教材 P.264 Point Estimation To estimate the value of a population parameter, we compute a corresponding characteristic of the sample, referred to as a sample.

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1 教材 P.264 Point Estimation To estimate the value of a population parameter, we compute a corresponding characteristic of the sample, referred to as a sample statistic. 對應 population mean μ population standard deviationσ sample mean x sample standard deviation s

2 教材 P.258 Definitions A population is the set of all the elements of interest in a study. A sample is a subject of the population. Numerical characteristics of a population, such as the mean and standard deviation, are called parameters. A primary purpose of statistical inference is to develop estimates and test hypotheses about population parameters using information contained in a sample.

3 SIMPLE RANDOM SMPLE (FINITE POPULATION)
A simple random sample of size n from a finite population of size N is a sample selected such that each possible sample of size n has the same probability of being selected.

4 sampling without replacement
A random number that previously used could not be included in the sample two or more times. sampling with replacement A random number that previously used could be included in the sample two or more times.

5 教材 P.262 McDonald’s, the fast-food leader, implemented a simple random sampling procedure for just such a situation. The sampling procedure was based on the fact that some customers presented discount coupons. Whenever a customer presented a discount coupon, the next customer served was asked to complete a customer profile questionnaire.

6 教材 P.262 Because arriving customers presented discount coupons randomly, and independently, this sampling plan ensured that customers were selected independently. Thus, the two requirements for a simple random sample from an infinite population were satisfied.

7 SIMPLE RANDOM SMPLE (INFINITE POPULATION)
A simple random sample from an infinite population is a sample selected such that the following conditions are satisfied. 1. Each element selected comes from the population. 2. Each element is selected independently.

8 教材 P.265 Table 7.2 Annual salary and training program status for a simple random sample of 30 EAI managers Annual Salary($) Management Training Program Yes No Annual Salary($) Management Training Program Yes No X1=49,094.30 X2=53,263.90 X3=49,643.50 X4=49,894.90 X5=47,621.60 X6=55,924.00 X7=49,092.30 X8=51,404.40 X9=50,957.70 X10=55,109.70 X11=45,922.60 X12=57,268.40 X13=55,688.80 X14=51,564.70 X15=56,188.20 X16=51,766.00 X17=52,541.30 X18=44,980.00 X19=51,932.60 X20=52,973.00 X21=45,120.90 X22=51,753.00 X23=54,391.80 X24=50,164.20 X25=52,973.60 X26=50,241.30 X27=52,793.90 X28=50,979.40 X29=55,860.90 X30=57,309.10

9 教材 P.266 Table 7.3 Summary of point estimates obtained from a simple random sample of 30 EAI managers population parameter μ= population mean annual salary σ= population standard deviation for annual salary p= population proportion having completed the management training program parameter Value $51,800 $4,000 .60 point estimator x= sample mean annual salary s= sample standard deviation for annual salary p= sample proportion having completed the management training program point estimate $51,814 $3,348 .63

10 抽樣分配簡介 以表7.2中的30個樣本為例，樣本平均為＄51,814 ，樣本比為 .63
教材 P.267 抽樣分配簡介 以表7.2中的30個樣本為例，樣本平均為＄51,814 ，樣本比為 .63 重新選取30個樣本 ，得到樣本平均為＄52,670 ，樣本比為 .70 注意此二值不同，是因其樣本不同所致 假設一再地選取30個樣本 ，每次選取都計算其樣本平均 與樣本比，共取得500個簡單隨機抽樣 表7.5顯示500個樣本平均的次數和相對次數分布 圖7.1顯示500個樣本平均的相對次數直方圖

11 抽樣分配簡介 從圖7.1我們發現分配圖形呈鐘形，500個樣本平均值大部分集中在圖形的中間，且樣本平均的平均數接近母體平均
教材 P.268 抽樣分配簡介 從圖7.1我們發現分配圖形呈鐘形，500個樣本平均值大部分集中在圖形的中間，且樣本平均的平均數接近母體平均 實務上，我們只從母體挑選一組簡單隨機樣本。在此重複抽出500組樣本，只是為了顯示不同樣本可以產生不同的樣本平均與樣本比。 某樣本統計量的機率分配稱為某樣本統計量的抽樣分配

12 教材 P.268 Table 7.4 Value of x and p from 500 simple random sample of 30 EAI managers Sample Number 1 2 3 4 . 500 Sample Mean (x) 51,814 52,670 51,780 51,588 . 51,752 Sample Proportion (p) .63 .70 .67 .53 . .50

