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Chapter 3 Carrier Transport Phenomena 載子傳輸現象------

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1 Chapter 3 Carrier Transport Phenomena 載子傳輸現象------
電場及濃度梯度影響下之帶電載子的運動

2 傳輸過程包括: 載子飄移(carrier drift) 載子擴散(carrier diffusion)
產生與復合過程generation and recombination process) 熱離子發射過程(thermionic emission process) 穿隧過程(tunneling process) 衝擊游離(impact ionization) 最主要

3 3.1 載子飄移(drift) 電場ε=0: 平衡狀態下,自由電子(假設在n型半導體中)的移動受熱能的影響
移動快速,但各方向都有,平均速度為零。 平均熱速率 (室溫下約107cm/s)

4 電場作用下之電子運動 c 為平均自由時間(mean free time),約為10-12s,為平均自由徑(約10-5cm)除以vth。
ε≠0時,電子整體朝電場反方向運動,此電場所貢獻的速度分量就稱為飄移速度。 飄移速率為何? 平均動量變化 和電場成正比 c 為平均自由時間(mean free time),約為10-12s,為平均自由徑(約10-5cm)除以vth。

5 電場作用下之電子運動(續) 定義 為電子的遷移率n(mobility) 同理,對電洞而言: 為電洞的遷移率p 可得電子飄移速度
可得電洞飄移速度 為電洞的遷移率p

6 Mobility的討論:與c有關 c 受電子碰撞影響,其機制有二: 晶格散射:溫度越高,晶格熱震動越劇烈,L越小。
溫度越高,電子速度越快,越不受離子場的影響。

7 合併二種散射機制: 考慮在dt時間內,發生散射的機率為dt/c: 與遷移率定義比較可得: 散射機制越多,遷移率會越小。

8 對輕摻雜(1014cm-3)半導體而言,晶格散射效應較顯著,所以溫度越高,遷移率越小。
對重摻雜半導體而言,在低溫時雜質散射效應較顯著,所以溫度越高,遷移率越大。在高溫區,則為晶格散射效應較顯著,所以溫度越高,遷移率越小。

9 室溫下的遷移率與摻雜濃度關係圖 摻雜濃度越高,遷移率越低。 n > p 因為電子有較小的有效質量

10 3.1.2 Resistivity 電場對能帶圖的影響
考慮一均勻半導體,加一固定偏壓,能帶圖會改變。 電子所受的力為: (負的電子位能梯度) 即電場正比於能帶圖的梯度(斜率) 比較可得 (電位) 又已知:

11 由能帶圖的斜率可知電場 若電場為定值,可得一傾斜之能帶圖(斜率固定)。 電子的電位圖為將Ec或 EFi或Ev圖對y軸對稱(即上下相反)
由此能帶圖可看出,電子碰撞損失動能給晶格,然後掉到能量較低的位置。如右圖,如此之能量變化會使電子朝右移動,這些移動之電子所產生的電流就稱為飄移電流(drift current)。電洞亦然,移動方向與電子相反。 對電洞而言,右邊的能量較大,左邊較小

12 斜率表示電場 反過來畫

13 飄移電流 電子所產生的飄移電流 同理,電洞所產生的飄移電流 半導體中的總電流: 令 可得: 導電率(conductivity) 電荷密度
體積 電子所產生的飄移電流 同理,電洞所產生的飄移電流 半導體中的總電流: 導電率(conductivity) 可得:

14 半導體的電阻率 考慮非本質半導體: N型:n >> p P型:p >> n 與摻雜濃度和遷移率有關

15 電阻率與摻雜濃度關係 摻雜濃度越高,電阻率越小 N型的電阻率小於P型的電阻率(因為電子的遷移率大於電洞的)

16 導電率與溫度之關係 在高溫區,ni大增,影響顯著,所以溫度越高,導電率越大。
在中溫區,幾乎完全解離,電子濃度為定值,所以導電率受遷移率的影響,所以溫度越大,遷移率越小,導電率越小。 在高溫區,ni大增,影響顯著,所以溫度越高,導電率越大。 在低溫區,冷凝現象發生,溫度越低,雜質解離率越低,ni越低,故導電率也越低。 Si

17 半導體試片電阻率的量測 此法不適合半導體晶圓及薄膜 使用四點探針法
CF為修正因子,由d/s決定(例如d/s > 20時,CF=4.54)

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19 3.1.3霍爾效應(Hall Effect) 可測得試片為n型或p型、載子濃度以及遷移率。 量測裝置如左圖:
試片中的電子及電洞為運動中的帶電粒子,在z方向磁場的作用下,會受到如圖所示之磁力。 以p型半導體為例,在y=0的面上會有正電荷堆積,形成一感應電場。 電流Ix、磁場Bz、試片幾何形狀為已知,VH為需量測值。

