密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用

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1 密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用
向 涛 中科院理论物理所

2 凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？
一个多体相互作用系统在某个特定状态 (例如基态) 下的物理性质 困难点：不可微扰

3 优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法
密度矩阵重整化群 系统的总自由度随粒子数呈指数增长: mN (m = 2, 3, …, N ~1023) 优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法 用密度矩阵挑选所要保留的基矢 用有限的几个基矢来近似表示一个无穷维空间中的一些状态

4 S = 1/2 Heisenberg 模型 Total degrees of freedom: 2N 量子效应：

5 Heisenberg 相互作用: H2 分子 能量 三重态 单态 J

6 Particle in a box

7 所研究的矩阵的特点 维数高: mN 稀疏：90％或更多矩阵元为零 有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可分块对角化

8 重整化群思想 标度变换： 作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整性)，这也是量子场论方法的基础 重正化群：只是一个半群

9 经典重整化群方法:按能量保留状态 保留 H2 的 p 最小本征态 保留 H4 的 p 最小本征态

10 两个开边界子系统合在一起其衔接部分的状态与实际差的很远
经典重整化群方法失败的原因 边界误差太大 切断误差太大 共 p2个状态 仅 p 个被保留 按能量取舍状态 有可能丢掉了一些 有用的状态而保留 了一些无用的状态 两个开边界子系统合在一起其衔接部分的状态与实际差的很远

11 改进的重整化群方法 边界误差减小 切断误差减小 2p个状态，保留p个

12 密度矩阵重整化群 Superblock 按系统的约化密度矩阵的本征值保留状态 系统 环境

13 约化密度矩阵 约化密度矩阵的本征值  等于其对应的本征态 |> 在基态上的投影振幅

14 DMRG 迭代过程 系统和环境中各加进一个点并初始化或更新 H=Hsys+Henv+Hsys,env
用Lanczos或其它稀疏矩阵对角化方法对角化H 求出基态波函数 做基矢切断并求出变换矩阵 Unp 构造并对角化约化密度矩阵

15 Lanczos方法

16 DMRG与其它方法比较 Monte Carlo或其它近似方法 误差 ~ 1% 总自由度数：2L 1D量子系统DMRG的误差远小于其它近似方法

17 密度矩阵重整化群方法发展的主要进展 零温，实空间：1992 热力学计算(TMRG)：经典系统 1995，1D量子系统 1996
高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算1998 ，待进一步发展 动力学关联函数计算：零温及1D有限温度 1999 非平衡态 (含时演化) 问题：2001，待进一步发展 与Monte Carlo方法的结合：1999，有很大的发展空间

18 计算量 主要CPU时间用于矩阵的对角化 实际计算的矩阵的维数：104 － 106 稀疏程度：10-30％
需要对角化的矩阵的个数：103 － 105 矩阵与矢量相乘的总次数：105 － 107 硬盘：10G － 200G

19 转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法 转移矩阵 空间 时间

20 转移矩阵重整化群与DMRG的比较 T=0 DMRG TMRG Target Matrix Hamiltonian H Symmetric
Transfer Matrix T Non-symmetric Target State Ground state max | max> Density matrix Lattice size Finite Infinity (Finite time slices)

21 S=1/2 Heiserberg 模型的磁化率

22 S=1/2 Heiserberg 模型的关联长度

23 二维密度矩阵重整化群方法 核心问题：2D格子如何向1D格子映射？ 多链方法 2D方法 Condmat/

24 Heisenberg 模型的基态性质 Square Lattice Triangle Lattice Square Triangle
DMRG MC SW

25 小 结 密度矩阵重整化群是目前研究一维量子多体系统最为精确的数值计算方法 但在研究高维或非平衡态系统的物理性质方面还有许多需要解决的数学问题