第2章 正投影的基本理论 知识点 1．投影法的基本知识 2．点的投影 3．直线的投影 4．平面的投影 要求

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1 第2章 正投影的基本理论 知识点 1．投影法的基本知识 2．点的投影 3．直线的投影 4．平面的投影 要求
掌握：点在三面投影图中的投影特点；由已知点的两个投影，求作其第三投影的方法；各种位置的直线、平面的三面投影特点；两直线处于各种相对位置时的投影特点；求一般位置直线的实长及倾角；直角定理；根据各种位置平面的投影特性，判别平面对投影面的相对位置。 了解：投影法的基本知识。

2 所谓投影法，就是一组投射线通过物体射向预定平面上得到图形的方法。预定平面P称为投影面，在P面上得到的图形称为投影，如图2-1所示。
2.1投影法的基本知识 2.1.1投影法的基本概念 生活中，光线照射物体时，就会在地面或墙壁上产生影子。影子在某些方面反映出物体的形状特征，这就是常见的投影现象。人们根据生产生活需要，对这种现象加以抽象和总结，逐步形成了投影法。 所谓投影法，就是一组投射线通过物体射向预定平面上得到图形的方法。预定平面P称为投影面，在P面上得到的图形称为投影，如图2-1所示。 2.1.2投影法的种类 由投影中心、投影线和投影面三要素 所决定的投影法可 分为中心投影法和平行投影法。 1．中心投影法 如图2-1所示，投影线自投影中心S出发， 将空间△ABC投射到投影面P上， 所得△abc即为△ABC的投影。 这种投影线自投影中心出发的投影法称为中心投影法， 所得投影称为中心投影。 中心投影法主要用于绘制产品或建筑物富有真实感的立体图，也称透视图。 图2-1 中心投影法

3 2．平行投影法 若将投影中心S移到离投影面无穷远处，则所有的投影线都相互平行，这种投影线相互平行的投影方法，称为平行投影法，所得投影称为平行投影。平行投影法中以投影线是否垂直于投影面分为正投影法和斜投影法。若投影线垂直于投影面，称为正投影法，所得投影称为正投影，如图2-2a所示；若投影线倾斜于投影面，称为斜投影法，所得投影称为斜投影，如图2-2b所示。 由于正投影法得到的正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，故在机械工程中广泛应用。因此，本课程主要研究正投影法。今后除特别说明外，所述投影均指正投影。 （a）正投影法 （b）斜投影法 图2-2 平行投影法

4 2.1.3正投影法的基本特征 1.正投影法的投影特点 (1)真实性。当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长），这种投影特性称为真实性。如图2–3（a）所示。 (2)积聚性。当物体上的平面（或直线）与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一条线（或一个点），这种投影特性称为积聚性。如图2–3（b）所示。 (3)类似性。当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影的面积变小（或长度变短），但投影的形状仍与原来形状类似，这种投影特性称为类似性。如图2–3（c）所示。 （a）P//H有真实性 （b）P┻H有积聚性 （C）P∠H有类似性 图2-3 正投影特性

5 2.多面正投影 如图2–4（a）、（b）、（c）所示的三个不同物体向同一投影面正投影后，所得的投影却相同，由此说明，一面正投影是不能唯一确定物体的形状和结构的。为了唯一确定物体的结构形状，需采用多面正投影。通常选用两个或两个以上互相垂直的投影面进行正投影，如图2–5（a）所示。 在按一定规律把投影面展开，摊平在一个平面上，便得到多面正投影图，如图2-5（b）为三面正投影图。 （c） （b） （a） 图2–4 物体的单面正投影

6 图2–5 三面正投影 多面正投影具有良好的度量性，只要物体上的平面或直线与某一投影面平行，就能反映其实形或实长，故在工程中被广泛应用，是绘制工程图样的理论基础。

7 2.2点的投影 点是组成形体最基本的几何元素。要想正确地画出物体的视图，首先应该掌握点的投影规律。 2.2.1点在两投影面体系中的投影 1.两投影面体系的建立 　　两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图2-6所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。 水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分角、 第三分角、 第四分角。 图2-6两投影面体系的建立