20 霍爾效應(續) 穩定狀態時,磁力與電力應達平衡。 此電場會產生一電壓,即為霍爾電壓VH。 故可得 合併可得 稱為霍爾係數 其中
即為電洞的飄移速度 故可得 合併可得

21 利用霍爾電壓求主要載子濃度 即由已知值及測量所得之霍爾電壓便可求得電洞濃度 整理可得
同理,n型半導體所量得的霍爾電壓為負值,其電子濃度亦可求。

22 利用霍爾電壓求遷移率 又由 可得 同理,n型半導體之電子遷移率(低電場下)為

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24 載子擴散 載子會由濃度高處往濃度低處移動。 考慮單位時間單位面積通過 x = 0 平面之淨電子流 F1 故淨電子流為 dp/dx dn/dx
左邊流過來 右邊流過來 故淨電子流為

25 擴散電流 用泰勒展開式展開n(-l)與n(l),取前二項: 其中定義擴散係數 所以電子的擴散電流為 同理,電洞的擴散電流為
(熱速率乘以平均自由徑) 所以電子的擴散電流為 同理,電洞的擴散電流為

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27 總電流密度方程式(低電場時) 1-D 3-D 若在高電場作用下,公式中的nε及pε要修正成電子及電洞的飽和電流。

28 Einstein Relation 考慮一維情況,利用平均分配能量理論: 將此關係式代入擴散係數定義,可得: Einstein 關係式

29 Einstein 關係式 q 同理,對電洞的參數也有此關係

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31 3.3 產生與復合過程(非平衡狀態) 熱平衡狀態下,np=ni2。 非平衡狀態下, 非平衡狀態包括:照光,加偏壓等。
非平衡狀態會朝向平衡狀態進行,所以電子電洞,會藉由產生(generation)及復合(recombination)過程恢復至平衡狀態的電子電洞濃度。

32 產生與復合過程(續) 同時發生的兩個過程。平衡狀態下兩者的生成率相同,故np可維持等於ni2;非平衡狀態下兩者的生成率不同,故np不等於ni2 。 產生(generation)過程是產生新的電子電洞對。 復合過程是產生過程的相反,電子電洞對會同時消失。 過多載子注入時,復合率大於產生率,使恢復平衡;反之,產生率大於復合率,使恢復平衡。

33 過多載子注入(carrier injection)
半導體材料照光或pn接面接順向偏壓時,就會使得電子電洞濃度比平衡態時大,這些多出來的載子稱為過多載子(excess carriers) 當過多載子遠小於熱平衡主要載子時,稱為低階注入(low injection),即主要載子濃度仍不變。 若非以上所述,過多載子已使主要載子濃度增加,稱為高階注入。

34 產生與復合過程的分類 直接復合(direct recombination):較易發生在直接能帶隙之半導體,例如砷化鎵。
間接復合(in direct recombination):較易發生在間接能帶隙之半導體,例如矽。 表面復合(Surface recombination) 歐傑復合(Auger recombination)

35 3.3.1直接產生與復合-較易發生在直接能帶之半導體
直接產生:電子吸收熱能或光能,直接由價電帶躍升至導電帶,使得電子電洞對產生。 直接復合:電子直接由導電帶落至價電帶,消滅了電子電洞對。 熱平衡,Gth=Rth 照光時,產生率大於復合率 Gth:平衡時每秒產生的電子電洞對濃度 Rth:平衡時每秒消失的電子電洞對濃度

36 直接能帶隙與間接能帶隙 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p不同 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p相同

37 Direct Bandgap & Indirect Bandgap
直接能帶隙:如GaAs,電子在價電帶與導電帶中躍遷,不需要改變動量。所以光電子產生的效率高,適合作為半導體雷射或其他發光元件的材料 間接能帶隙:如Si,電子在價電帶與導電帶中躍遷,需要遵守動量守恆。所以躍遷發生除了所需能量外,還包括與晶格的交互作用。

38 直接產生與復合率 復合率R和電子電洞濃度成正比: 為比例常數 平衡時: 光所造成之產生率 非平衡時: 過多載子濃度 電洞濃度改變率:

39 考慮穩態, 可得: U表示淨復合率 若為低階注入,p、pn0<<nn0,故上式可簡化為 少數載子的生命期

40 少數載子生命期的測量 利用一照光之半導體,照光後少數載子會增加,在t=0時將光源移去,少數載子會因復合過程而減少,直至恢復平衡狀態。 Rs
vL

41 假設為低階注入情形,/dar<<1,選擇適當阻值使RSd=RL,則可得近似

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44 3.3.2 間接產生與復合 間接能帶隙之半導體材料電子由價電帶躍遷至導電帶的機率較小,所以主要的產生與復合過程為間接的,即需借助能帶隙中之局部性的能態(好像踏腳石),稱為產生復合中心(recombination centers)或陷阱(trap)。 局部性的能態由雜質或缺陷造成,位置約在能隙的中央。 共有四種過程。

