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利率期限结构：动态模型 厦门大学金融系 陈蓉 2011/11/1
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动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准
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为何需要动态模型？ 普通的债券、利率远期、利率期货和利率互换， 由当前静态利率期限结构的信息即可定价 利率期权产品：还需要利率波动的信息
动态模型：DTSMs
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动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进
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动态利率模型的建模对象 无风险的瞬时即期利率 瞬时远期利率 Why？
instantaneous spot rate or short rate 瞬时远期利率 Instantaneous forward rate Why？ 只要瞬时利率的变化规律已知，就可以推知任意到期期限的即期利率的动态过程
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利率期限结构与瞬时利率 贴现因子（零息票债券）与瞬时利率 即期利率与瞬时利率
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利率期限结构与瞬时远期利率 贴现因子（零息票债券）与瞬时远期利率 即期利率与瞬时远期利率
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动态利率模型的基本设定 瞬时利率在现实测度下的SDE 重要工具I：随机过程、SDE、漂移率、波动率、 布朗运动
不同动态利率模型的差异主要在于对漂移率和波 动率设定的不同 （1）是dt和dz的动态过程，dt为趋势项，dz为波动项 （2）一般的伊藤过程，漂移率是时间的函数，是可测函数即可，这样漂移率有可能是随机的也可能是确定的。随机又分为两种：单独的随机源和源自r的随机源。如果单独有随机源，则在短时间内，连漂移项都是随机的，会有方差；但如果是源自r的随机源，则在短时间内，漂移是确定的，短时间内的方差仅仅源于波动项。当然长期来看漂移项也会有方差；如果是确定的时间的函数或是常数，则漂移项是没有方差的。最常见的漂移项是后三种：常数、时间的确定函数、r和t的函数。人们往往通过变换将漂移项中的r去掉，这样简化随机过程的求解和分析。如果要让漂移率有自己的随机源，就需要引入漂移率的随机过程。 （3）波动率也是类似的情形，可能是常数、时间的确定函数、r和t的函数、随机波动率。 （4）这里不考虑随机波动率和随机漂移率的情形，这样唯一的随机源是dz r，就可以使得方差仅仅来源于波动项。
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瞬时利率动态过程模拟
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动态利率模型的分析框架 重要工具II：Itô-Doeblin引理
根据Itô-Doeblin引理，当瞬时利率服从伊藤过程时 ，无风险零息债券和即期利率的随机过程可以用 瞬时利率的漂移率、波动率参数和随机源dz(t)表 示
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偏微分方程方法I Partial Differential Equation（PDE）方法，也称无 套利（no arbitrage）方法
通过构造无风险组合，而无风险组合在无套利条 件下只能获得无风险利率推导得到结论
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偏微分方程方法II 用两个无风险债券构造组合W 选择权重W1、 W2使得
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偏微分方程方法III 无套利思想 整理可得 由于债券是任意选取的，因此对于任意债券有 我们称之为瞬时利率的市场风险价格
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偏微分方程方法IV PDE 对于任意其价格仅取决于瞬时利率和时间的可交 易证券，都满足上述风险价格公式和PDE
给定不同的边界条件，即可求解证券价格。 解析解 数值解：随机过程复杂或是产品设计复杂的情形 必须以无套利为前提
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等价鞅测度法I 重要工具III：测度转换、等价测度、鞅、Girsanov theorem、资产定价基本定理
在无套利条件下，存在一个市场风险价格值使得 不同测度下的的风险源满足 则风险中性测度下的利率产品价格满足
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等价鞅测度法II 如果该产品是可交易资产，则 新测度的特点 无论实际风险多大，利率产品价格对数的漂移率均为无风险利率：风险中性测度
只要波动率不是随机的，转换测度时波动率不变
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等价鞅测度法III 新测度的另一个重要特点：鞅测度
可交易资产当前的价格等于该产品T时刻的价值在 风险中性测度下按无风险利率贴现至t时刻的期望 值。
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PDE方法VS鞅方法 PDE方法：运用无套利条件构建PDE方程，求解后 用瞬时利率的参数来表示利率产品的价格
鞅方法：在市场风险价格存在的前提下，通过市 场风险价格实现风险中性测度的转换，利率产品 的定价通过求风险中性期望实现 一致性： 无套利＝市场风险价格存在＝风险中性测度存在 discounted Feynman-Kac theorem
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Discount Feynman-Kac Theorem
如果随机变量X(t)满足伊藤过程 给定满足条件 的函数h(X)。定义 则f(x,t)满足以下偏微分方程 其边界条件为
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动态利率模型与静态利率模型 建模目的 建模重点 复杂性和信息含量 估计参数需要的数据 静态：高拟合度、曲线的平滑、拟合灵活度和稳定度
动态：经济意义 复杂性和信息含量 估计参数需要的数据
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动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进
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实用主义标准 名义利率是否非负 收益率曲线的静态特征：形状、长端水平等 利率动态特征： 简单快捷 均值回归 分布特征：肥尾、非对称
利率期限结构长短端变动不一致 利率波动率特征： 利率的波动率与利率水平有关 利率波动率期限结构形状 简单快捷
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动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进
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传统分类 均衡模型与无套利模型 从单因子到多因子 均衡模型：参数的非时变性 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型等
无套利模型：无套利条件下得到的时变参数 Ho-Lee模型 Hull-White模型等 从单因子到多因子 Hull-White双因子模型 Longstaff-Schwartz模型
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两个重要的动态利率模型框架 仿射模型 HJM模型