8 2．点在两投影面体系中的投影 (1) 投影　如图2-7所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A 向水平面作垂线， 得垂足a ，则a 称为空间点A的水平投影。画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′ax 和 aax 。 (a) (b) 图2-7 点在两投影面体系中的投影

9 (2) 注写规定　空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。
(3) 投影面展开　为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。则得到点A的两面投影图。 (4) 擦去边界,得到点的两面投影图　投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。 3.点在两投影面体系中的投影规律 图2-8 点在两投影面体系中的投影规律

10 1.一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。在图2-8(a)中，点A的正面投射线Aa’和水平投射线Aa所确定的平面Aaa’垂直于V和H面。根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aax⊥a’ax、aax⊥OX和a’ax⊥OX。当a随H面旋转重合于V面时，aax⊥OX的关系不变。因此，在投影图上，aa′⊥OX。 2.一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即aax=Aa′；a’ax=Aa。在图2-8(a)中，因为Aaaxa′是矩形，所以aax=Aa′; a’ax=Aa。 2.2.2点在三投影面体系中的投影 1.三投影面体系的建立 如图2-9所示，三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上，增加一个与V、H投影面都垂直的侧立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影轴，V面和H面的交线为OX轴，H面和W面的交线为OY轴，V面和W面的交线为OZ轴。OX、OY、OZ轴垂直相交于一点O，称为原点。 图2-9 三投影面体系的建立 图2-10 点在三投影面体系中的投影

11 2.点的三面投影 (1) 投影　如图2-10所示，设空间点A处于第一分角，按正投影法将点A分别向H、V、W面作垂线，其垂足即为点A的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。 投影面展开 为了把空间点A的三面投影表示在一个平面上，保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合；W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合。在展开过程中，OX轴和OZ轴位置不变，OY轴被“一分为二”，其中随H面向下旋转与OZ轴重合的一半，用OYH表示；随W面向右旋转与OX轴重合的一半，用OYW表示 。 擦去边界，得到点的三面投影图　擦去投影面边界线，则得到A点的三面投影图。为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。 3.点的三面投影规律 如图2-11所示，三投影面体系可以看成由V⊥H、V⊥W两个两投影面体系组成。根据点在两投影面体系中的投影规律，可知点在三投影面体系中的投影规律为： 1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a ⊥OX； 2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a"⊥OZ； 3)点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V面的距离，即aax=a″az＝Aa′。 为了保持点的三面投影之间的关系，作图时应使aa′⊥OX、a′a″⊥OZ。而aax=a″az可用图2-11(b)所示的以O为圆心，aax或a″az为半径的圆弧，或用图2-11(c)所示的过O点与水平成45°的辅助线来实现。

12 (b) (a) (c) 图2-11 点的三面投影 由于投影面相互垂直，所以三投影线也相互垂直，8个顶点A、a、ay、a′、a″、ax、O、az构成正六面体，如图2-11(a),根据正六面体的性质可以得出三面投影图的投影特性如下： ① 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；同时aayh⊥OYH，a″ayw⊥OYW。 ② 点的投影到投影轴的距离，反映空间点到以投影轴为界的另一投影面的距离，即： a′aZ =Aa″=aayh=x坐标；a ax =Aa′=a″az=y坐标；a′ax =Aa=a″ ayw =z坐标。 为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即：aaX＝a″aZ，点的水平投影和侧面投影的连线相交于自点O所作的45°角平分线，如图2-11(c)所示的方法。

13 因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。
例 已知空间点A（20、10、15），试作它的三面投影图。 解 作图步骤： (1) 如图2–12所示，在展开的三面投影体系中，由原点O向左沿轴OX量取20 mm得ax，过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向前量取10 mm得水平投影a，向上量取15 mm得正面投影a′。 (2) 过a′作OZ轴的垂线交OZ轴于az，在垂线上自az向前量取10 mm得a″（a″也可由a通过作圆弧或45°斜线求得）。则a、a′、a″即为A点的三面投影，可记为A（a、a′、a″）。 图2-12根据坐标作点的三面投影

14 例 已知A点的两投影a和 a′，求 a″。 图2-13 已知点的两面投影求第三投影 解 作图方法和步骤如下： (1)过a′向右作水平线；过O点画45°斜线（图2-13b）。 (2)过a作水平线与45°斜线相交，并由交点向上引铅垂线，与过a′的水平线的交点即为a″（图2-13c）

