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Chapter 2 Energy Bands and Carrier Concentration in Thermal Equilibriumn 熱平衡時的能帶及載子濃度.

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1 Chapter 2 Energy Bands and Carrier Concentration in Thermal Equilibriumn 熱平衡時的能帶及載子濃度

2 2.1 半導體材料 Insulator,Semiconductor,Conductor

3 半導體材料 :導電率介於絕緣體與導體之間  導電率易受溫度、照光、磁場及微量雜質的影響,所以半導體在電子應用上很重要。
104~106S/cm 10-18~10-8S/cm 導電率易受溫度、照光、磁場及微量雜質的影響,所以半導體在電子應用上很重要。

4 半導體材料分類 元素:矽(Si)、鍺(Ge) 化合物: 二元(binary)-例如GaAs,用於高速、光電元件。
三元(ternary)-例如AlxGa1-xAs,調整x的大小可改變材料的特性。 四元(quarternary)-例如AlxGa1-xAsySb1-y

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6 2.2 基本晶體結構 固態物質由其原子排列方式可分為:
非晶形(amorphous)、多晶(polycrystalline)、單晶(crystalline)

7 2.2.1 單位晶包(unit cell) 是晶體中可用以複製整個晶體的一小塊體積
3D 2D 晶格(lattice): 晶體中作週期性排列的原子

8 如何表示晶體? 畫圖法 數學式 c b a m、n、p為正整數

9 常見的正立方體晶體結構 簡單立方(SC) 如釙(Po) 體心立方(BCC) 如鈉、鎢 面心立方(FCC) 如鋁、銅、鉑

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11 a 最鄰近原子數 最接近原子距離 每一單位晶包所含原子數 堆積密度 SC 6 1/8 x 1 = 1 52.4% BCC 8
68% FCC 12 1/8 x 8+ 1/2 x6 = 4 74%

12 最鄰近距離 = 面對角線的一半 最鄰近距離 最鄰近距離=體對角線的一半

13 2.2.2 鑽石結構:元素半導體的晶體結構 可看成兩個fcc結構
俯視圖 堆積密度為34%

14 閃鋅礦結構:如GaAs,類似鑽石結構。 可看成一個fcc結構原子為As,另一個往體對角線移動1/4的fcc結構原子為Ga。

15 最鄰近原子距離 1 2 3 4

16 鑽石結構可看成(b)疊在(a)上

17 2.2.3 晶面以及米勒指數 ABCD面:有4個原子 ACEF面:有5個原子 比較兩個面,原子密度不同 不同平面之晶體性質不同

18 晶面以及米勒指數(續) 例:截距為1,3,2 倒數為1,1/3,1/2 倒數比 6:2:3 此平面之米勒指數為 (623)
米勒指數為描述晶面的方法 找出晶面在x軸y軸 z軸的截距(以晶格常數a為單位) 將截距取倒數,再求出最小簡單整數比h:k:l 則(hkl)即為此平面的米勒指數 例:截距為1,3,2 倒數為1,1/3,1/2 倒數比 6:2:3 此平面之米勒指數為 (623)

19 立方體結構中重要的平面

20 米勒指數其他相關表示 (hkl) 表示x截距為負
[hkl] 表示晶面的方向,在立方晶體上,[hkl]正好垂直於(hkl)晶面。

21 2.3 基本晶體成長技術

22 柴可斯基拉晶儀

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24 2.4 價鍵(valence bonds) 共用電子的結構稱為共價鍵 (covalent bonding),兩原子(相同元素,如矽,或相似電子外層結構的不同元素,如GaAs)的原子核對共用電子的吸引力使的兩個原子結合在一起。

25 由鍵結理論解釋電子電洞的生成 低溫時:電子束縛於四面體晶格中,無法傳導。
高溫時,熱振動打斷共價鍵,形成導電電子,原來之電子空缺(稱為電洞)可由鄰近原子填滿,好似電洞在移動。

26 2.3 能帶(energy band) 能階 氫原子模型—1913年波爾提出 主要假設:電子繞氫原子核做圓周運動,其角動量量子化(L=nħ)
結果算出單一個氫原子的電子能量為 其中 m0為自由電子質量、q為電子電荷、 ε0為自由空間的介電係數,n為正整數,稱為主量子數。 能階 重要概念:能量不是連續的,而是分立的

27 多個氫原子的電子能量 兩個氫原子靠近到有交互作用時,原來n=1的能階變成兩條(很靠近)
同理,很多氫原子集合在一起,原來的能階分裂成很多條,看起來就變成能帶

28 半導體能階/能帶模型 N個矽原子靠在一起,3s及3p軌道產生交互作用及重疊,平衡時分裂為兩個能帶,形成矽晶體
導電帶 能隙 價電帶 形成允許能帶和禁制能帶

29 2.5.2 E-p 圖 – 另一種分析,可看出允許能帶和禁制能帶。
晶體中的電子: 將m0改成mn(有效質量),左式仍可用。 自由電子: 允許能帶 禁制能帶 退縮k空間圖形 (or k)