13 教材 P.268 Table 7.5 Frequency distribution of x from 500 simple random sample of 30 EAI managers Mean Annual Salary($) 49, ,999.99 50, ,499.99 50, ,999.99 51, ,499.99 51, ,999.99 52, ,499.99 52, ,999.99 53, ,499.99 53, ,999.99 Frequency 2 16 52 101 133 110 54 26 6 Totals 500 Relative Frequency .004 .032 .104 .202 .266 .220 .108 .052 .012 1.000

14 教材 P.269 Figure 7.1 Relative frequency histogram of x values from 500 simple random sample of size 30 each .30 .25 .20 Relative Frequency .15 .10 .05 50,000 51,000 52,000 53,000 54,000 Values of x

15 教材 P.269 Figure 7.2 Relative frequency histogram of p values from 500 simple random sample of size 30 each .40 .35 .30 .25 Relative Frequency .20 .15 .10 .05 .32 .40 .48 .56 .64 .72 .80 .88 Values of p

16 X的抽樣分配 X的抽樣分配(sampling distribution)為樣本平均數x的所有可能值的機率分配
X的期望值(expected value)為樣本平均數x的所有可能值的平均數

17 E (x)=the expected value of x
(7.1) where E (x)=the expected value of x μ=the population mean

18 x的期望值 以上結果顯示在簡單隨機抽樣下，x的抽樣分配期望值或平均數等於母體平均數。
教材 P.270 x的期望值 以上結果顯示在簡單隨機抽樣下，x的抽樣分配期望值或平均數等於母體平均數。 如果點估計值的期望值等於母體參數，我們稱此點估計量為不偏（unbiased）。因此，式（7.1）顯示x是母體平均數μ的不偏估計量。

19 √ ( ) X的標準差 σ √n σ √n σx= σx= σx=X的標準差 σ =標準差 n=樣本大小 N=母體大小
教材 P.271 X的標準差 σx=X的標準差 σ =標準差 n=樣本大小 N=母體大小 我們可以證明在簡單隨機抽樣的情況下，有限母體或 無限母體所產生的 x 的標準差有所不同兩者公式如下。 X的標準差 有限母體 無限母體 √ σ √n σ √n ( ) σx= N-n N-1 σx= (7.2)

20 X的標準差 在許多抽樣實例中，有些有限母體很大，相 對之下的樣本則是小樣本，因此有限母體校正因 子趨近於1。此種情況下的母體不論是有限或無限
教材 P.271 X的標準差 在許多抽樣實例中，有些有限母體很大，相 對之下的樣本則是小樣本，因此有限母體校正因 子趨近於1。此種情況下的母體不論是有限或無限 ，x之標準差的差異並不明顯，因此可以忽略。

21 使用下列公式計算X的標準差 σ √n σx= 當 1.母體為無限，或 2.母體為有限，且樣本數小於等於母體大小
教材 P.271 使用下列公式計算X的標準差 σ √n σx= (7.3) 當 1.母體為無限，或 2.母體為有限，且樣本數小於等於母體大小 的5%，也就是n/N≤0.05。

22 標準誤 (standard error) 為了計算 σx ，必須知道母體的標 準差σ。為進一步強調 σ 與 σx 的差別，
教材 P.272 標準誤 (standard error) 為了計算 σx ，必須知道母體的標 準差σ。為進一步強調 σ 與 σx 的差別， 我們稱x的標準差 σx 為平均數的標準誤 (standard error)。一般而言，標準誤 一詞是指點估計量的標準差。

23 教材 P.272 標準誤 (standard error) 在7.1節中，我們知道年薪的母體標準差為σ=4000，這個例子的母體的N =2500的有限母體，但樣本為30。由於n/N =30/2500 =0.012， 根據式(7.3)我們可以忽略校正因子x標準誤，因此， σ √n 4000 √30 σx= = =730.3

24 教材 P.272 X 抽樣分配的形狀 母體為常態分配 很多情況下，我們可以合理的假設母體為常態分配。如果母體是常態分配，無論樣本大小，x 的抽樣分配也是常態分配 母體不是常態分配 如果母體不是常態分配，中央極限定理(central limit theorem)可以幫助我們決定x 抽樣分配的形狀。

