复习 《一》 质点运动学 描写运动的三个物理量 位矢 速度 曲线切向方向 加速度 切向加速度 法向加速度.

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1 复习 《一》 质点运动学 描写运动的三个物理量 位矢 速度 曲线切向方向 加速度 切向加速度 法向加速度

2 运动学两类问题 （1） （2） 《二》 质点动力学 牛顿运动定律 画隔离体受力图

3 非惯性系中的力学定律 引进一个假想力 惯性力 惯性力大小 F= - ma 注意几种解题的类型 ① 找微元列微分方程 ② 分离变量，两边积分
变量代换（2-10，2-12） ③ 寻找变量关系 非惯性系中的力学定律 引进一个假想力 惯性力 惯性力大小 F= - ma

4 《三》 机械能和功 （一）功 一维运动时 （二） 动能定理

5 重力势能 EP=mgh 以地面为零势能点 或 （三）势能 （1）弹簧原长位置为零点势能 (a) 机械能守恒 （2）对飞船，卫星等问题
(b) 角动量守恒 （2）对飞船，卫星等问题 或

6 （三）功能原理 （四） 机械能守恒定律 《四》 动量 （一）质点动量定理 （二）动量守恒定律 （系统动量守恒） 分量式最方便

7 （三）碰撞 特点： 动量守恒 （1） （2） （四）质心运动定律 质心 质心运动就象物体质量全部 集中在质心，外力也都集中 在质心的质点运动一样。 (五) 质点角动量 可与刚体一起考虑

8 《五》 刚体力学 （1） 力矩 （2）转动惯量 （3）角动量 （平行，垂直轴定理） 力矩的功 转动动能 （一）转动定律 （二）角动量原理 M = 0 角动量守恒 当质点与刚体组成的系统时

9 （三）动能定理 （四）功能原理 若 M = 0, 则刚体的机械能守恒 （五） 陀螺的进动 绕自身轴转动的角动量： 由角动量定理的微分式：
 mg o 绕自身轴转动的角动量： 由角动量定理的微分式： 显然， 时刻改变方向而大小不变

10 刚体作平面运动时，不论运动如何复杂，总可以分解为随质心的平动和绕通过质心轴的转动。
（六） 刚体平面平行运动 刚体作平面运动时，不论运动如何复杂，总可以分解为随质心的平动和绕通过质心轴的转动。 求解刚体平面运动的基本方程： 质心的平动方程： 绕质心的转动方程： （惯性力力矩为零） 加上初始条件、约束条件 10 10

11 《六》 相对论 （1） 洛仑兹坐标变换 …… （2） 速度变换 相对时空观 x x′ y y′ o o＇ u s s＇ （一）同时的相对性

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13 1. 位移与路程的不同 A B  瞬时速率 C： 直线运动 xo x1 x2 位移 x1-xo 路程： x2-xo+x2-x1

14 例 x,y 平面内有一运动质点，其运动方程 为 x=t2 , y=2t 。求 an ，at 。 解： ?

15 当 F 已知

16 例 解：

17 例 桌面光滑。已知均匀细绳，绳长 L，质量m。O 端固定。以旋传。求绳子任一截面处的张力 T。 解：隔离体受力图 T0 m=m1+m2 m1 ,m2--- T T m1 m2 F=(T0-T)=m1a a= 无法列方程 取微元段 dm=  dx : 线密度，即单位长度质量 建坐标如图

18 F dm F+dF dx x o x 运动微分方程： F+dF - F= - dm an dF= -  dx x2

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20 例题 如图。滑块A光滑， 已知mA=20 千克，l1=20 厘米 ， 此时弹簧伸长 l=10厘米， k=40 牛顿/厘米。求A 下落到 h=15 厘米 时 aA ，N， vA l1 o A  l h 解： （1）隔离体受力图 l=25 , T=k(25-10) cos =0.8 , sin =0.6  T cos =N -Tsin +mAg=mA aA mAg