15 2.2.3两点间的相对位置 观察分析两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置。根据x坐标值的大小可以判断两点的左右位置；根据z坐标值的大小可以判断两点的上下位置；根据y坐标值的大小可以判断两点的前后位置。如图2-14（a）所示，空间有两个点A（xA，yA，zA）、B（xB，yB，zB）。若以B点为基准，则两点的坐标差为ΔxAB＝xA－xB 、ΔyAB＝yA－yB 、ΔzAB＝zA－zB 。x坐标差确定两点的左右位置，y坐标差确定两点的前后位置，z坐标差确定两点的上下位置。三个坐标差均为正值，则点A在点B的左方、前方、上方。从图2-14（b）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。 图2-14 两点的相对位置

16 当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。　
如图2-15（a），A、B两点位于V面的同一条投射线上，它们的正面投影a′、b′重合，称A、B两点为对V面的重影点，这两点的x、z坐标分别相等，y坐标不等。同理，C、D两点位于H面的同一条投射线上，它们的水平投影c、d重合，称C、D两点为对H面的重影点，它们的x、y坐标分别相等，z坐标不等。 图2-15 重影点

17 重影点需判别可见性。根据正投影特性，可见性的区分应是前遮后、上遮下、左遮右。在投影图中，对于重影的投影，在不可见点投影的字母两侧画上圆括号。如图2-15（b），A、B两点为对V面的重影点，它们的正面投影重合，点A在点B的前方，a′可见，表示为a′；b′不可见，表示为（b′）。C、D两点为对H面的重影点，它们的水平投影重合，点C在点D的上方，c可见，表示为c；d不可见，表示为（d）。 2.3直线的投影 2.3.1各种位置直线的投影 1．直线的投影 一般情况下，直线的投影仍是直线，如图2-16中的直线AB、EF。在特殊情况下，若直线垂直于投影面，直线的投影可积聚为一点，如图2-16中的直线CD。 图2-16 直线的投影

18 直线的投影可由直线上两点的同面投影连接得到。如图2-17，分别作出直线上两点A、B的三面投影，将其同面投影相连，即得到直线AB的三面投影图。
2.各种位置直线的投影特性 在三投影面体系中，直线对投影面的相对位置可以分为三种：投影面平行线、投影面垂直线、投影面倾斜线。前两种为投影面特殊位置直线，后一种为投影面一般位置直线。 (1) 投影面平行线 投影面的平行线是指只平行于某一个投影面的直线。它与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与W面平行的直线称为侧平线。它们的投影图及投影特性见表2-1。规定直线（或平面）对H、V、W面的倾角分别用α、β、γ表示。 表2-1 投影面平行线的投影特性

19 名 称 直观图 投影图 投影特性 水平线 1．水平投影反映实长，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为α 2．正面投影平行X轴 3．侧面投影平行Y轴 正平线 1．正面投影反映实长，与X轴夹角为α，与Z轴夹角为γ 2．水平投影平行X轴 3．侧面投影平行Z轴 侧平线 1．侧面投影反映实长，与Y轴夹角为α，与Z轴夹角为β 2．正面投影平行Z轴 3．水平投影平行Y轴

20 (2) 投影面垂直线 投影面的垂直线是指垂直于某一个投影面的直线。它与一个投影面垂直，必与另外两个投影面平行。与H面垂直的直线称为铅垂线，与V面垂直的直线称为正垂线，与W面垂直的直线称为侧垂线。它们的投影图及投影特性见表2-2。 表2-2 投影面垂直线的投影特性 名 称 直观图 投影图 投影特性 铅垂线 1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都平行于Z轴，并反映实长 1．正面投影积聚为一点2．水平投影和侧面投影都平行于Y轴，并反映实长 正垂线 侧垂线 1．侧面投影积聚为一点 2．正面投影和水平投影都平行于X轴，并反映实长

21 (3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。 图2-17 一般位置直线的投影

22 2.3.2直线上的点 从图2-18（a）可以看出，直线AB上的任一点C有以下投影特性： 1 从属性： 直线上点的投影在这条直线的投影上。如图2-18（a）所示，线段AB上有一点C，C点的正面投影c′必在a’b′上；其水平投影c必在ab上，侧面投影C”必在a”b”上。 2 定比性： 点分割线段之比在投影中保持不变。如图2-18（a）, C点将线段AB的各个投影分割成和空间相同的比例，即 。 (a) (b) 图2-18 直线上点的投影

