧 國立清華大學歷史所博士班
巴斯卡三角形專題研究 國立蘭陽女中數學教師 陳敏晧 國立清華大學歷史所博士班

2 何謂巴斯卡三角形? 巴斯卡(Blaise Pascal, )在1654年發表數學論文〈論算術三角形〉。

3 巴斯卡三角形的多元面貌 西洋數學史在巴斯卡之前曾出現在法國人J. de Nemore的手抄本《算術》（約1220年），書中有一張「算術三角形」的圖表，共有11列。

4 巴斯卡三角形的多元面貌 。 史提非(M. Stifel, 約1487–1567年)在《整數算術》（1544年）的圖表。

5 巴斯卡三角形的多元面貌 史提非(M. Stifel, 約1487–1567年)在《整數算術》（1544年）的圖表。

6 巴斯卡三角形的多元面貌 瑞士數學家雅克．伯努利（Jacob Bernoulli, ）的著作，他於1713年撰有《猜度術》(Ars Conjectandi)一書，書中也呈現不同形式的算術三角形。

7 巴斯卡三角形

8 中國的賈憲三角形 「算術三角形」最先出現在《永樂大典》卷一六三四四中的楊輝《詳解九章算法》，所以，容易讓人誤以為是「楊輝三角」，在楊輝的《詳解九章算法》中，而楊輝是利用賈憲的「立成釋鎖平方法」來解釋開方問題，因此，稱為「賈憲三角」是比較正確的說法。

9 中國的賈憲三角形 左袤乃積數，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命實而除之。

10 「算術三角形」vs. 垛積術 北宋沈括（ )在《夢溪筆談》（1095年)卷18〈技藝〉中論述：「隙積者，謂積之有隙者，如累棊、層壇及酒家積罌之類。」

11 李善蘭的《垛積比類》

12 日本的巴斯卡三角形 日本著名的數學文本《塵劫記》（1627年）（じんこうき）為江戶時期數學（和算）著作，由吉田光由（ ）所撰，共３卷。

13 日本的巴斯卡三角形 到了十八世紀，和算家村井中漸（ )在所著的《算法童子問》（1781年）也出現「賈憲三角」，細看其文本發現其數碼表示法是以籌算形式表達的。

14 二項式定理的應用 (a+b)0 = 1 1 (a+b)1 = a+b 1 1 (a+b)2 = a2+2ab+b2 1 2 1
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b    3   3   1 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b    4   6   4   1 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b    5   10   10   5   1

15 二項式定理的應用

16 Prime Numbers If the 1st element in a row is a prime number (remember, the 0th element of every row is 1), all the numbers in that row (excluding the 1's) are divisible by it. For example, in row 7 ( ) 7, 21, and 35 are all divisible by 7.

17 Magic 11's Row # Formula = Multi-Digit number Actual Row Row 0 110 1
111 11 1 1 Row 2 112 121 1 2 1 Row 3 113 1331 Row 4 114 14641 Row 5 115 161051 Row 6 116 Row 7 117 Row 8 118

18 巴斯卡三角形vs.費伯那契數列

19 巴斯卡三角形vs.費伯那契數列

20 費伯那契數列Fibonacci sequence
從第一個月開始以後每個月的兔子總數是: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為費伯那契數列。數列中每個數便是前兩個數之和，而數列的最初兩個數都是1。 若設 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5… 則：當n＞1時，Fn+2 = Fn+1 + Fn，而 F0=F1=1。其一般式如下：

21 Hockey Stick Pattern

22 Triangular Numbers 三角形數

23 Triangular Numbers 三角形數
Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th 7th Triangular . Value 1 3 6 10 15 21 28

24 Square Numbers 四邊形數

25 Square Numbers 四邊形數 . Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th 7th Square Value 1
9 16 25 36 49

26 Points on a Circle Image Points Segments Triangles Quadrilaterals
Pentagons 1 2 3 4 6 5 10

27 以巴斯卡三角形為雜誌封面

28 巴斯卡三角形 vs. Sierpinski’s Triangle

29 巴斯卡三角形 vs. Sierpinski’s Triangle

30 巴斯卡三角形 vs. Sierpinski’s Triangle

31 Leibniz harmonic triangle
Every entry is the sum of the two numbers just below it.

32 立體的巴斯卡三角形

33 立體的巴斯卡三角形

34 The Sound of Mathematics
上述網址將巴斯卡三角形的數字轉換成midi音樂，時間約長4分47秒，除此之外，還有自然對數e 、圓周率π 、 歐拉φ函數 、拉瑪奴江數( The Ramanujan Number)、 τ函數、質數 、三角函數 、畢氏三重數。

35 Thanks for your listening.