把收益率曲线表示成状态变量的线性函数，能获得债券和期权价格的解析解，易于在实务中进行校准，应用价值高 HJM模型 无套利模型的基本框架：从瞬时远期利率的随机过程出发，推导出利率期限结构所必须满足的无套利条件 LIBOR市场模型：应用最广泛
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动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准
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Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
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Merton模型I 基本形式 Merton模型下的资产价格与利率期限结构
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Merton模型II λ为常数时，现实测度下瞬时利率仍然服从Merton 模型， 基本性质 可能出现负利率
长期利率趋于负无穷 只能刻画开口向下的抛物线形状
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Merton模型III 基本性质（续） 动态特征的缺陷 不存在均值回归特征，当T趋于无穷时，利率的均值和方差都将趋于无穷大
利率波动率特征不符合现实 单因子意味着利率期限结构的平移
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Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
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Vasicek模型I 基本形式：均值回归模型 现实测度：
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Vasicek模型II Vasicek模型下的资产价格与利率期限结构
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Vasicek模型III 改善 均值回归 T趋于无穷时，长期利率收敛于 参数取值不同，得到不同的即期利率期限结构形状
短期利率波动率大于长期利率波动率
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Vasicek模型IV 缺点 仍有可能出现负利率 长期利率应该是时变的，而非一个常数 利率期限结构形状不够丰富
无法刻画驼峰状的利率波动率；利率波动率与利率水平无关 单因子模型导致模型导出的债券价格相关性过高。
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Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型I
基本形式
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Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型II
H-W模型下的资产价格与利率期限结构
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Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型III
基本性质 无套利 简单 但并未改善Vasicek模型的缺陷
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Vasicek模型拓展：Hull-White 双因子模型I
基本形式 可以证明
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Vasicek模型拓展：Hull-White 双因子模型II
基本性质 引入两个具有相关性的风险源：分别影响短期利率和长期利率 波动率期限结构形状更为复杂多变 参数估计与校准困难
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Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
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CIR模型I 基本形式：均值回归模型 现实测度：
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CIR模型II CIR模型下的零息债价格与利率期限结构
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CIR模型III CIR模型下的零息债期权价格
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CIR模型IV 均值回归 T趋于无穷时，长期利率收敛于 利率非负 即期利率波动率为 仍然是单因子模型
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Longstaff-Schwartz模型I
状态变量所服从的随机过程 利率与波动率与状态变量的关系
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L-S模型II 利率与波动率的动态过程
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Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式
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仿射模型的基本形式 瞬时利率 风险中性测度下状态向量所服从的过程
瞬时利率是状态向量的仿射函数；状态向量的漂 移率和方差率也是状态向量的仿射函数
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仿射模型下的零息债价格与利率期限结构 仿射模型下零息票债券的价格 参数满足
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仿射模型讨论 优势 不足 拓展：二次模型/更多的风险源/跳跃模型
给定瞬时利率的随机过程，不需要求解偏微分方程或公式，可以直接得到债券价格的解析解 不足 仿射模型采用线性形式，而对仿射模型定价误差的研究表明，仿射模型定价误差的存在可能是由于忽略了一些非线性因素。 拓展：二次模型/更多的风险源/跳跃模型
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动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准
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HJM建模对象：瞬时远期利率 瞬时远期利率与零息债价格和即期利率 Hull-White单因子模型
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HJM模型框架I 瞬时远期利率所服从的随机过程 积分可得 即期利率所服从的随机过程
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HJM模型框架II 零息债价格所服从的随机过程
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HJM模型框架III 风险中性测度下的零息债价格
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HJM模型框架IV 风险中性测度下的瞬时远期利率与瞬时利率
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HJM模型特征 在无套利条件下，风险中性测度下瞬时远期利率的漂 移率 是波动项 的函数，波动率完全决定了瞬时远期 利率的风险中性过程，而在HJM分析框架下，风险中 性测度和现实测度下的波动项 是相同的。 无套利属性：只要给定波动率，同时运用当前0时刻 的利率期限结构信息（f(0,t)），就可以为利率产品定 价 非马尔可夫过程 仅是一个分析框架