45 間接產生與復合過程—Shockley-Read-Hall復合理論
電子捕捉:傳導帶中之電子被一原為中性的空陷阱捕獲 電子發射:電子捕獲的逆過程。 電洞捕捉:陷阱中的電子落至價電帶中,好似價電帶的電洞被移至陷阱 電洞發射:電洞捕捉的逆過程。

46 間接產生與復合率(見附錄I) 電子捕捉速率 Ra與電子濃度陷阱濃度及1-F(E)成正比。 所以設
電子發射速率Rb與陷阱濃度及F(E)成正比。 陷阱為空的機率 捕獲截面積,表示陷阱捕獲電子的效率 比例常數en為放射機率 熱平衡時 Ra = Rb,故 = 代入n與費米機率的公式

47 間接產生與復合率(續) 表示若陷阱靠近Ec,en越大 同理, 電洞捕捉速率 陷阱要填滿 電洞發射速率 陷阱要空

48 均勻照光下 設產生率為GL,穩態時 可得 消去F,可解得 復合速率為: Ra-Rb= (48)

49 可看出少數載子的生命期與Nt成正比,也與陷阱能階的位置有關,可適當調整來獲得所需的生命期。
假設電子電洞的捕獲截面相同為,可得 (49) 再考慮低階注入,復合速率可為 和直接復合的公式一樣 (50) 為復合生命期 可看出少數載子的生命期與Nt成正比,也與陷阱能階的位置有關,可適當調整來獲得所需的生命期。

50 3.3.3 表面復合 在晶體表面,理想單晶的週期性結構被終止,會在能隙中形成局部的能態或是產生-復合中心,稱為表面態階 懸鍵:可形成復合中心

51 在表面過多載子的生命期較小,所以在表面的復合速率會較大,故表面的過量少數載子濃度會比較低。

52 表面復合率 考慮低階注入:單位時間單位面積復合的總數目為 故令 稱為低階表面復合速率 Nst為單位面積的復合中心密度 ps為表面電洞濃度
單位正好為速度的單位 Nst為單位面積的復合中心密度 ps為表面電洞濃度 故令 稱為低階表面復合速率

53 3.3.4 歐傑復合(Auger recombination)
電子電洞對復合所釋放的能量轉移至第三個電子或電洞。 常發生於高濃度摻雜半導體或是高階注入的情形下。 歐傑復合率和載子濃度成正比: ……能量轉移給第三個電子 ……能量轉移給第三個電洞

54 3.4 連續方程式 連續方程式:將電場效應、擴散效應及復合與產生過程等三種傳輸現象整合在一起的方程式。代入適當邊界條件即可解得少數載子的函數。 考慮如右圖之半導體,在dx的範圍內電子的變化率和流進的電流Jn(x)、流出的電流Jn(x+dx)以及其中的產生與復合率有關。 故電子數的變化率為

55 連續方程式(續) 將上式之Jn(x+dx)用泰勒展開式表示,並消去Adx: 可得 其中 ……稱為連續方程式 P型半導體中的電子

56 連續方程式(續) 同理,在n型半導體中的電洞的行為為 此外仍須滿足Poisson’s 方程式: 電場 半導體的空間電荷濃度 半導體的介電係數

57 常見之連續方程式的簡化

58 3.4.1 單邊穩態注入 A: ,電場為零,無限長 此情形下之連續方程式可簡化為: 邊界條件為pn(x=0)=pn(0)
(常數) 解此偏為分方程式之邊界條件問題可得 其中令 稱為擴散長度

59 B: ,電場為零,長為W) 若改成邊界條件為pn(x=0)=pn(0) pn(x́́=w)=pn0 求在x=w處之電流為
解此偏為分方程式之邊界條件問題可得 求在x=w處之電流為

60 3.4.2表面的少數載子 假設表面照光,則由內部往表面流動之電洞電流密度為qUs。又已知表面因表面復合,表面處的電洞濃度會減少,故此處的濃度梯度應等於前述之電洞電流密度,即可得邊界條件如下: 穩態時之連續方程式為 帶入邊界條件解之可得 當Slr0時 Slr∞時,

61 3.4.3 海尼斯-蕭克利實驗 一個可以測量及D的著名實驗。
裝置如右圖,V1提供半導體穩定的電場,接點1的脈波提供過多載子,經電場作用飄移至接點2可測得此過量載子所產生的輸出電壓V2。 經過一個脈波後,連續方程式中的Gp= 0及 ∂ε/∂x = 0(電場為定值),故連續方程式為:

