Interval Estimation區間估計

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1 Interval Estimation區間估計
觀念 在前章中我們介紹了各種估計母體參數的方法(point estimator)。例如我們發現樣本平均數X為母體平均數μ的一個不偏估計式。 雖然平均而言，X能正確的代表μ，但每一次觀察到的X不會剛好等於μ，而是隨著抽到的樣本不同有高有低： 社會統計（上） ©蘇國賢2000

2 Interval Estimation區間估計
觀念 因此除了點估計外，我們還想進一步知道從樣本中得到的估計值有多可靠，由於樣本的估計值本身也是一個隨機變數，不一定會剛好等於母體參數，因此我們問：估計值與母體參數有多接近？ 社會統計（上） ©蘇國賢2000

3 Interval Estimation區間估計
觀念 從估計式的抽樣分配中，我們可以建立一套系統性的方法來表達估計式的精確度。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

4 Interval Estimation區間估計
觀念 我們通常以建構信賴區間(confidence intervals)來顯示估計式的準確度。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

5 Interval Estimation區間估計
觀念 社會統計（上） ©蘇國賢2000

6 Interval Estimation區間估計
在估計的問題中，我們希望估計式具有以下兩個性質： 1. 估計式為不偏估計(unbiased estimator)，即估計式不會系統性的高估或低估母體參數。 2. 我們希望估計式的抽樣分配集中於母體參數的周圍，即估計式的變異數愈小愈好。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

7 Interval Estimation區間估計
在估計的問題中，我們希望估計式具有以下兩個性質： θ Unbiased 社會統計（上） ©蘇國賢2000

8 Value of Zα(課本276頁） Let Z be a standard normal random variable and let αbe any number such that 0<α<1. Then zαdenotes the number for which P(Z≧ zα) = α 社會統計（上） ©蘇國賢2000

9 Value of Zα 例題：α=.025，求zα? P(Z≧ zα) =.025 zα zα=1.96 Area=1-.025=0.975
zα=1.96 社會統計（上） ©蘇國賢2000

10 Value of Zα 例題：求z.05? P(Z≧ z.05) =.05 z.05 zα=1.645 Area=1-.05=0.95
zα=1.645 社會統計（上） ©蘇國賢2000

11 Value of Zα 例題：求z.005? P(Z≧ z.005) =.005 z.005 zα=2.58
Area=1-.005=.995 Area=.005 z.005 zα=2.58 社會統計（上） ©蘇國賢2000

12 Value of Zα P(Z≧ zα/2) =α/2 P(Z≦ -zα/2) =α/2 P(-zα/2 ≦Z≦ zα/2) =(1-α)
1-α/2-α/2 =1-α P(Z≧ zα/2) =α/2 P(Z≦ -zα/2) =α/2 P(-zα/2 ≦Z≦ zα/2) =(1-α) α/2 社會統計（上） ©蘇國賢2000

13 Confidence intervals for the mean with know population variance
假設我們從N(μ, σ2)的母體中抽取樣本數為n的樣本。其樣本平均數的抽樣分配為: 社會統計（上） ©蘇國賢2000

14 Confidence intervals for the mean with know population variance
根據先前的結果： 社會統計（上） ©蘇國賢2000

15 Confidence intervals for the mean with know population variance
這個結果告訴我們： 母體參數μ落在下列隨機區間 的機率為(1-α) 或者可以說上述隨機區間包含母體參數μ的機率為(1-α) 社會統計（上） ©蘇國賢2000

16 Level of Confidence The level of confidence (1-α) of a confidence interval measures the probability that a population parameter will be contained in an interval calculated after a random sample has been selected from a population. 信賴度衡量從母體中抽取隨機樣本所建構出的信賴區間會含括母體參數的機率。 α 為誤認母體參數落在信賴區間中的機率。如α=.05，則信賴度1-α=.95，表示有5%的機率母體參數會落在信賴區間之外。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

17 Confidence intervals for the mean with know population variance
Suppose we take random sample of n observations from a normal population with mean u and variance σ2. If σ2is known and the observed sample mean is x, then the confidence interval for the mean with a level of confidence 100(1-α)% is given by: Where zα/2is the number for which P(Z≧ zα/2) =α/2 社會統計（上） ©蘇國賢2000