23 由直线上点的投影特性可知：如果点在已知直线上，则可根据该点的一个投影（投影面垂直线有积聚性的投影除外），求出它的另外两个投影。图2-18（b）表示由AB线上点C的投影求C和C”。
例 试判别C点是否在线段AB上 (图2-19)。 　分析：C点的两个投影分别在线段AB的同面投影上，但线段AB为侧平线，它的正面投影a'b'，水平投影ab均垂直于OX轴，在此特殊情况下一般不能直接用观察方法确定C点是否在线段AB上。这时可以应用定比分段法来验证，如果C点是在AB上，则其两投影线段之比应相等；但如果两投影线段之比不等，则C点不在线段AB上，只不过是C点投影与AB线段的投影重影。 图2-19 判别C点是否在线段AB上

24 图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 2.3.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 若空间两直线互相平行，则其同面投影都平行，且投影长度之比相等，端点字母顺序相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示，因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。 图2-20平行两直线

25 如果从投影图上判定两条直线是否平行，对于一般位置的直线和投影面垂直线，只要看它们的任意两个同面投影是否平行即可。例如图20（b）中，因为ab∥cd、a'b'//c'd'，则AB∥CD。对于投影面平行线，如果已知两直线不平行的两个投影面上的投影，则可以利用以下两种方法判断。 方法一：判断两直线投影长度之比是否相等，端点字母顺序是否相同，若相等同时相同则两直线平行。 方法二：求出两直线所平行的投影面上的投影判断是否平行，若平行则两直线平行。 例如图2-21中，AB、CD是两条侧平线，它们的正面投影及水平投影均互相平行，即ab∥cd、a'b'//c'd'　，但由于字母顺序a′、b′、c′、d′与a、b、d、c不同，因此便可以判定，AB、CD两直线的空间位置不平行。当然，也可以从它们的侧面投影清楚地看出a"b"与c"d"不平行，由此同样得出AB与CD不平行的结论。显然，与方法二求第三投影相比，方法一更加简便。　　 图2-21 两直线不平行

26 2．两直线相交 若空间两直线相交，则它们的各个同面投影亦分别相交，且交点的投影符合点的投影规律；反之，如果两直线的各个同面投影分别相交，且交点的投影符合点的投影规律，则两直线在空间必相交。 如图2-22所示，两直线AB、CD交于K点；则其水平投影ab与cd交于k；正面投影a′b′与c′d′交于k′； kk'垂直于OX轴； 图2-22 两直线相交

27 如果从投影图上判定两条直线是否相交，对于一般位置的直线和投影面垂直线，只要看它们的任意两个同面投影是否相交且交点的投影是否符合点的投影规律即可。例如图22(b)中，因为ab与cd交于k，a′b′与c′d′交于k′，且kk′⊥OX，则空间AB与CD相交。当两直线中有一条为投影面平行线，且已知该直线不平行的两个投影面上的投影时，则可以利用定比关系或求第三投影的方法判断。如图2-23(a)所示，点K在直线AB上，但是，由于ck：kd≠c′k′：k′d′，点K不在直线CD上，所以，点K不是两直线AB与CD的共有点，即AB与CD不相交。图2-23（b）中求出了侧面投影，从图中可以看出，虽然两直线AB与CD的三个投影都分别相交，但是，三个投影的交点不符合一点的投影规律，因此直线AB与CD在空间不相交。 图2-23 两直线不相交

28 例 已知两相交直线AB、CD的水平投影ab，cd及直线CD和B点的正面投影c'd'和b',求直线AB的正面投影a'b'。
分析：利用相交两直线的投影特性，可求出交点K的两投影k、k'；再运用相交原理即可求得a'b'。 作图：(如图2-24) a）两直线的水平投影ab与cd相交于k，即交点Ｋ的水平投影； b）过k作OX轴的垂直线，求得c'd'上的k'； c）连接b'和k'并将其延长； d）再过a作OX轴垂直线与b'k'延长线相交于a'，a'b'即为所求。 图2-24 利用交点求相交两直线