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连续无套利模型：Ho-Lee模型 单一风险源且波动率为常数
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连续无套利模型：Hull-White模型
单一风险源且波动率为时间的函数
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离散无套利模型：树图方法 用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产 价格运动，得到未来的利率分布树图，从而为利 率产品定价
用市场信息来确定树图上每个节点的值，以保证 不存在套利机会
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Ho-Lee的离散模型I 单期利率树图 其中
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Ho-Lee的离散模型II σ外生给定。 Ho-Lee模型对应的债券
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Ho-Lee的离散模型III
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BDT模型（Black, Derman and Toy, 1990）
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BDT模型树图I
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BDT模型树图II
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BDT模型树图III 多期模型
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BDT模型的连续形式 Hull and White (1990)
BDT模型实际上是假设瞬时利率对数服从参数时变 的Vasicek模型，是一个无套利的均值回归模型。 模型只有两个待估参数： σ同时决定了瞬时利率对 数的波动率和均值回归速度；瞬时利率对数的长期 均值则由σ和 μ共同决定。这两个时变的参数都由 时刻的市场数据校准得到。
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BDT模型特点 与Hull-White单因子模型相比，BDT模型不仅可以 完全拟合当前市场上的利率期限结构，还可以完 全拟合当前利率波动率的期限结构。 此外，由于BDT模型使用利率的对数建模，还避 免了模型生成负利率的可能。
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B-K模型（Black and Karasinski , 1991）
BDT模型的一般化 时变的均值回归速度 灵活性提高，样本内拟合效果提高 但同时也意味着拟合该模型所需的市场信息也将 增加，且样本外的定价和预测结果并不必然优于 BDT模型
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B-K模型的离散形式 离散树图 节点重合 （1） （2） （3）三叉树图
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LIBOR Market Model 在HJM分析框架下，瞬时远期利率不可观测
模型相对不易理解 较难用市场价格校准模型参数 Brace, Gatarek and Musiela (1997)、 Jamshidian(1997)和Miltersen, Sandman and Sondermann(1997)等人在HJM框架下提出了一套对 市场利率的建模方法 BGM模型 LIBOR市场模型（LIBOR market models，LMM)
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测度转换 设两种资产在风险中性测度下分别服从如下过程 则 其中
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风险中性测度 以货币市场账户作为计价单位，风险价格为0，即 风险中性测度
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远期测度 以B(t,T)作为计价单位的测度称为远期测度 远期测度的重要性质
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互换测度 以t时刻的年金现值因子为计价单位的测度称为互 换测度 t时刻的（远期）互换利率
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LFM模型（BGM模型） Lognormal forward-LIBOR model, LFM
远期利率在B(t, T*)远期测度下服从对数正态分布 其中 为时间的确定性函数。
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LSM模型 Lognormal swap model, LSM 互换利率在对应的互换测度下服从对数正态分布 其中 为时间的确定性函数。
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比较LFM和LSM 都是HJM分析框架的特例，都服从对数正态分布
互换利率和远期利率不可能同时满足对数正态分 布的假设。
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动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准
>> 利率期限结构：动态模型 动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准
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动态模型的参数估计 用过去某段时间内的利率历史数据直接对利率模型进 行拟合，求出模型的参数，并通过均方根误差、残差 平方和、似然比等统计指标对模型的优劣进行检验。 参数估计的模型风险很大，往往存在定价误差 估计得到的往往是现实测度下的参数，而定价时需要 的往往是风险中性测度下的参数。 用历史时间序列估计得到的参数常常主要用来研究一 段时间内利率期限结构的变化情况，较少用于衍生品 的定价。
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极大似然估计 离散化瞬时利率动态过程，得到待估模型的离散 形式； 写出待估模型的对数似然函数；
将样本期的短期利率时间序列数据代入，极大化 似然函数，估计出离散化模型的参数。
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GMM估计I 离散化瞬时利率动态过程 写出待估模型的矩条件； 构造样本矩并估计参数
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GMM估计II 常用的权重函数为样本矩的方差－协方差矩阵 GMM的目标函数为
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动态模型的参数校准 “校准”是利用市场的价格数据，通过令模型定 价结果与市场价格的误差最小倒推出参数的最优 取值。
校准得到的参数反映了市场的实际信息，因而成 为目前国际金融市场为利率产品定价时主要使用 的参数提取方法。 校准对数据的要求比较高，常常需要衍生品价格 来进行校准，当市场中交易的资产品种缺乏时， 就难以使用这一方法。
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参数校准方法 校准函数 校准过程是一个最小化过程。 参数校准是一个非常灵活的过程：权重设定和函 数的设定都可灵活设定。
过去多采用横截面数据或是可观测变量进行校准 ；现在已经拓展至更复杂的方法。
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