21 N=40×15×0.8=480（牛顿） (2) l1  l x （变量代换） (统一变量)

22 例： 已知 F=2 yi+4 x2j, c点坐标（2，1）求：
（A）沿路径 oac b （B）沿路径 obc x （C）沿路径 oc a 解：（1）

23 (2) 非保守力，做功与路经有关

24 a dx x

25 悬挂一根长为l ,密度为2 (2>1)的 均匀细棒AB。棒的B端刚好和液面 接触。今剪断细绳，设AB棒只在浮
例 ： 如图所示，在密度为1 的液体液面上方 悬挂一根长为l ,密度为2 (2>1)的 均匀细棒AB。棒的B端刚好和液面 接触。今剪断细绳，设AB棒只在浮 力和重力作用下下沉。试求AB棒刚 好沉入液体时的速度。 A l B x （1）用动能定理求解 （2）用功能原理求解 x 解：(1) 以棒为研究对象

26 解（2）棒与地球组成系统，浮力做负功

27 h m u M  vM H h m M 

28 x y 0' R M m A B C   h R  y x mg B A 质心运动定律

29 dm o x dx 例： 正方形薄平板 M，a ,小球 m,v0 ,与边缘作 垂直弹性碰撞。求板与小球的运动。 a o 解： 板与小球系统 无外力矩，角动量守恒 m M v0 o'

30 r R h m 0 r dr

31 例： 已知圆盘 m,R,h，与水平桌面摩擦系数为, 初转速o ，求停止转动时间T 解： 摩擦阻力矩使 转动停止 取微元： 0 R m
dr 解： 摩擦阻力矩使 转动停止 R r h 取微元： m

32 根据转动定律有： 分离变量，两边积分 得：

33 M v0 m o' a o mg A B o

34 mg Tm Mg TM m M  Nm mg NM Mg am aM

35 例： 图中 a 为定滑轮，b 为动滑轮。 求（1）每个物体的加速度 （2）两根绳子的张力T1，T2 a0 a 解：设C对地加速度为a0
A对b 加速度为 a a0 a b a C A 以cb为参照系（非惯性系） B mcg=T1+mca0 T2 T2 T1 mca0 a T2-mAg-mAa0=mAa a mBg+mBa0-T2=mBa mBa0 mAa0 T1=2T2 mcg mAg mBg

36 例： B  A T+maBsin =mgcos maBcos +mgsin =ma'A A Tsin =maB
知mA=mB=m.现使小球摆动， 求最大摆角  时 （1）环 B 的加速度 （2）小球 A的加速度 例： B  A 解： 设B对地加速度为aB ，以 B 为参照系 x y T A mg  maB a'A T+maBsin =mgcos maBcos +mgsin =ma'A A: mg  N maB B T Tsin =maB Tcos +mg=N B:

37 解得： 对地加速度 aBx= - aB

38 例 已知弹簧 K, l0 ,重物 m。求任一位置系 统总势能。 x 解： 势能与所选取的零势能 点的位置不同而不同 l0 0'
取 0 点为零势能点 x0 mg=kx EP重=mgx (x 负值) m x m

39 例、 发射卫星用的第二节火箭工作结束后，自动脱落而自 由飞行，经观测，第二节火箭壳体运行到离地面最大高度
（式中R为地球半径，即壳体离地心 ),此时测得它 的飞行速度 （式中g为重力加速度)。求：壳体落 到地面附近处的速度及壳体在该处运行轨迹的曲率半径。  g 解： 角动量守恒 机械能守恒 得

40 EP 势阱 E1 r r2 r0 r3 r1 E2 看 P 99 的说明

41 例 ： 巳知一带正电的点电荷在某电场中的电势能曲线如
图所示，oA段为抛物线，且 x= a 处 Ep=Eo，若点电 荷的总能量为 Eo， 求: 点电荷受到的电场力及 F 与 x 的关糸曲线。 a x Ep Eo o A Ⅰ Ⅱ Ⅲ 解：（1）Ep与 x 的关系 而 Fx= ( x < 0 ) ( 0< x< a ) ( x > a ) x o a Fx