29 3．两直线交叉 在空间既不平行又不相交的两直线称为交叉直线或异面直线。因此，在投影图上，既不符合两直线平行的投影特性，又不符合两直线相交的投影特性的两直线即为交叉直线。 图2-25两直线交叉 如图25(a)所示，a′b′∥c′d′，但是，ab不平行于cd，因此，直线AB、CD是交叉直线。 图25(b)中，虽然ab与cd相交，a′b′与c′d′相交，但它们的交点不符合点的投影规律，因此，直线AB、CD是交叉直线。ab与cd的交点是直线AB和CD上的点Ⅰ和Ⅱ对H面的重影点，a′b′与c′d′的交点是直线AB和CD上的点Ⅲ和Ⅳ对V面的重影点。 交叉两直线可能有一对或两对同面投影互相平行，但绝不会三对同面投影都平行，如图2-21和图2-25(a)所示。交叉两直线可能有一对、两对甚至三对同面投影相交，但是同面投影的交点绝不符合点的投影规律，如图2-23和图25(b)所示。

30 2.3.4一般位置直线的实长及对投影面的倾角 一般位置直线的投影既不反映实长，也不反映对各投影面的倾角。在实际应用中，有时需要根据一般位置直线的投影，求其实长和对投影面的倾角。在投影图上可以利用直角三角形法来解决这一问题。 如图2-26（a）所示，AB为一般位置直线，AB与其水平投影ab的夹角为直线AB对H面倾角α。在直角梯形ABba中，过点A作AB0平行于ab，△ABB0为直角三角形。其中，直角边AB0＝ab，另一条直角边BB0等于AB两端点的z坐标差，即BB0＝zB－zA，∠BAB0为AB对H面的倾角α，斜边AB即为直线的实长。在投影图中如果作出这个直角三角形，就可以求出直线的实长及其对投影面的倾角。这种利用特定直角三角形解决有关直线的实长及其倾角问题的方法称为直角三角形法。 (a) (b) 图2-26用直角三角形法求直线的实长和倾角α

31 1.作法一：如图2-26（b） （1）以水平投影ab为一条直角边，过b作bB0⊥ab，取bB0等于ZB－ZA； （2）连接aB0，得到直角△abB0。其中斜边aB0为AB的实长，斜边aB0与ab的夹角即为AB对H面的倾角α。 2.作法二：如图2-26（b） V面投影中，过a′作OX轴的平行线，与bb'交于b0′，延长a’b0′，使b0′A0＝ab； （2）连接b′A0，得到的直角△b′b0′A0。其中，斜边b′A0为AB的实长，z坐标差b′b0′所对的锐角即为AB对H面的倾角α。 同样，利用直线的正面投影和y坐标差作为两条直角边也可以求出直线实长及对V面的倾角β，如图2-27所示。 图2-27 用直角三角形法求直线的实长和倾角β

32 若求直线AB对W面的倾角γ，应以a″b″和xA－xB 为直角边作直角三角形，斜边与a″b″的夹角即为γ角。
2.3.5直角的投影 当两直线相交成直角时，如果两直线都平行于某一投影面，则两直线在该投影上的投影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。 如图2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线），AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。 (a) (b) 图2-28直角投影原理

33 　证明：因BC垂直于Bb，BC垂直于AB，所以BC垂直于平面ABba;又因BC‖bc，所以bc也垂直于平面ABba。根据立体几何定理可知bc垂直于平面ABba上的所有直线，故bc垂直于ab（图2-28b）。 例 求A点到正平线BC的距离。 分析：点到直线的距离是指该点到直线的垂直距离。图2-29中，BC为一正平线，所以可利用相交两直线成直角的投影特性，从a'作b'c'的垂直线，得到垂足d的正面投影d'，过d’作OX轴的垂直线使与bc相交，得垂足D的水平投影d；然后连接ad，得到垂直线AD的两个投影；最后运用直角三角形法作出垂直线段AD的实长。 图2-29求A点到正平线BC的距离

34 2.4平面的投影 2.4.1平面的表示方法 由初等几何可知，不属于同一直线的三点确定一平面。因此，可由下列任意一组几何元素的投影表示平面（如图2-30）：(a)不在同一直线上的三个点；(b)一直线和不属于该直线的一点；(c)相交两直线；(d)平行两直线；(e）任意平面图形。 图2-30 平面表示法

