数值计算方法 第八章 常微分方程初值问题数值解法 　重庆邮电大学.

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1 数值计算方法 第八章 常微分方程初值问题数值解法 　重庆邮电大学

2 第八章 常微分方程初值问题的数值解法 8.1 欧拉(Euler)方法 8.2 Runge-Kutta方法 8.3 阿达姆斯(Adams)方法
8.4 收敛性与稳定性 8.5 方程组与高阶方程的数值解法 　重庆邮电大学

3 引 言 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解
引 言 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： (1) (1)式称为初值问题(Cauchuy问题) 本课程主要研究问题(1)的数值解法 　重庆邮电大学

4 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件 定理1. 对于问题(1),要求它的数值解 　重庆邮电大学

5 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过
从(1)的表达式 (1) 可以看出,求它的数值解的关键在于 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过 　重庆邮电大学

6 求数值解，首先应将微分方程离散化，常用的方法有：
(1)用差商代替微商 若用向前差商代替微商，即 代入（1）中的微分方程，则得 记 的近似值 ,则由上式可算出 的近似值,即 (2) 　重庆邮电大学

7 将函数 在 处展开,取一次Taylor多项式近似,则得
(2) 数值积分法 利用数值积分法左矩形公式 可得同样算法 (3)用泰勒（Taylor）公式 将函数 在 处展开,取一次Taylor多项式近似,则得 从而也得到离散化计算公式 　重庆邮电大学

8 8.1 Euler方法 一、Euler方法 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 对于初值问题(1) -----------(1)
在下列子区间上分别应用两点数值微分公式 　重庆邮电大学

9 (一) Euler公式 (3) 　重庆邮电大学

10 --------(4) --------(5) 由(3)式每组的前一半可得 记 其中
(4)和(5)式称为求解初值问题(1)的(前进)Euler公式和误差项 　重庆邮电大学

11 --------(6) --------(7) 由(3)式每组的后一半可得 记 其中
(6)和(7)式称为求解初值问题(1)的后退Euler公式和误差项 　重庆邮电大学

12 从(4)或(5)式不难看出, 这种类型的方法称为单步格式或单步法 Euler方法的几何体现: 前进Euler公式 后退Euler公式
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13 例1. 解: 由前进Euler公式 　重庆邮电大学

14 得 依此类推,有 　重庆邮电大学

15 --------(8) 由于后退Euler公式是隐形公式,计算例1将很麻烦 事实上大多数情况下用后退Euler公式都较困难
此方法称为预测—校正系统 　重庆邮电大学

16 用Euler公式的预测——校正系统求解例1.
例2. 用Euler公式的预测——校正系统求解例1. 解: 由(8)式,有 　重庆邮电大学

17 依此类推,得 比较不同的结果 　重庆邮电大学

18 评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度
(二) Euler方法的截断误差 评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度 误差项 而在求解公式 中 　重庆邮电大学

19 因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有
定义1. 因为一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有 定义2. 定义3. 　重庆邮电大学

20 　重庆邮电大学

21 显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好
Euler公式的局部截断误差为 具有1阶精度 后退Euler公式的局部截断误差为 也具有1阶精度 显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好 从前面的分析可知,Euler法的精度并不算高 将显式与隐式的Euler公式结合起来,考虑其局部截断误差主部只相差符号,可得 　重庆邮电大学

22 --------(9) 上式称为梯形公式.其实质是取显式与隐式的Euler公式所获得的两个 近似值的平均值作为 .是一个二阶方法.
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23 例3 用欧拉方法和改进的欧拉方法求微分方程 . 的数值解（取h=0.1）。 或直接写为
上述两式称为改进Euler公式.利用改进Euler方法求数值解的方法称为改进Euler方法.其是一个二阶方法. 例3 用欧拉方法和改进的欧拉方法求微分方程 . 的数值解（取h=0.1）。 　重庆邮电大学

24 解 由欧拉方法（3），得数值计算公式 计算结果如表8-1. 由改进的欧拉方法(9),得数值计算公式 计算结果如表8-2 　重庆邮电大学

25 表8-1 表8-2 　重庆邮电大学