30 有效質量(Effective mass) 圖形越瘦,曲率越大,有效質量越小。 反之,越胖,有效質量越大。

31 有效質量 晶體中的電子和自由電子的差異---晶體中的電子,受到原子核週期性位障的影響。 如何描述晶體中電子的能量? 借用自由電子的能量公式:
將其中的自由電子質量修正成 mn(電子在晶體中的有效質量),則以上之公式 變為 即可以簡單關係式表示晶體中,受到原子核週期性位障的影響的電子之能量。

32 模擬說明 一模一樣的球 兩個容器中之球落底時間不同,這是因為阻力(即浮力)不同。換個方向思考,將球落底所受的力只想成重力,不去計算阻力問題,可想成兩個容器中球的質量不同,才造成落地時間不同。 同理,自由電子與晶體中電子所受的力場不同,所以能量不同,但晶體中的力場不易得知,故換個想法,將晶體中質量修正為有效質量,則可不直接處理力場的問題,因此自由電子的相關公式皆可使用。

33 如何求有效質量? 可由能帶圖(E-P圖或E-k圖)的曲率倒數求得。 曲線越”胖”,曲率越小,有效質量越大。
反之,曲線越”瘦”,曲率越大,有效質量越小。 如左圖: A晶體中電子之E-k 圖曲線的曲率大於B晶體中電子的曲率 所以A晶體中電子的有效質量小於B晶體中的電子

34 價電帶電子的有效質量(電洞的有效質量) 價電帶電子的E-p圖曲率為負,所以此區電子的有效質量為負,是否合理?
想像水底放入一皮球,一放手,球會往上走,與重力的方向相反,好像球具有負的質量一樣。 由左式之分析,可知價電帶的電子(具有負的有效質量)運動行為可視為帶正電的粒子(具有正的有效質量),此帶正電的粒子即為電洞,其有效質量以mp*表示。 考慮牛頓運動定律

35 Si與GaAs的E-p圖 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p不同 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p相同

36 Direct Semiconductor & Indirect Semoconductor
直接半導體:如GaAs,電子在價電帶與導電帶中躍遷,不需要改變動量。所以光電子產生的效率高,適合作為半導體雷射或其他發光元件的材料。 間接半導體:如Si,電子在價電帶與導電帶中躍遷,需要遵守動量守恆。所以躍遷發生除了所需能量外,還包括與晶格的交互作用。

37 以E-P圖解釋半導體中的導電電子與電洞 電子對導電性的影響 : T =0oK 時,電子填滿價電帶,無法自由移動,故無法導電。
(b) T > 0oK 時,部分電子具有足夠的熱能,可以躍遷至導電帶。而導電帶的電子可自由移動,故可導電。

38 電洞對導電性的影響 : (b) 而價電帶的空位,可視為帶正電的載子,稱為電洞。
  (a) T > 0oK 時,部分電子具有足夠的熱能,可以躍遷至導電帶。而價電帶的電就有空的能態(states),所以價電帶的電子也可以自由移動,幫助導電。 (b) 而價電帶的空位,可視為帶正電的載子,稱為電洞。

39 絕緣體與半導體的能帶圖 例:(室溫下) GaAs:EG~1.42eV 例: Si:EG~1.12eV SiO2:EG~8eV
Ge:EG~0.66eV 例: SiO2:EG~8eV 鑽石:EG~5eV

40 金屬的能帶圖 導電帶部分填滿(如銅) 導電帶與價電帶重疊(如鋅或鉛)

41 2.6 本質(Intrinsic)半導體的載子(carrier)濃度
Thermal equilibrium:無外界激發,如光、壓力、電場。 本質半導體:雜質量遠小於因熱能產生之電子電洞對的半導體,一般指的是未摻雜質的半導體。 如何求得電子濃度n(單位體積的電子數)? 能量介於E與E+dE間的電子濃度 N  導電帶的電子濃度為:(假設Ec=0)

42 N n(E):單位能量,單位體積的電子數。 N(E) (Density of states):能量在E到E+dE間的單位體積允許能階數。
F(E) (費米機率分佈):能量為E的狀態,被電子填滿的機率。 即:在單位體積內,電子的數目為電子可能存在的狀態乘上這些狀態被填滿之機率。 N

43 Fermi- Dirac Disribution F(E)
統計力學上用來表示某些粒子的機率分佈,晶體中的電子就滿足這種分佈 能量為E的能量狀態被電子佔據的機率 其中 k為波茲曼常數,k = x10-23J/K T為絕對溫度,單位為K。 一般在室溫(300K)下,kT = eV EF為費米能量。

44 費米能量(Fermi Energy) T = 0K時,能量低於EF的能量狀態被電子佔據的機率為1,能量高於EF的能量狀態被電子佔據的機率為0。 EF 小於費米能量的能態

45 費米能量(Fermi Energy)(續)
T > 0K時,比能量EF小一點之能態上的電子有機會躍升到能量大於EF的能態 能量為EF的能態被電子佔據的機會為1/2