18 例題 學校想估計去年畢業的學生第一年的年薪。假設薪資分佈為常態分配，且母體的標準差為$2000。取隨機樣本25名校友得到平均薪資為$19,500，求95%的信賴區間。 σ= $2000, n=25, x=$19500 1-α=95%, α= .05 , α/2=.025, zα/2=1.96 社會統計（上） ©蘇國賢2000

19 例題 我們之所以計算出95%的信賴區間為(18,716, 20,284)完全是因為樣本的平均數為$19,500。如果我們再抽取一個25人的樣本，則可能得到不同的區間。 如果我們一直不斷的重複取樣本1000次，則有950次(95%)所建構出的信賴區間會含括母體的平均數。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

20 母體參數： Mean = μ Variance =σ2 μ 每個區間=

21 Page 346, Figure 8.1 社會統計（上） ©蘇國賢2000

22 Confidence intervals for the mean with know population variance
X為會隨著樣本而變的隨機函數，因此信賴區間也會隨著樣本的不同而有差異。 100(1-α)%的機率，上述的隨機區間會含括母體參數u。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

23 Confidence intervals for the mean with know population variance
但實際上我們通常僅抽取一個樣本，且u通常為未知，因此無法確切知道此樣本是否包含u，但我們可以說此區間有95%的機率會包含u. 社會統計（上） ©蘇國賢2000

24 Page 349, Procedure 8.1 社會統計（上） ©蘇國賢2000

25 Formula for commonly constructed confidence intervals
經常在使用的信賴區間 社會統計（上） ©蘇國賢2000

26 Desirable Properties of Confidence Intervals
好的信賴區間有兩個特性： 信賴度愈高愈好The interval should have a high level of confidence (1-) 信賴區間愈小愈好The interval should have narrow width（precision) 社會統計（上） ©蘇國賢2000

27 Page 352, Figure 8.3 社會統計（上） ©蘇國賢2000

28 Margin of Error- The width of a confidence interval for u
(1)信賴區間的信賴度(1-α) (2)母體標準差 (3)樣本規模n 社會統計（上） ©蘇國賢2000

29 Comparing Width of Confidence Intervals
Suppose we take a random sample of size n from population having known variance 2. Construct 99%, 95%, 90% CI for the population mean and compare their widths. W1比W2的寬度多32% W2比W3的寬度多19% 社會統計（上） ©蘇國賢2000

30 Comparing Width of Confidence Intervals
To decrease the width of confidence interval, we must either use a smaller level of confidence (1-), or increase the sample size n. 99% 95% 90% 80% 50% Width of CI Confidence coefficient 社會統計（上） ©蘇國賢2000

31 續例題10.3 學校想估計去年畢業的學生第一年的年薪。假設薪資分佈為常態分配，且母體的標準差為$2000。取隨機樣本25名校友得到平均薪資為$19,500，求99%的信賴區間 ，並與95%CI做比較。 σ= $2000, n=25, x=$19500 1-α=99%, α= .01 , α/2=.005, zα/2=2.58 =1.32 社會統計（上） ©蘇國賢2000

32 Confidence intervals for large samples
CI的建構必須有兩個條件： (1)母體必須為常態分配。 (2)母體的變異數為已知數。 當樣本數n30，根據中央極限定律，樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配，且樣本標準差會愈來愈趨近於母體標準差，所以條件(1)(2)皆能滿足。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

33 例題 郵局的人事部門想要瞭解郵差請病假的情況，取樣100人來觀察，母體的分配及標準差皆為未知數，假設樣本平均數為8.2，s=2.7天，建構95% CI。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

34 One-sided confidence intervals for the mean
Suppose that we wish to find the lower confidence limit (LCL) such that the probability (1-)that u exceeds LCL. The one-sided interval (LCL, ) is a left-sided confidence interval. The lower confidence limit is given by Suppose that we wish to find the upper confidence limit (UCL) such that the probability (1-)that u is less than UCL. The one-sided interval (-, UCL) is a right-sided confidence interval. The upper confidence limit is given by 社會統計（上） ©蘇國賢2000

35 One-sided confidence intervals for the mean
單邊信賴區間的意義：假設重複取樣本數為n的隨機樣本，每次計算(LCL, )，則在所有樣本所建構出的左邊信賴區間中，將有1-的機率會包含u。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

36 One-sided confidence intervals for the mean
郵局的人事部門想要瞭解郵差請病假的情況，取樣100人來觀察，母體的分配及標準差皆為未知數，假設樣本平均數為8.2，s=2.7天，建構母體參數u的單（左）邊95%信賴區間。 我們有95%的信心u會超過7.7558 社會統計（上） ©蘇國賢2000