42 例： 质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球一速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径变为r1。求小球的速度以及外力所作的功。 解： 角动量守恒 v0 r1 r0 v0 F 动能定理：

43 ac  当cos  >r/R 纯滚动时 FMax=? ac>0向前滚动  当cos  <r/R Ff
Rcos-r 当cos  <r/R Ff ac<0向后滚动 令Ff=mg

44 * t A o 《七》 振动力学与波动 振动 回复力 作谐振动的必要条件: （始终指向平衡位置的力） （一）振动方程 （二）参考圆
《七》 振动力学与波动 振动 作谐振动的必要条件: 回复力 （始终指向平衡位置的力） （一）振动方程 （二）参考圆 o A t (a) 振幅 A 表示矢径 (b) 矢径在 x 轴上的投影为位移 (c) 矢经旋转的角速度为圆频率 * （三）速度，加速度

45 o x 当 A1 = A2 时 A = 0 静止 加速度与位移恒成正比且反向 称谐振动的运动学特征方程 （四）同频率平行简谐振动的合成
同位相 反位相 当 A1 = A2 时 A = 0 静止

46 （五）不同频率平行简谐振动的合成　拍　 每秒加强的次数称拍频 拍频 （六）　同频率垂直简谐振动的合成 直线方程 椭圆或圆方程

47 波动 （一）基本概念 ① 波是振动状态的传播 ② 波速与传播媒质有关，也称相速度 ③ 频率：单位时间传播的波数 ④ 特征方程 ⑤ 波动式

48 （二）波的能量 （1）能流密度（波的强度） （2）声强级 （分贝） （三）相干波的叠加 （1）
±2n 同位相 干涉加强 A = A1+ A2 ±(2n+1) 反位相 干涉减弱 A = A1－ A2

49 * （2）当 1 = 2 n 同位相 干涉加强 (2n+1) 反位相 干涉减弱 （3）驻波：正反方向传播的波的叠加
（2）当 1 = 2 n 同位相 干涉加强 (2n+1) 反位相 干涉减弱 （3）驻波：正反方向传播的波的叠加 （a）驻波是分段振动，每段相差 （b）每段内各个质点振动具有相同位相 （四）简正模 *

50 （五）　多普勒效应 趋近 分子 + ，分母 - 远离 分子 - ，分母 + 趋近 远离

51 《八》 热力学平衡态 （一）平衡态与平衡过程 （1）热动平衡态：气体内各处温度，压力相同， 且不随时间变化，与外界也没有能量交换 （2）平衡过程：当气体状态改变时所经历的中间 过程都无限接进於平衡态 平衡过程就是过程进行的非常缓慢 （二）理想气体状态方程 其中

52 （三）压力公式 理想气体模型假设: (1) 视为质点 （气体分子大小与距离相比可忽略不计） 气体分子线度10-10米 (2) 相互作用力，重力忽略 （以碰撞为主） (3) 看作弹性小球，遵循牛顿运动定律 （研究问题的一种方法） 二个统计性假设 (1) 容器内各处密度均匀 (2) 分子向各个方向运动的趋势（或机会）均等 其中 分子平均平动动能

53 （四）能量均分原理 每个气体分子的能量 m 千克气体分子的能量 i=3 单原子 i=5 双原子 i=6 多原子

54 （五）麦克斯韦速率分布函数 （1） 满足归一化条件 （2）三个统计速率 150K 273K f (v) vP v o

55 （4）f (v) 的物理意义 某一速率的分布率 1. 2. 某一速率可能出现的分子数 3. d v 速率区间的分布率
（3）麦克斯韦速率分布曲线主要特点 1. 速率很大与很小的分子 数较少，中间的较多。 2. 温度升高，曲线高度下降并右移。 3. 同温度下，分子量小的分子的曲线高度下降并右移。 （4）f (v) 的物理意义 1. 某一速率的分布率 2. 某一速率可能出现的分子数 3. d v 速率区间的分布率

