5 線性模型與矩陣代數 (續).

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1 5 線性模型與矩陣代數 (續)

2 一定要會的重點 會判斷模型（方程體系）是否存在唯一解 會計算行列式值 會求模型解 若且為若係數矩陣的行列式值≠0，模型存在唯一的解。
（2階或3階行列式）用公式求值 2階公式 3階公式 （超過3階的行列式）需「降階」再用公式求值 會求模型解 以逆矩陣求解 以公式求解

3 線性模型與矩陣代數 (續) 5.1 存在唯一解(非奇異矩陣)的條件 5.2 使用行列式檢驗非奇異矩陣 5.4 找出逆矩陣
5.5 Cramer’s rule 5.6 應用到市場模型和國民所得模型 5

4 5.1 存在唯一解的條件 存在唯一解（非奇異矩陣）的條件 非奇異矩陣 ↔ 方陣且線性獨立 （either rows or columns）

5 5.1 存在唯一解的條件 例4：若係數矩陣為 則因 [6 8 10] ＝ 2 [3 4 5]， 。故其橫列間非線型獨立。

6 5.1 存在唯一解的條件 （1） ；（2） 與3.4節討論方程體系是否存在單一解之結論對照。
「方程式與未知數個數相同」之判斷標準顯然即指係數矩陣之正方性（squareness）（橫列數與縱列數相等）。 而「橫列間之線型獨立」則可去除方程式間不一致性與線型依存。 （1） ；（2）

7 5.2 行列式的定義及特性 行列式：一正方矩陣A之行列式，以 表示之。 只有方陣有行列式 符號 |A| 為一純量
若A矩陣為n×n，則 |A| 稱為n階行列式 功能：(1) test non-singularity (2) 計算A-1，if exists

8 2階行列式的公式 對一2×2矩陣A＝ 而言，其行列式定義為：

9 2階行列式的公式 例1已知 與 ，求其行列式 兩矩陣皆有線型依存之橫列。其行列式都等於零。
例1已知 與 ，求其行列式 兩矩陣皆有線型依存之橫列。其行列式都等於零。 行列式 值不僅可作驗定矩陣A之橫列間線型獨立性（非奇異性），而且有助於逆矩陣之計算。

10 3階行列式的公式 公式：(2)三階行列式(a Third-Order Determinant) (以圖形畫出記憶法) 如圖5-1 a11

11 3階行列式的公式 例2 = 2×5×9+1×6×7+3×8×4-3×5×7- 1×4×9-2×8×6 ＝-9 例 =？

12 拉普拉斯展開（降階） 3.以拉普拉斯展開（Laplace-expansion）n次行列式 （1）符號：
aij元素的子式 （1）符號： （2）意義：為原矩陣去掉第i列與第j行後的新行列式

13 拉普拉斯展開（降階） The Cofatcor of the element aij：aij元素的餘因式 （1）符號： （2）定義：

14 拉普拉斯展開（降階） 例 ，元素8之子式為 ；餘因式則為

15 拉普拉斯展開（降階） Laplace Expansion原理： 將n階行列式任一橫列或直行的元素， 與其餘因式展開， 即為該行列式值
故可將n階行列式， 化成n個（n-1）階行列式來計算，逐次將行列式的階數降低，以求算行列式值。 例如， 以3階行列式第1橫列元素與其餘因式展開可得

16 拉普拉斯展開（降階） Laplace Expansion可針對任一行或是任一列展開；一般可挑選較多0或1的行或列展開。 例5：已知

17 5.4 找出逆矩陣 求一逆矩陣之一般過程包括以下步驟： （1）求 。 （2）求A所有元素之餘因式，並以餘因式取代原來的元素形成餘因式矩陣C。
（1）求 。 （2）求A所有元素之餘因式，並以餘因式取代原來的元素形成餘因式矩陣C。 （3）取C之轉置矩陣得adj A（A之伴隨矩陣） （4）將A之伴隨矩陣除以行列式 。即得逆矩陣A-1

18 A之餘因式矩陣， ，將A之每個元素皆以其餘因式取代所形成的矩陣。
5.4 找出逆矩陣 A之餘因式矩陣， ，將A之每個元素皆以其餘因式取代所形成的矩陣。 A之伴隨矩陣（Adjoint of A），以 adj A表示之。餘因式矩陣的轉置矩陣。