25 中央極限定理(central limit theorem)
教材 P.272 中央極限定理(central limit theorem) 由母體的中抽出樣本大小為n的簡單隨機樣本，當樣本大小n夠大時，樣本平均數x的抽樣分配將趨近於常態分配。 圖7.3中三個母體皆不為常態分配，隨著樣本數增加，三個x抽樣分配開始呈鐘形，最後當樣本數為30時，三個x抽樣分配皆趨近常態。 樣本數大於或等於 30可視為滿足中央極限定理中所謂大樣本條件。

26 教材 P.273 圖7.3 以下三種母體說明中央極限定理的應用 母體Ⅰ 母體分配 母體Ⅱ 母體Ⅲ X值 X值 X值

27 教材 P.273 圖7.3 以下三種母體說明中央極限定理的應用 母體Ⅰ x的抽樣分配 (n=2) 母體Ⅱ 母體Ⅲ X值 X值 X值

28 教材 P.273 圖7.3 以下三種母體說明中央極限定理的應用 母體Ⅰ x的抽樣分配 (n=5) 母體Ⅱ X值 母體Ⅲ X值 X值

29 教材 P.273 圖7.3 以下三種母體說明中央極限定理的應用 母體Ⅰ x的抽樣分配 (n=30) 母體Ⅱ 母體Ⅲ X值 X值 X值

30 EAI問題 x 抽樣分配 在EAI問題中，已知E(x) =51800,，σx =730.3 若母體為常態分配， x的抽樣分配就是常態。
教材 P.273 EAI問題 x 抽樣分配 在EAI問題中，已知E(x) =51800,，σx =730.3 若母體為常態分配， x的抽樣分配就是常態。 若母體並非常態分配， 由於簡單隨機樣本是由30位主管構成，利用中央極限定理來假定x的抽樣分配趨近於常態分配。 無論哪種情況，皆可得到x的抽樣分配為常態分配如圖7.4所示。

31 x 抽樣分配的實際值 瞭解樣本平均數與母體平均數差距的機率。 抽出簡單隨機樣本，並以樣本平均數x來估計母體平均μ，我們不能期待x恰好等於μ。
教材 P.274 x 抽樣分配的實際值 瞭解樣本平均數與母體平均數差距的機率。 抽出簡單隨機樣本，並以樣本平均數x來估計母體平均μ，我們不能期待x恰好等於μ。 表7.5和7.1圖顯示，500個樣本平均數中的確有部分與母體平均數的差距大於$2000。 EAI例子中，母體平均數為$51800，到底樣本平均數落在母體平均數$51800± $ 500範圍內的機率為何？

32 x 抽樣分配的實際值 這個機率就是圖7.5的陰影區，由於此抽樣為常態分配，我們可以查標準常態分配表，當x=51300時，
教材 P.274 x 抽樣分配的實際值 這個機率就是圖7.5的陰影區，由於此抽樣為常態分配，我們可以查標準常態分配表，當x=51300時， 可知在z=0到 z=-0.68的面積為0.2517。同樣的，當x=52300時，z=0到 z=+0.68的面積亦為 ，因此樣本平均數介於51300到52300間的機率為 =0.5034。或許應考慮使用更大樣本來增加範圍內之機率。 730.30 z= =-0.68

33 教材 P.274 Figure 7.4 Sampling distribution of x for the mean annual salary of a simple random sample of 30 EAI managers Sampling Distribution of x σx =σ = =730.3 √ √̅ n 30 x 51,800 E( x )

34 教材 P.275 Figure 7.5 The probability of a sample mean being within $500 of the population mean Sampling Distribution of x σx =730.3 Area=.2517 Area=.2517 x 51, , ,300

35 教材 P.275 樣本大小與x抽樣分配的關係 樣本平均標準誤σx =σ/√n，當樣本數增加，則標準誤σx減少。 EAI例子中，年薪的母體標準差為σ =4000，當n = 30，標準誤為730.3，而當n = 100，標準誤降為400。 n = 30與n = 100下之x 抽樣分配如圖 7.6。由於n = 100的抽樣分配有較小的標準誤，其x值的變異較小，比起n = 30， x值也比較接近母體平均數。 σx =σ/√n=4000/√ =400 100

36 教材 P.276 Figure 7.6 A comparison of the sampling distributions of x for simple random samples of n=30 and n=100 EAI managers With n=100, σx =400 With n=30, σx =730.3 x 51,800