56 4. d v 速率区间出现的分子数 5. 显然： 归一化条件 6. 总分子数 7. 0v 速率间分子数 出现的几率 8. 0v 速率间的分子数

57 （空间位置的分布） （六） 玻耳兹曼分布 其中 密度 大气压公式

58 《九》 热力学定律 （一） 热力学第一定律 正负号要清楚 P~V 图上为曲线下面积 或 摩尔热容

59 (a) 等容过程 (b) 等压过程 (c) 等温过程 (d) 绝热过程 （二） 第一定律对等值过程的应用 1：等值过程的特征要清楚
2：过程方程？

60 其中 和 （三） 循环过程 1：特点 ① ② 闭合曲线的面积为净功 2：正循环 （热机） 3：逆循环 （冷机） 热泵 e =  +1

61 （四） 热力学第二定律 1: 可逆过程与不可逆过程 2: 卡诺定理 在 T1 , T2 间的一切可逆机，效率均相等 在 T1 , T2 间的一切不可逆机，效率均小于 开尔文叙述 3：热力学第二定律的两种叙述 克劳修斯叙述

62 T o S （五）熵 描写热力学系统过程进行的方向性的态函数 （1）只有熵变才有意义。 1： （2）不可逆过程可在两状态间选
一个可逆过程来代替，再用公式 T S o dS 2：温熵图 dQ=TdS 闭合曲线表示一个循环过程。所围面积是糸统吸收的净热,也是对外所做的净功。 3：熵增原理: 在封闭糸统中任何不可逆过程导 致熵的增加。也就是说，自发过 程是沿着熵的增加方向进行的。

63 例 1：河宽为 d，靠岸处水流速度为零，中流的流速最快
Y 为 vo ，从岸边到中流，流速正比增加。 中流 vo 某人以不变的划速 u 垂直于流水 方向离岸划去。 （1）写出船的运动方程； （2）求船的运动轨迹。 解： （1） X （2）消去 t

64 例 2: 一质量为5干克的物体，在合力 Fx = R - k t 2 (R = 10牛
(1) 分析物体的运动情况 (2) 求 t = 15秒时 x、v=？ 解 （1） 讨论：1、t = 10秒时,速度达最大 Vm= 20-20/3=13.33(米/秒) 2、v=0 即 时，速度为零。

65 （2） 得 （米）

66 例3： 质量为m的渡船在动力 Fo和与速度 v 成正比的水的
阻力共同作用下能到达的极限速度为vo则以此极限速度运 动的渡船在离码头多少距离 l 就可关闭发动机，使船靠岸 时的速度为零？为不使靠岸过程的时间过长，实际上离码 头 处才关闭发动机，这样船靠岸时的船速为多少？从 关闭发动机到船靠岸这个过程中用了多少时间？ 解 ① 达极限

67 ② ③

68 例 4： 已知 m，M，h，相叠自由落下作弹性碰撞。
求证 m 反跳 9 h。（ h 》R） M 解：弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒 h 设大球到达地面速度为 V，则 v10=V， v20= －V，M 》m 代入得 小球速度增加 3倍，动能增加 9倍 ，故回跳 9 h

69 例5： 物体A与水平桌面间的摩擦系数为 ，不可伸长的细
绳一端系住物体A，另一端绕在半径为R的圆柱形转轮B 上，物体的质量为m，转轮的质量为M=4m。开始时物体 A静止，绳子松驰着，转轮以 o 绕其轴线转动。求：细绳 从绷紧拉动物体A运动开始，到物体A重新停止，物体A运 动通过的路程和所用的时间。 解：绷紧瞬间，角动量守恒 与 动能定理 动量与角 动量定理

