1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似

Presentation on theme: "1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似"— Presentation transcript:

1

2 1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
温故知新 (1) 如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似. 问：你能画出符合条件的直线吗？ D A C B E E 相似三角形的判定方法 复习相似三角形判定方法,画图时要注意画角ADE=角B时的方法.图在黑板上画.判定之后对不平行那种给出数据若CE=3，CA=8，CB=6， 则： CD=_____， △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, △CDE的面积:△CAB的面积=______. 从而复习了性质 1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2、有两角对应相等的两个三角形相似

3 3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
温故知新 (1) 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中 相似的是（ ） B A． B． C． D． A B C 相似三角形的判定方法 3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似 4、三边对应成比例的两三角形相似

4 课堂抢答 1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为什么？
(1) ∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60° A′ A B C 40° 40° 80° B′ 60 ° C′

5 课堂抢答 1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为什么？ (2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6
7 6 14 B′ C′

6 如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？
课堂抢答 1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？为什么？ (3) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 A`B`=18 ，B`C`=12 ，A`C`= 21 24 A` A B C 4 18 8 24 21 6 B` 12 C` 如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？

7 渐入佳境 1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似. 3
(2)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 ________. 4 A D B E C 1 3 2 如图(2) A B C D E F 如图(1)

8 · · (3)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,则图中共有_____对三角形相似. 2
(4)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有_____对三角形相似. 6 A B C D E O 1 2 3 4

9 渐入佳境 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？ A Q P C B A Q P C B
3. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问： 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？ A Q P C B A Q P C B

10 例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。 4 6 14 A D C B 12999数学网

11 P 6 x 14―x 4 ∴x=5.6 解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD
设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x ∴x=5.6

12 14―x p P ∴x=2或x=12 6 4 x （2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD
设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4 ∴x=2或x=12 ∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似

13 温故知新 (2) 已知，D、E为△ABC中BC、AC上两点， CE=3，CA=8，CB=6， 若∠CDE=∠A， 则：CD=_____，
温故知新 (2) 已知，D、E为△ABC中BC、AC上两点， CE=3，CA=8，CB=6， 若∠CDE=∠A， 则：CD=_____， △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, △CDE的面积:△CAB的面积=______. 4 1：2 1：4 E A B C D

14 S△ADF =16,则S△CEF= ——，平行四边形ABCD的面积为？
CE= BC S△ADF =16,则S△CEF= ——，平行四边形ABCD的面积为？ A C F E B D

15 如图，在□ABCD中，E为CD上一点， DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且 AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=（ ） （A）4：10：25 （B）4：9：25 （C）2：3： （D）2：5：25 F E B A C D

16 14、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC. 求证:AB2=AE·AD 证明：连接BD ∵AB=AC ∴ = ∴∠ADB=∠ABE
又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB ∴ AD ∴AB2=AE·AD

17 例题讲解 1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°.
求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. A B C D P

18 (3)如图，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分 别向AB作垂线，垂足分别为G、H、F， CH交 DE于P，已知 CH=6，AB=8.
①若EF=x ,DE=y，写出y与x的函数关系式. ②设EF为x，S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式， 以及自变量x的取值范围？ ③当x为何值时，矩形DEFG的面积 最大，最大面积为多少？ P G H F E A B C D

19 （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
18、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 A B C D E 1

20 证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B ∵∠ADC是△ABD的外角
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD∽△DCE A B C D E 证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 1 又∵∠ADE=45° ）2 ∴∠ADE=∠B ∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE

21 （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 A B C D E 解：∵△ABD∽△DCE 1 ∴ ∴ 当 时 ∴

22 分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长 分类讨论 A B C D E 1 AD=AE AE=DE DE=AD

23 这节课你有什么收获？

24 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函 数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长

25 应用提高 2.如图，在△ABC中， CA=6，CB=4，AB=8， 当DE∥AB，D点在BC上（与B、C不重合）， E点在AC上.
(1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时，求CD的长. (2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等时，求CD的长. E A B C D E A B C D

26 3.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________.
x O ·P

27 2.画一画: 如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500, ∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据) E D F 700 300 b C A B 700 500 a 300 300 b E D F 700 300 C A B 700 500 a 200 200

28 例题讲解 1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°.
评注：一道题有几个小题时，或者后面小题的解决要用到前面小题的结论，或者这几个小题解决方法类似。本题的第⑴小题也可先证∽，同理可得∽，则有∽。 例题讲解 1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. A B C D P 分析：（1）本题只有已知角和等边三角形的条件，要证∽，可以从找两个角对应相等入手. （2）欲证 ，只须证 ，但图中找不到能直接得出这个比例式的相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上，故可考虑通过等量代换，使相比的两条线段不在同一直线上，然后利用第（1）小题结论来解决.

29 应用提高 1.如图，已知△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数.
(3)求证:AC2=AP·AB. A B P Q C

30 板书设计 相似三角形性质与判定 一、判定方法 平行线法、两角 应用2 两角一夹边、三边 应用1 二、性质 对应边、对应角 周长比、面积比、
对应线段的比

31 尝试练习 已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC.
12999数学网