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1 清华大学自动化系 张贤达 zxd-dau@tsinghua.edu.cn 电话：62794875
第三章 现代谱估计 清华大学自动化系 张贤达 电话：

2 经典谱估计 样本 直接法 间接法 假设已零均值化， 周期函数

3 周期图法 有偏估计,平滑性差 加窗函数 功率谱曲线平滑,但分辨率下降 要提高分辨率，使用参数化的谱估计！ 经典谱估计：使用FFT的谱估计
数据窗 谱窗 要提高分辨率，使用参数化的谱估计！ 经典谱估计：使用FFT的谱估计 现代谱估计：参数化谱估计

4 3.1 ARMA谱估计与系统辨识 平稳ARMA过程 为离散白噪声，则称 为ARMA过程。
离散随机过程 服从线性差分方程： 为离散白噪声，则称 为ARMA过程。 自回归(autoregressive)—滑动平均(moving average)过程 AR阶数 MA阶数 AR参数 MA参数

5

6 ARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统
传递函数：

7 (1)冲激响应系数必须绝对可求和： (系统稳定) (2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一) (3)系统是物理可实现的(因果系统)
满足ARMA模型的条件： (1)冲激响应系数必须绝对可求和： (系统稳定) (2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一) (3)系统是物理可实现的(因果系统) 极点的作用：决定系统的稳定性和因果性 即极点不在单位圆上 因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若 即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根|z|<1 零点部分 极点部分

8 零点的作用：决定系统的可逆性，即 是否存在。 可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若 (1)存在序列 ，并满足 ——可逆系统的稳定性 (2) ——可逆性条件

9 ARMA过程的功率谱密度 则功率谱 其中

10 ARMA功率谱估计的两种线性方法 Cadzow谱估计子 又 其中

11 则 两边同乘 ，比较系数得 所以，Cadzow谱估计子的关键：估计AR阶数p和AR参数

12 Kaveh谱估计子 非线性方程，MA参数辨识 （Newton－Raphson迭代）

13 协方差函数的Fourier变换 Kaveh谱估计子：

14 ARMA功率谱密度的特例 特例一：MA过程 有限冲激响应(FIR)系统

15 特例二：AR过程 中含有 的无数多项 无限冲激响应(IIR)系统 白噪声中的AR过程： ARMA(p,p)过程

16 特例三：完全可预测过程 线 谱 加性白噪声中的可预测过程： 特殊的ARMA

17 所以： 白噪声中的AR过程 = ARMA过程 白噪声中的可预测过程 = 特殊的ARMA过程

18 修正Yule-Walker方程 等价 高斯白噪

19 BBR公式：

20 修正Yule-Walker方程(MYW方程)

21 定理(AR参数的可辨识性)： 若A(z)和B(z)无可对消公共因子，且 ，则AR参数 可由p个修正Yule-Walker方程唯一确定或辨识。

22 若构造： 使得 ，则

23 主奇异值：p个大的奇异值（p个信号分量的能量）
AR阶数确定的奇异值分解方法 奇异值分解(SVD)： 酉矩阵： 主奇异值：p个大的奇异值（p个信号分量的能量） 次奇异值：其它小奇异值（扰动或误差的能量）

24 信号与噪声的分离： 准则一：归一化比值 准则二：使用归一化奇异值
若阈值=0.995，v(k)>阈值的最小整数k定为矩阵A的“有效秩”。 准则二：使用归一化奇异值 <某个很小的阈值(0.05)的最小整数k定为有效秩。

25 AR阶数确定的信息量准则法 最终预报误差方法(FPE, Finite Prediction Error)：
FPE准则选择使FPE(p,q)最小，作为AR模型的阶数。 AIC(Akaike’s Information Criterion) “信息量准则”遵循“吝啬原则”

26 扩展阶MYW方程 若 ，则 选

27 总体最小二乘TLS: Total Least Squares
扰动矩阵 总体最小二乘TLS: Total Least Squares 思想：寻求一个解z，使得

28 定义代价函数

29

30

31 方法2：只包含p个参数（主要因素） ：用秩为p的矩阵对B的最佳逼近 令 ，则

32 构造代价函数

33 由于存在误差

34 AR定阶与AR参数估计的SVD-TLS算法：
步骤2：确定 的有效秩p，给出AR阶数估计值 步骤3：计算 步骤4：计算