70 例 6 ： 轻滑轮光滑。已知 M，m，下降 h 后绳刚好拉紧。
（1）讨论绳拉紧瞬间，动量、动能、 机械能是否守恒？ （2）求 M 上升的高度。 m 解：（1） 判断守恒的条件 h m ① 动量守恒 M ② 动能守恒 ③ 机械能守恒 （天花板对滑 轮的拉力） (a) 动量不守恒 (b) 动能不守恒 但 （没有位移） 而 （绳子发生形变） （c）机械能也不守恒

71 （2） 对 m 用冲量原理（向上为正） 提问：从结果看好象动量守恒也可解得 错在什么地方？ 错在动量是矢量 M 上升过程，机械能守恒

72 v = V 例7：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与 铁钉进入木块内的深度成正比。用铁锤 o
dx s1 s2 x o 铁钉进入木块内的深度成正比。用铁锤 击第一次时能将铁钉击入木块 1 厘米， 问：击第二次时能将铁钉击入多深？假 定铁锤击打铁钉的速度相同。 解：设铁锤质量 M，铁钉质量 m。 M,m系统，动量守恒 v = V 由于 m << M 打入过程，用动能原理

73 第二次击打 得 第二次再击入深度

74 例8： 如图。质量为m1， m2 的二滑块分别穿於两平行光滑
v1 导轨上，两导轨间距为 d。再以一 弹簧系数为 k，自然长度为 d 的轻 弹簧连结。设开始时 m1 位於 x1=0 处，m2 位於 x2=l 处，初速均为零 求释放后二滑块的最大速度。 x1 d m2 v2 解： m1, m2 系统, x 方向动量守恒 x2 滑块与弹簧垂直时速度最大 机械能守恒

75 9： 两相向飞行的火箭原长都为 l 。而地面观测者测得
各火箭长度都为原长的一半，则两火箭相对地面的速度为 多大？其中一飞船测得另一飞船的长度为多少？ 解：长度缩短 A B X 地面 地面为 S 系，A 为 S' 系

76 × × × √ × （一）判别下列讲法是否正确 1．同一温度下，各种分子的平均动能都相同。 2．同一温度下，同种分子的平动动能都相同。
（平均） 3．分子的平均平动能越大,压力必然越大。 × 4．压力、体积、温度相同的氢气和氧气，它们 ① 质量相 同， ② 内能相同， ③ 平均速率相同。 × √ × × 5．最可几速率就是具有这种速率的分子最多的速率。

77 6 : ① 平衡过程就是无摩擦的，平衡力作用的过程 ② 平衡过程一定是可逆过程 无摩擦的平衡过程
6 : ① 平衡过程就是无摩擦的，平衡力作用的过程 × ② 平衡过程一定是可逆过程 × 无摩擦的平衡过程 ③ 平衡过程是无限多个连续变化的平衡态的连接 √ ④ 平衡过程在 PV 图上可用一连续曲线表示 √ 7 : 一定量气体由一定初态绝热压缩到一定体积，若一次快 速压缩，一次缓慢压缩，这二次系统的温度变化不同 √ 8: 将一致冷机用来取暖，即将外界的空气制冷，使室内温 度升高，其效率将比使用相同功率的电炉取暖来的高 √ 9 : 功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功。热量 能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温 物体。这二种说法前者不完整，后者也不正确 √ 7 :不平衡过程 8 : e =ω+1 > 1 9 :循环，自发

78 P V o A 1：在 P ~ V 图上画出理气体的等 容、等压、绝热过程曲线，这 三个过程的初始状态相同，末 状态的内能相同。 则末状态
等容 绝热 等温 则末状态 一定在等温线上。 解：设状态从 A 开始，

79 2: 图示两曲线分别表示了氢气和 氧气同温度下的麦克斯韦速率分布 情况。求氢气的最可几速率和氧气 的均方根速率与速率从 vp到
2: 图示两曲线分别表示了氢气和 氧气同温度下的麦克斯韦速率分布 情况。求氢气的最可几速率和氧气 的均方根速率与速率从 vp到 的平均速率的表达式。 f (v ) 氧 氢 o v 解： 当 T 一定时 1000m/s M 大 → vp 小