37 EAI例子中，n =100時，樣本平均數落在母體平均數± $ 500範圍內的機率為何？
教材 P.276 EAI例子中，n =100時，樣本平均數落在母體平均數± $ 500範圍內的機率為何？ 因為抽樣分配為常態，平均數為51800，標準差為400，利用標準常態分配表獲得機率值，在x=51300時（見圖7.7），得到 400 z= =-1.25

38 當樣本大小由30增為100時，樣本平均數落在51300到52300間的機率由0.5034增為0.7888。
教材 P.276 查標準常態分配表可以發現介於z=0與z=-1.25之間的機率為 ; 同樣的，在x=52300下也可以計算出介於z=0與z=1.25之間的機率為0.3944。 因此樣本平均數落在51300到52300間的機率為 =0.7888。 當樣本大小由30增為100時，樣本平均數落在51300到52300間的機率由0.5034增為0.7888。 當樣本大小增加，則平均數的標準誤減少。

39 Sampling Distribution
Figure 7.7 The probability of a sample mean being within $500 of the population mean when a simple random sample of 100 EAI managers is used Sampling Distribution of x with n=100 σ x =400 Area=.3944 Area=.3944 x 51,800 51,300 51,300

40 p的抽樣分配 樣本比例p是母體比例p的點估計量。 其中 x p= n 樣本比例p是隨機變數，且其機率分配稱p的抽樣分配

41 p的期望值 p的期望值，即所有p值的平均數，等於母體比例p。 p的期望值 其中 E (p)= p
由於E (p)= p， p是p的不偏估計量。 (7.4) E (p)= p E (p)= 隨機變數p的期望值 p=母體比例

42 p的標準差 有限母體 無限母體 σp=√̅√̅ σp=√̅ N-n N-1 p(1-p) n p(1-p) n
(7.5) 比較式（7.5）的兩個算式，我們可以發現主要差別在有限母體的情況下多了√̅̅̅ 。 這個因子通常被稱為有限母體校正因子（finite population correction factor）。 若樣本夠大，則有限母體與無限母體的差異是可以忽略的。 當母體為有限且n/N≤0.05，使用σp= √̅̅̅ 的公式。 (N-n)/(N-1) p(1-p)/n

43 p的標準差 一般而言，我們使用標準誤來表示點估計量的標準差。因此，也用比例的標準誤表示p的標準差。
在EAI一例中，參加管理課程的主管比例為p=0.6，由於n/N=30/2500=0.012，故計算比例的標準誤時，可忽略有限母體校正因子，若樣本數為30人，則 σp=√̅ =√̅̅ =0.0894 p(1-p) n 0.6(1-0.6) 30

44 p抽樣分配的形狀 當 np≥5 n(1-p) ≥5 p的抽樣分配可以利用常態分配來近似。
在EAI一例中，有參加管理課程的主管的母體比例為p=0.6，樣本數為30，則np=30(0.6)=18且n(1-p)=30(0.4)=12，因此p抽樣分配可以趨近常態機率分配，如圖7.8所示。 np≥5 n(1-p) ≥5

45 Sampling Distribution
Figure 7.8 Sampling Distribution of p for the proportion of EAI managers who participated in the management training program Sampling Distribution of p σ p =.0894 x .60 E (p)

46 p抽樣分配的實際值 當樣本比例p被用來推估母體比例p值時，會有抽樣誤差，抽樣誤差是樣本比例p值和母體比例p值差距的絕對值。
在EAI一例中，求樣本比例p值落在母體比例±0.05範圍內的機率？(參考圖7.9) 平均數為0.6，標準差σ p =0.0894，則p =0.55所對應的標準常態z值=( )/0.894=-0.56，查標準常態表可知介於z=-0.56到z=0間的面積為0.2123;同樣的在p =0.65時， z=0到z=0.56間的面積為 ，因此樣本比例p值落在母體比例±0.05範圍內的機率為 =0.4246。

47 教材 P.282 p抽樣分配的實際值 若樣本數增為n=100，平均數為0.6，標準差σ p =0.049，則p =0.55所對應的標準常態z值=( )/0.049=-1.02，查標準常態表可知介於z=-0.56到z=0間的面積為0.3461;同樣的在p =0.65時， z=0到z=0.56間的面積為 ，因此樣本比例p值落在母體比例±0.05範圍內的機率為 = 。 當樣本數由30增為100時，樣本比例p值落在母體比例±0.05範圍內的機從0.4246變為0.6922。