37 Student’s t distribution
先前透過Z-score來建構CI： (1)母體必須為常態分配，母體的變異數為已知數。 (2) n30 當母體標準差為未知數，且樣本數很小時，如何建構CI？ 社會統計（上） ©蘇國賢2000

38 Student’s t distribution
若母體 2未知，則以S來取代，我們得到t-score: 樣本數愈大，S愈接近，t分配愈接近標準常態分配Z: 社會統計（上） ©蘇國賢2000

39 t分配的一些特性 t分配為中心點為零，介於- 至的對稱分配. t分配的形狀為類似標準常態分配的鐘形分配
t distribution的平均值為 0. t分配的機率密度函數決定於參數 (nu), 即自由度(degree of freedom) 。建構平均值的信賴區間時，自由度為樣本數減一degrees of freedom is =(n-1)。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

40 Characteristics of t distribution
t distribution 的變異數為 /(-2) for >2，其值永遠大於1。v愈大（樣本越大），變異數越接近1，其形狀越接近標準常態分配。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

41 Characteristics of t distribution
t分配是一群機率分配的組合，不同自由度對應不同的t distribution的密度函數，由於變異數較標準常態分配大，所以形狀較為矮胖。 Standard normal (d.f.=) d.f. =4 d.f. =2 d.f. =1 社會統計（上） ©蘇國賢2000

42 Value of t, The symbol t,denotes the value of t such that the area to its right is  and t has  degree of freedom. The value t, satisfies the equation: P(t > t, )= Where the random variable t has the t distribution with  degrees of freedom. 社會統計（上） ©蘇國賢2000

43 Value of t, P(t > t0.05,13 )=0.05找出t值？ 社會統計（上） ©蘇國賢2000

44 例題 Consider the t distribution having =9 degrees of freedom. Find the value t.05, 9 such that the area in the right tail of the t distribution is .05. t distribution with d.f. = 9 Area = .05 t.05=1.83 社會統計（上） ©蘇國賢2000

45 例題 Consider the t distribution having =9 degrees of freedom. Find the value t.025, 9 and -t.025, 9 such that each tail of the t distribution contains area .025. t distribution with d.f. = 9 Area = .025 -t.025= t.025= 2.262 社會統計（上） ©蘇國賢2000

46 例題 Consider the t distribution having =20 degrees of freedom. Find the value t.025, 20 such that the right tail of the distribution contains area .025. t distribution with d.f. = 20 Area = .025 t.025= 2.086 社會統計（上） ©蘇國賢2000

47 Confidence intervals for the mean with unknown population variance
若母體 2未知，則以S來取代，我們得到t-score: has the t distribution with v = (n-1) degrees of freedom. 社會統計（上） ©蘇國賢2000

48 Constructing confidence intervals using the t distribution
The area to the right of tα/2,υis α/2 for the t distribution having v degrees of freedom. Similarly, the area to the left of -tα/2,υ is α/2 . Thus, we obtain: 社會統計（上） ©蘇國賢2000

49 Constructing confidence intervals using the t distribution
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50 Constructing confidence intervals using the t distribution
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51 Confidence interval for the mean of a normal population with unknown population variance
定義 Suppose we take a random sample of n observations from a normal population with mean u and unknown variance σ2. If the observed sample mean is x and the observed sample standard deviation is s, the confidence interval for the mean having level of confidence 100(1-α)% is given by 社會統計（上） ©蘇國賢2000

52 例題 例題 一工程師要估計某種鋼鐵的平均強度，假設該鋼條的強度為常態分配，他做了四個試驗，得到的強度如下 844, 847, 845, 844 ，計算該鋼條平均強度的95%信賴區間。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

53 兩種信賴區間的比較 由t值所建構出的CI的區間比由Z-score所建構出的CI區間要寬，因為母體的變異數必須估計，誤差較大。
觀念 由t值所建構出的CI的區間比由Z-score所建構出的CI區間要寬，因為母體的變異數必須估計，誤差較大。 樣本數愈大，CI的寬度愈小。因為(1) n在分母 (2) t值隨著degree of freedom的增加而減小。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

