量子力学 第一章 III. 力学量算符与 薛定谔方程.

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1 量子力学 第一章 III. 力学量算符与 薛定谔方程

2 第三讲目录 一、 简短的回顾 二、力学量的平均值 三、力学量用算符表示 四、薛定格方程 五、量子力学的基本假设

3 一、简短的回顾 为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出了以下观点
一、简短的回顾 为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出了以下观点 能量量子化，基于此，推出了Planck公式，解释了黑体辐射现象； 波粒二象性: 认为任何粒子都具有粒子和波动二重性。其中的波动，称为物质波，满足德布罗意公式： υ=E/h，λ= h /p 测不准原理（不确定度关系）: 认为微观粒子的坐标和动量不可能同时完全确定。

4 由此引申出：力学量的平均值 不确定度关系与力学量的平均值
通过举例得到， 由此得知一般情况下x和p不能完全确定。这样可以提出一个问题: x和p的平均值可否确定？ 由此引申出：力学量的平均值

5 二、力学量的平均值(1) 既然 表示（时刻t 粒子出现在点 附 近的概率，那么粒子坐标的平均值，例如 的平均值 ，由概率论，有 又如，势能V是 的函数： ，其平均值由概率论，可表示为

6 由此引申出量子力学中特有的概念： 力学量的算符
二、力学量的平均值(2) 再如，动量 的平均值为： 对比 和 提出两个问题： 1、为什么不能写成 2、能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？ 由此引申出量子力学中特有的概念： 力学量的算符

7 三、力学量用算符表示(1) 当算符 作用到平面波波函数 上， 有

8 三、力学量用算符表示(2) 以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为 动量的平均值

9 三、力学量用算符表示(3) 动量的平均值， 用以动量为自变量的波函数表示 用以坐标为自变量的波函数表示 其中， 为动量 的算符，
其中， 为动量 的算符， 即：动量算符

10 三、力学量用算符表示(4) 动能 ，动能算符 动能平均值 势能算符与平均势能 哈密顿算符 角动量 ，角动量算符 角动量平均值

11 三、力学量用算符表示(5) 力学量 的平均值为 其中， 为力学量 的算符。 问题：坐标 的平均值 可否表示为 可以，其中

12 三、力学量用算符表示 (6) 描述势场中粒子，一般波函数可表示为 低速运动粒子 非相对论量子力学，

13 利用能量算符，可以从形式上给出量子力学中的基本方程：薛定谔方程
三、力学量用算符表示 (6) 势场中粒子，波函数通常表示为 这里 对这个波函数关于时间做偏微商，有 因此， 能量算符 利用能量算符，可以从形式上给出量子力学中的基本方程：薛定谔方程 13 13

14 四、薛定谔方程（1） 量子力学的基本假设之一：波函数的 时空演化满足薛定谔方程 粒子的能量 对应关系 薛定谔方程

15 四、薛定谔方程（2） 连续性方程 － 薛定谔方程的推论 薛定格方程 （1） 由 ，得 令 得到连续性方程 概率密度 概率(粒子)流密度

16 四、薛定谔方程（3） 概率守恒定律 由 有 高斯定理 有 左边表示在闭区域 中找到粒子的总数目在单位时间内的增量。
四、薛定谔方程（3） 概率守恒定律 由 有 高斯定理 有 左边表示在闭区域 中找到粒子的总数目在单位时间内的增量。 右边表示单位时间内通过 的封闭表面 而流入 内的粒子数。所以， 表示粒子流密度。

17 本征方程 数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 能量算符
数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 能量算符 方程被称之为定态方程。因为本征值E具有能量的量纲，故此， 被称为能量本征函数， E被称为能量本征值。

18 五、量子力学的基本假设 1、微观粒子的状态由波函数 描写。 2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。
1、微观粒子的状态由波函数 描写。 2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定谔方程。 5、态叠加原理。 由此构成量子力学的公理体系