48 Sampling Distribution
Figure 7.9 The probability of a sample mean being within $500 of the population mean when a simple random sample of 100 EAI managers is used Sampling Distribution of p σ p =.0894 Area=.2123 Area=.2123 p

49 教材 P.284 7.7點估計量的性質 良好點估計的性質有：不偏性、有效性及一致性。 θ＝母體參數 θ＝樣本統計量或θ的點估計量 ˆ

50 不偏性 ˆ 樣本統計量θ是母體參數θ的不偏估計量，如果 ˆ E(θ)=θ 其中
教材 P.285 不偏性 ˆ 樣本統計量θ是母體參數θ的不偏估計量，如果 其中 圖7.10是不偏估計量與偏誤估計量的例子。對不偏估計量而言，抽樣分配的平均數等於母體參數的值，抽樣誤差的總和為零。 以圖7.10的(b)為例， E(θ)大於θ，所以樣本統計量有較高的機率會高估母體參數值。 ˆ E(θ)=θ ˆ E(θ)=樣本統計量θ期望值。 ˆ

51 Figure 7.10 example of unbiased and biased point estimators
Sampling distribution of θ Sampling distribution of θ ˆ ˆ bias ˆ ˆ θ θ ˆ θ θ E(θ) Parameterθis located at the mean of the sampling distribution; E(θ)=θ Panel A: unbiased estimators Parameterθis not located at the mean of the sampling distribution; E(θ)≠θ Panel B: biased estimators ˆ ˆ

52 有效性 使用標準差較小的點估計量，可使估計值更接近母體參數。
教材 P.286 有效性 使用標準差較小的點估計量，可使估計值更接近母體參數。 自常態母體抽樣時，樣本平均數的標準誤小於樣本中位數的標準誤，因此，樣本平均數比樣本中位數具更佳的有效性。 圖7.11是兩個不偏估計量θ1 ，θ2的抽樣分配，點估計量θ1的標準差小於點估計量θ2的標準差，所以相較於θ2 ， θ1 更有效，也是更好的點估計量。

53 Sampling distribution
Figure Sampling distributions of two unbiased point estimators Sampling distribution of θ1 ˆ Sampling distribution of θ2 ˆ ˆ θ θ Parameter

54 一致性 當樣本變大，點估計量的數值更接近母體參數時，就稱點估計量是一致的。 大樣本比小樣本更能提供好的點估計值。
教材 P.287 一致性 當樣本變大，點估計量的數值更接近母體參數時，就稱點估計量是一致的。 大樣本比小樣本更能提供好的點估計值。 樣本平均數x是母體平均數μ的一致估計量；樣本比例p是母體比例p的一致估計量。

55 教材 P.287 7.8其他抽樣方法 分層隨機抽樣 叢式抽樣 系統抽樣 便利抽樣 判斷抽樣

56 分層隨機抽樣(stratified random sampling)
母體的所有元素被區隔成數群，稱為層(strata) 各資料層同質性高，變異少 由各資料層進行簡單隨機抽樣 如：部門、地理位置、產業

57 ． ． ． Figure 7.12 Diagram for stratified random sampling population
Stratum 1 Stratum 2 Stratum H ． ． ．

58 叢式抽樣(cluster sampling)
各資料層異質性高，每個叢體都可以代表一整個母體 由所有叢體中進行簡單隨機抽樣，被抽出的叢體中之所有元素即構成樣本 如：地區抽樣

59 ． ． ． Figure 7.1 Diagram for cluster sampling population Cluster 1
Cluster K ． ． ．

60 系統抽樣(systematic sampling)
母體元素呈隨機排序，且母體很大 例如在5000個元素中要抽出50個當樣本，可以從每5000/50=100個元素中抽出一個元素。假設已將母體元素依序排列。先從前100個元素隨機抽出一個元素，由這個元素開始，每隔100個元素，就抽出一個，直到抽出50個元素為止。

61 便利抽樣(convenience sampling)
非機率抽樣，樣本是否被抽出的關鍵是便利性 樣本抽選與資料蒐集都相當簡單，但結果可能很好也可能很不好 如：野外捕捉調查、消費者調查

62 判斷抽樣(judgment sampling)
非機率抽樣 研究者必須非常瞭解研究對象，選出他認為最能代表母體的樣本 如：記者選出他認為最能反應全體參議員看法的3到4位參議員來採訪