54 兩種信賴區間的比較 CI隨著d.f.增加而減小的情形： 當d.f. 大於120時，用t值所計算的CI與用標準常態分配所計算出的CI幾乎相同。
觀念 CI隨著d.f.增加而減小的情形： 當d.f. 大於120時，用t值所計算的CI與用標準常態分配所計算出的CI幾乎相同。 社會統計（上） ©蘇國賢2000

55 例題 例題 N=121, X = $20,000 S=$4,000 construct two CI, one using t, the other using z. υ= n-1 =120, t0.025, 120 = 1.984 社會統計（上） ©蘇國賢2000

56 例題 n=10, we want to construct 95% IC using z and t.
If the variance is known, we use z =1.96 If the variance is unknown, we use t.025, 9 = 2.262 2.262/1.96=15%. The confidence interval based on the t value will be 15% wider than that based on the z value. 社會統計（上） ©蘇國賢2000

57 One-sided confidence intervals for the mean
Take a random sample of n observations from some normal population having unknown mean u and unknown standard deviation σ. Suppose that we wish to find the lower confidence interval (LCL, ∞) is a left-sided confidence interval. The lower confidence limit is given by: Suppose that we wish to find the upper confidence interval (-∞, UCL) is a right-sided confidence interval 社會統計（上） ©蘇國賢2000

58 One-sided confidence intervals for the mean
例題 n=10, σ = unknown, x=14.5, s = 2.5. Construct 95% left-sided CI for the population mean u. The 95% left-sided confidence interval for u is (13.051, ∞) 社會統計（上） ©蘇國賢2000

59 Determining the sample size決定樣本大小
Confidence interval for the mean: Suppose an individual is interested in estimating the mean of a population having a known variance 2. How large a sample size must be taken if the investigator wants the probability to be (1-) that the sampling error |X - u| is less than some amount D? 社會統計（上） ©蘇國賢2000

60 Determining the sample size決定樣本大小
信賴區間是以X 為中心，向左右各伸展： 將D固定，求n=? 社會統計（上） ©蘇國賢2000

61 例題 An economist wants to estimate the mean annual income of households in a particular congressional district. It is assumed that the population standard deviation is =$4,000. The economist wants the probability to be .95 that the sample mean will be within a D = $500 of the true mean u. How large a sample is required? 社會統計（上） ©蘇國賢2000

62 複習 母體分配 根據中央極限定律，我們知道樣本夠大時，樣本平均數的抽樣分配為常態分配

63 母體參數： Mean = μ Variance =σ2 μ 每個區間=

64 複習 設（x1,x2…xn)為由某母體抽出的隨機樣本，為此母體之參數，假設T1, T2為兩個統計量，使得
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65 複習 D T1 T2 社會統計（上） ©蘇國賢2000

66 複習 母體平均數u之區間估計： 當母體標準差σ已知，且n>30，則 為母體平均數u的100(1-)%的信賴區間 ©蘇國賢2000
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67 Confidence intervals for the mean with unknown population variance
若母體 2未知，則以S來取代，我們得到t-score: has the t distribution with v = (n-1) degrees of freedom. 社會統計（上） ©蘇國賢2000

68 複習 母體平均數u之區間估計： 當母體標準差σ未知則 為母體平均數u的100(1-)%的信賴區間 社會統計（上） ©蘇國賢2000

69 複習 當樣本數未定，但n>30，若誤差界線D已知，則樣本數為 母體平均數u之點估計：
一般以X 來估計u ，也就是取X做為u的估計式，因此X為u之點估計值。 當樣本數n已知，且n>30，以X估計u的100(1-)%誤差界線為 當樣本數未定，但n>30，若誤差界線D已知，則樣本數為 社會統計（上） ©蘇國賢2000

70 複習 一個日光燈製造公司生產的燈管壽命近似常態分配，它的標準差為100小時。某品管人員隨機抽樣32燈管，經使用後觀察其壽命，得平均壽命為1200小時 （１）求該公司生產的每支燈管的平均壽命之估計值。 平均壽命u之點估計值為x=1200小時 社會統計（上） ©蘇國賢2000

71 複習 故應再取97-32=65支 （２）求(1)中的估計之95%誤差界線？
（３）若希望（２）中的95%誤差界線為20小時，問此題的樣本夠不夠大？若不夠大應再抽多少樣本？ 故應再取97-32=65支 社會統計（上） ©蘇國賢2000

72 複習 （４）求該公司生產的每支燈管平均壽命的90%及95%信賴區間 社會統計（上） ©蘇國賢2000