62 海尼斯-蕭克利實驗(續) 在無電場情形下 連續方程式的解為:
單位時間產生的電子電洞數 在無電場情形下 連續方程式的解為: V1不等於零時,除了載子擴散,還會飄移。 無外加電場(V1=0)時,隨時間增加可看到載子擴散。 在有外加電場情形下,連續方程式的解為:將無電場解中的 x 以 x - pε 取代

63 海尼斯-蕭克利實驗(續) 量測在峰值在接點2(x = L) 出現的時間t0,可得 擴散係數可由左圖求得: 找出輸出電壓V的值使得
求出的 t 的兩個解 t1及 t2,設 t2 - t1 = t 整理可得

64 少數載子生命期的估算

65 3.5 熱離子發射過程 (Thermionic emission process)
電子親和力 功函數 半導體表面的載子若有足夠大的能量,可以直接躍升到真空能階,稱為熱離子發射。

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67 3.6穿隧過程(Tunneling process)
II III 若兩個半導體靠的很近,能階圖(右圖)中之位障(potential barrier)寬度就很小。左邊半導體中的電子雖然能量小於位障,但仍能穿透至右邊,稱為穿隧現象。 可以解三區(左、位障區、右)之薛丁格方程式(下式),求出電子的行為((x)),以求出穿透率。 I 位障 電子能量

68 穿隧過程(續) 第I區 第II區 第III區 X ≤ 0 0 ≤ x ≤d X ≥ d I II III 解為

69 穿隧過程(續) 代入邊界條件:在 x = o 及 x = d 處要連續以及 d/dx = 0,可解得係數關係。
定義穿透率為 當d>>1時,穿透率會變得非常小,變為 小的d,小的位障qV0以及小的電子有效質量可得到較大的穿透率。

70 3.7高電場效應 低電場時,vd和電場成正比(因假設平均自由時間與電場無關)
何謂低電場?當vd < vth (107cm/s for Si) 時。 當vd 接近 vth,vd和電場就不成比例。 當電場很大時,飄移速度會達飽和 vs為飽和速度(107cm/s for Si) ε0為常數(7×103V/cm for electrons; 2×104V/cm for holes)

71 高電場效應(續) 以矽而言,電場越大,電子和電洞的飄移速度都會達飽和。
以砷化鎵而言,電場越大,電洞的飄移速度會達飽和,但是電子的飄移速度為先上升後下降。

72 砷化鎵的電子飄移速度 因為砷化鎵的能帶圖中,導電帶的部分有兩個極小值。較低能谷電子的有效質量為0.067m0而較高能谷為0.55mo。
電場小時(ε<εa),電子存在較低能谷,有效質量較小,故遷移率較大。 電場大時(ε<εa),電子能量增加,部分可散射進入較高能谷,但有較小的遷移率。

73 電場越大,散射至高能谷的電子數越多 ε >εb

74 兩種不同電子質量對整體遷移率的影響 設在低能谷的電子數為n1,在高能谷的電子數為n2: 討論: 其中平均遷移率為 故飄移速度為

75 兩種不同電子質量對整體遷移率的影響(續)
討論: 設1εa>2εb 所繪之圖如左 會有一段遷移率為負之區域

76 衝擊游離(Impact ionization)
在高電場作用下,電子具有很大的動能,在與晶格碰撞時,大量的動能會損失給晶格,晶格所獲得之大能量足以破壞鍵結,也就是說可以使價電帶的電子游離至導電帶產生新的電子電洞對。此電子電洞對受電場加速也會具有高動能,再繼續與晶格碰撞。如此連鎖循環下去,會有大量的電子電洞對被游離出來就稱為衝擊游離(又稱雪崩效應)。

77 衝擊游離(Impact ionization)(續)
考慮電子1撞擊晶格所釋放能量產生電子電洞對2與2’,此過程要遵守動量守恆以及動能守恆,假設電子1與電子電洞對2及2’的有效質量相同,且作用後三載子的動能與動量相同: 原電子1的動能提供價電帶電子2躍升至導電帶, 並提供所產生的的電子電洞對動能。 vs為飽和速度,vf為末速度。 表示電子動能必須相當大於能隙才能夠產生雪崩效應。實際上對矽而言,電子需3.6eV (3.2Eg),電洞需5.0eV (4.4Eg)

78 游離率 電子游離率n是指電子走過單位程度的距離所產生的電子電洞對數;電洞游離率p是指電洞走過單位程度的距離所產生的電子電洞對數。
n與p受到電場強烈的影響。以要達到104cm-1這樣大的游離率來說,矽所受的電場要加到大於3×105V/cm;砷化稼所受的電場要加到大於4×105V/cm。 電子電洞對產生率GA為:


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