勾股定理的逆定理 X.

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1 勾股定理的逆定理 X

2 古埃及人曾用下面的方法得到直角

3 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？

4 动手画一画 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c： 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。 吗？
5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。 （1）这三组数都满足 吗？ （2）它们都是直角三角形吗？

5 a2 + b2 = c2 勾股定理的逆命题 如果三角形的三边长a、b、c满足 那么这个三角形是直角三角形。 互逆命题

6 勾股定理的逆命题 已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b a b B' C' A' 在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’ ∵ ∠ C’=900 ∴ A’B’2= a2+b2 ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∵ a2+b2=c2 ∴ ∠ C= ∠ C’(全等三角形对应角相等） ∴ A’B’ 2=c2 ∴ ∠C= 900 ∵ 边长取正值 ∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义） ∴ A’B’ =c

7 a2 + b2 = c2 勾股定理的逆命题 逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足 那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。
互逆命题 定理 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2

8 开启 智慧 定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 驶向胜利的彼岸 想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系?

9 (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等．
试一试 说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等． 逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立 逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立 逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立 逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立 感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.

10 例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
例题解析 例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。 解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形

11 是 ∠ A=900 是 是 (1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ; 不是
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

12 例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？
例题解析 13 A B C D 3 4 5 12 例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？

13 A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形
练一练 1. B A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形

14 S四边形ABCD=36 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积? C
中考链接 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积? S四边形ABCD=36 A B C D 准备好了吗?

15 分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
练一练 分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 ∴△ABC是直角三角形

16 2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
挑战自我 1、请你写出三组勾股数； 2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?

17 此时四边形ABCD 的面积是多少? 2、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
思维训练 1、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个 零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗? 此时四边形ABCD 的面积是多少? 2、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.

18 3、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
思维训练 3、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则 是直角三角形吗？ S1 C C S1 S2 S2 b a b a c A B c B A S3 S3

19 请谈谈你的收获 ……

20 自主评价： 1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。

21 作业：84页， 习题18.2第1题、第4题

22 勾股定理的逆命题 求证： △ ABC是直角三角形 证明：画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 已知：在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证： △ ABC是直角三角形 证明：画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b A’ b C’ B’ a