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81 3: 如图理想气体经过三个不同的过程由 a 状态到达 f 状态
其中 acf 状态是绝热过程，说明abf， adf 过程中热量 Q 和摩尔热容 C 的正负号，并填入下表中。 P V o a f c b d a b f a d f 过程 热量 Q 摩尔热容 C － ＋ － ＋ 解：

82 4: 对 N=1.2×1010 个粒子的速率进行测定，它的速率分布
曲线近似于题图所示 f (v) o m/s v a (1) 速率处于29米/秒到 31米/秒间的粒子数 为多少？ (2) 速率小于20米/秒的 那些粒子数的平均 速率为多少？ 解： （1）

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84 （2）

85 5：单原子理想气体作如图所示循环，求循环效率。
a b c V（升） P（大气压） 1 2 解：

86 例 一平面简谐波在空间传播，已知 A 点的振动方程为
， 就下列给出的四种坐标 （1）写出波动式 （2）若 B 点距 A 点为 b 恒定，则四种坐标对 B 点的振 动描述是否相同 y u A B x o B 振动式 y u A B x o B 振动式

87 y u A B x o l B 振动式 y u A B x o l B 振动式

88 例 ： 一沿 x方向传播的波，在固定端B点处反射。A点处的质点由入射波引起的振动方程为
O x A B 已知入射波的波长为 ，OA= 0.9 ，AB = 。 如图所示，设振幅不衰减。求： （1）入射波波动式； （2）反射波波动式； （3）合成驻波波动式。 解1：0点振动式 波动式： 2：

89 3：驻波表达式，由

90 例 ： 以光速传播的微波从正在远处趋近微波源的飞机
上反射，在地面上形成 5000 KHz 的拍频。微波波 长  = 0.1 毫米。求飞机的速度 V 解： 拍频是波源与反射波差频所形成 反射波频率 （飞机为接收器） 地面接收到反射波的频率 （飞机为反射波波源） 拍频

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92 200 a -2 a v = 0 vp = 100(m/s) 例： 假设有 N = 1.2×1010 个粒子,其速率分布函数 f (v)为
o v(m/s) ① 试求其最可几速率。 ② 速率处在 99 m/s ~ 101 m/s 的粒 子数约为多少？ ③ 求速率处在 0 ~ 100 m/s 之间那些粒子的平均速率。 解：① 200 a -2 a v = 0 vp = 100(m/s)

93 ② 先确定归一化常数 a (个) ③ N N

94 例： PV 图上为单原子气体的 循环过程。请填表: P a→b 等压 b→c 绝热 c→d 等容 o V d→a 等温 解： 根据等值过
Q( J ) A ( J ) c a→b 等压 250 100 150 b→c 绝热 75 -75 d c→d 等容 -75 -75 o V d→a 等温 -125 -125 解： 根据等值过 程的特征  ( 效率) 20%

95 c→a a→b 绝热 p 例： 如图。等温，等容，绝热 构成一个循环。已知a→b 绝热 b→c 等温，c→a 等容，s1=30( J )
例： 如图。等温，等容，绝热 构成一个循环。已知a→b 绝热 b→c 等温，c→a 等容，s1=30( J ) s2=70(J )。 求 =？ a s1 c s2 而 b 解： o V 只有 c→a 等容吸热 c→a （因 b→c 等温） a→b 绝热

96 例： 把 0.5 干克 00 C 的冰放在 200 C 的热源中， 使冰正好全部融化。求系统熵变？ （已知冰的融解热为 3.35×105 J/千克） 系统熵变 增加

97 可逆 例： 理想气体，质量 m ,开始 初态为 1，体积V1 。至末态 2, 体积V2 。求熵变？ P 1 b e a 等温 2 绝热 d 解：（1）等温 o V V1 V2 （2） 等压，等容

98 另外： T1=T2 （等温） 和 （等压） （3）绝热，等容

99 绝热方程 （4）任意可逆过程