19 5.4 找出逆矩陣 例2 求矩陣A與B的逆矩陣

20 以逆矩陣求解 例1 求下列方程體系之解 5x1+3x2＝30 6x1-2x2＝8

21 以逆矩陣求解 例2求下列方程體系之解 7x1-x2-x3＝0 10x1-2x2+x3＝8 6x1+3x2-2x3＝7

22 5.5 Cramer’s rule(公式求解） 1. Cramer’s rule是求解一直線方程體系的一個簡便方法
2. 法則的導出：已知一方程體系Ax ＝ d，此處A為n×n，其解可寫為

23 5.5 Cramer’s rule(公式求解） 若將 之第一行以常數向量d取代之，而保持其他各行不變，則得一新的行列式 —下標1即指第1行系以d取代而得。 Cramer’s rule：

24 5.5 Cramer’s rule(公式求解） 例1 求下列方程體系之解 5x1+3x2＝30 6x1-2x2＝8

25 5.5 Cramer’s rule 例2求下列方程體系之解 7x1-x2-x3＝0 10x1-2x2+x3＝8 6x1+3x2-2x3＝7

26 5.6 應用到市場模型和國民所得模型 1. 市場模型 如（3.12）之兩種商品模型，可寫為兩直線方程體系（消去數量變數後）如（3.13）：

27 5.6 應用到市場模型和國民所得模型 均衡數量可於需求或供給函數中設定 與 求得。

28 5.6 應用到市場模型和國民所得模型 2. 國民所得模型 如（3.23） Y = C + I0 + G0 C = a + bY
可重寫如下形式 Y － C = I0 + G0 - b Y + C = a 用逆矩陣解此模型。餘因式矩陣，伴隨矩陣，逆矩陣，解。。

29 練習1 某一國民所得模型可以右列方程組表示: Y＝C+I0+G0 C＝a + b(Y-T) [T是稅收,0<b<1]
T＝ d + t Y [t為所得稅率,0<t<1] (5%) 按照 Y, C, T之順序以矩陣型式寫出此財務模型。 (5%) 以矩陣表示此方程組時, 請求係數矩陣之行列式值。 (5%) 請求係數矩陣之伴隨矩陣 (亦即 cofactor matrix 之轉置矩陣)。 (5% ) 請求係數矩陣之反矩陣。 (5%) 利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (5%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡值. (必須寫出計算過程)

30 練習2 已知線性方程體系如下 (5%) 按照 X1, X2, X3 , 之順序以矩陣型式寫出此模型。
(5%) 以矩陣表示此方程組時, 請求係數矩陣之行列式值。 (5 % ) 請求係數矩陣之反矩陣。 (5%) 利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (10%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡值.

31 練習3 某一財務模型可以右列方程組表示: 2x+3y-z = 8 -2y +3z = 8 3x -z =5
（15%）利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (15%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡解. (必須寫出計算過程)

32 練習4 令國民所得模型如下： Y ＝ C ＋ I0 ＋ G C ＝ a ＋ b ( Y － T0 ) ( a＞0, 0＜b＜1 )
G ＝ g Y ( 0＜g＜1) (5%) 按照 Y, C, G之順序以矩陣型式寫出此財務模型。 (5%) 以矩陣表示此方程組時, 請求係數矩陣之行列式值。 (5%) 請求係數矩陣之伴隨矩陣 (亦即 cofactor matrix 之轉置矩陣)。 (5% ) 請求係數矩陣之反矩陣。 (5%) 利用反矩陣法, 請求出均衡值矩陣. (5%) 利用 Cramer’s Rule, 請求出均衡值. (必須寫出計算過程)

33 考古題 商品之市場模型如下： Qd1 ＝ 18 － 3 P1 ＋ P2 Qd2 ＝ 12 ＋ P1 － 2 P2
Qs1 ＝ -2 ＋ 4 P Qs2 ＝ ＋ 3 P2 Qd1 ＝ Qs Qd2 ＝Qs2 Qd1, Qs1, P1分別為商品1之需求量、供給量與價格，Qd2, Qs2, P2為商品2之需求量、供給量與價格。 1). 商品1與商品2為相關商品，根據經濟學對「相關財貨」的定義，他們是什麼相關財貨？（10 %） 2). 請依Qd1, Qs1, Qd2, Qs2, P1 P2順序，將模型寫成矩陣格式（4 %），並找出係數矩陣、變數向量及常數向量。（6%） 3). 請求算出模型的均衡解（10 %）。