35 1．水平投影积聚成直线，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为γ。2．正面投影和侧面投影具有类似性。
2.4.2各种位置平面的投影 在三投影面体系中，平面和投影面的相对位置关系与直线和投影面的相对位置关系相同，可以分为三种：投影面平行面、投影面垂直面、投影面倾斜面。前两种为投影面特殊位置平面，后一种为投影面一般位置平面。 1. 投影面平行面 投影面平行面是平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。与H面平行的平面称为水平面，与V面平行的平面称为正平面，与W面平行的平面称为侧平面。它们的投影图及投影特性见表2-3。 表2-3 投影面平行面的投影特性 名 称 直观图 投影图 投影特性 1．水平投影积聚成直线，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为γ。2．正面投影和侧面投影具有类似性。 铅垂面

36 1．水平投影积聚成直线，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为γ。2．正面投影和侧面投影具有类似性。 铅垂面
名 称 直观图 投影图 投影特性 1．水平投影积聚成直线，与X轴夹角为β，与Y轴夹角为γ。2．正面投影和侧面投影具有类似性。 铅垂面 1．正面投影积聚成直线，与X轴夹角为α，与Z轴夹角为γ。2．水平投影和侧面投影具有类似性。 正垂面 1．侧面投影积聚成直线，与Y轴夹角为α，与Z轴夹角为β。2．正面投影和水平投影具有类似性。 侧垂面

37 3． 一般位置平面 一般位置平面与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实形，而是缩小了的类似形，如图2-31。 (b)投影图 (a)立体图 图2-31 一般位置平面的投影

38 2.4.3平面上的点和直线 1．平面上的直线 具备下列条件之一的直线，必在给定平面内： 直线上有两点在平面内； 直线上有一点在平面内，且直线平行于平面内某一条直线。 若欲在平面上取直线，须通过该平面内的两点，过两点连一条直线；或通过该平面上的一点作直线平行于该平面内的任一直线。 例 图2-32表示，已知直线DE在△ABC所决定的平面内，求作其水平投影de。 图2-32 在平面内取直线的作图方法

39 解 根据直线在平面内的条件，可按下述方法和步骤作图：
①延长d’e’，与a’b’和a’c’分别交于1’和2’；应用直线上点的投影特性，求得Ⅰ、Ⅱ两点的水平投影1和2，如图 2-32b所示。 ②连接1、2，再应用直线上点的投影特性，由d’e’求得de，如图2-32c所示。 2.平面上的点 点在平面内的条件是：点在平面内的一条直线上。若欲在平面上取点，须先在该平面内作直线，然后在直线上取点。 例 图2-33a表示，已知点D在△ABC所决定的平面内，求作其正面投影d’。 (b) (a) (c) 图2–33 在平面上求点

40 解:通过D点在△ABC平面内任作一直线BⅠ(BⅠ成为辅助线),然后在BⅠ上根据D点的水平投影d，求出其正面投影d’。在投影图中，由于D点的水平投影d为已知，因此应先过d作辅助线的水平投影b1，由b1求得b’1’，然后由d再b’1’上求得d’，如图2-33b所示。 图2-33c表示以平行于已知直线BC的直线ⅡD作为辅助线的作图方法。 3.平面上的投影面平行线 在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面的平行线。这些直线既与所在平面有从属关系，又具有投影面平行线的投影特性 例 作从属于平面△ABC的一条水平线。 解：作图过程如图2-34所示。 图2-34 作从属于平面的水平线 (a) (b) 在正面投影中，作d’e’∥X轴，并与a’b’交于d’、于a’c’交于e’， d’e’即为平面△ABC内水平线的正面投影，如图2-34（a）所示；再根据d’、 e’求出d、e，连接de，即得改直线的水平投影，如图2-34（b）所示。

41 在正面投影中，作d’e’∥X轴，并与a’b’交于d’、于a’c’交于e’， d’e’即为平面△ABC内水平线的正面投影，如图2-34（a）所示；再根据d’、 e’求出d、e，连接de，即得改直线的水平投影，如图2-34（b）所示。