46 費米能量(Fermi Energy)(續)
被電子佔據的機率分佈 能態為空的機率分佈 即:形成電洞的機率 若 ,則費米機率分佈可以以波茲曼分佈來近似。

47 費米能量的位置 若EF靠近Ec,則由圖可知電子濃度會大於電洞濃度 曲線下面積為電子濃度 曲線下面積為電洞濃度 此二圖相乘

48 費米能量的位置(續) 若EF靠近Ec,則由圖可知電洞濃度會大於電子濃度

49 費米能量的位置(續) 若EF在Ec與Ev的中間,則由圖可知電洞濃度會等於電子濃度。 熱平衡狀態下,本質半導體之電子濃度應等於電洞濃度,

50 電子濃度n之公式推導 p. 34~36

51 熱平衡狀態下,本質半導體之載子濃度討論 熱平衡狀態下,本質半導體之電子濃度應等於電洞濃度。以ni表示本質半導體的電子及電洞濃度,即n = p = ni 熱平衡狀態下,本質半導體的載子濃度受到溫度、有效質量以及能隙的影響。 室溫下:矽的ni = 9.65 x 109cm-3 砷化鎵的ni=2.25 x 106cm-3

52 溫度越高,ni越大。 以GaAs為例: 300K的ni為2.26×106cm-3, 450K的ni為3.85×1010cm-3 Eg越大,ni越小。

53 2.7 施體與受體(Donors and Acceptors)
摻有摻質(dopant)的半導體稱為外質半導體(extrinsic) 摻質可分為施體(donor)及受體(acceptor) 摻入五價雜質 摻入三價雜質

54 摻質(dopant)對半導體能帶圖的影響
以施體為例,好像一個帶正電的施體離子以及一個受束縛的電子。電子要脫離束縛,跳升至導電帶的能量稱為解離能。

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56 摻質(dopant)對半導體能帶圖的影響
Shallow impurity level: 游離能小於3kT的摻質能階。 Deep impurity level: 游離能大於或等於3kT。

57 2.7.1 Nondegenerate (非簡併)semiconductors
Nondegenerate: 雜質濃度較小,彼此距離較遠,其所產生的電子(或電洞)沒有交互作用。此時之EF與Ec(或EF與 Ev)的距離大於3kT。

58 載子濃度與費米能階 N type:n > p,EF在能隙中央之上方。 P type:p > n ,EF在能隙中央之下方。
本質半導體之公式仍可用(nondegenerate時): n p乘積仍為常數(相同材料,溫度下):

59 可整理成: 同理: 可得 與本質半導體有相同的結果 整理:熱平衡時,加入摻質不會改變電子電洞濃度的乘積,但會使費米能階朝向Ec或Ev移動

60 載子濃度與摻質濃度 若摻質為淺層施體,在室溫下即有足夠的能量游離出電子,假設施體完全解離,電子密度n = ND(施體濃度)。
同理,若摻質為淺層受體,在室溫下即有足夠的能量使得價電帶的電子跳升到受體能階,產生電洞。假設受體完全解離,電洞密度p = NA(受體濃度)。 式(25)及式(27)

61 非本質半導體費米能階的位置 N型半導體: P型半導體 溫度越高,Ec與EF的距離越大。 施體濃度越高,Ec與EF的距離越小。
溫度越高,Ev與EF的距離越大。 受體濃度越高,Ev與EF的距離越小。

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65 電中性(Charge neutrality)--可推導出主要載子濃度與摻質濃度之關係
補償(compensated)半導體:同時含有施體及受體的半導體。 若施體濃度大於受體濃度,則為n型補償半導體。 若受體濃度大於施體濃度,則為p型補償半導體。 若施體濃度等於受體濃度,則為完全補償半導體。(和本徵半導體特性相同) 電中性條件:正電荷密度等於負電荷密度。

66 N型半導體的載子濃度 假設完全解離: 解之可得 (多數載子) (少數載子)

67 P型半導體的載子濃度 假設完全解離: 解之可得 (多數載子) (少數載子)

68 主要載子濃度公式之討論: 本質半導體(NA=0,ND=0):n = p = ni 非本質半導體:
(NA-ND)>>ni時:p ≈ (NA-ND) n =ni2/ (NA-ND) 或(ND-NA)>>ni時: n ≈ (ND-NA) p =ni2/ (ND-NA) ni >>│ND-NA│時: n ≈ p ≈ ni2 即在很高的溫度下,所有的半導體都變成跟本質半導體一樣。

69 Freeze-out region

70 2.7.2 Degenerate (簡併)semiconductors
Degenerate:雜質濃度較高,其所產生的電子(或電洞)開始有交互作用。以施體為例,原來形成之施體能階會分裂為帶狀,若施體濃度夠高,施體能帶會與傳導帶重疊。此時之EF與Ec(或EF與 Ev)的距離小於3kT。當傳導帶的電子濃度超過Nc時,費米能階就會進入傳導帶內。 Bandgap narrowing effect:高濃度的摻雜也會使能隙變小,見式(37)

71 計算載子濃度時,可用波茲曼分佈做近似。 計算載子濃度時,不可用波茲曼分佈做近似。

72 Degenerate:


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