§1.5 分块矩阵.

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1 § 分块矩阵

2 一、分块矩阵的运算 例 设 计算AB。

3 记

4 则 而

5 因为 由此得

6 定义 设A是m×n矩阵，在A的行之间加入 条
，则A被分成 s×t 个小矩阵，依次记为 此时，A可写为

7 把 A 视为以 为元素的形式上的 s×t 矩阵，称之为 分块矩阵，也称为对A的分块，每个小矩阵 称为A 的子块。
常见分块：(1) 根据元素的排列特性； (2) 按行（列）； (3) 两个极端。

8 例 (1)

9 (2)

10 (3) 问题：如何分块，使 （1）分块矩阵之间的形式运算有意义 （2）块之间的矩阵运算有意义

11 要求： 分块运算需如下进行 （1）加法： A+B （A与B分块方法相同） （2）数乘： kA （A的分法任意） （3）乘法： AB （A的列与B的行分法相同） （4）转置： AT （A的分法任意） 例 已知m×n矩阵A，则对n×p矩阵B，等式 AB=0 成立的充分必要条件为：B的p个列恰是齐次线性方程组 AX = 0 的p个解。

12 证明 对 按列分块 ，则 即 是齐次线性方程组 AX=0 的解。 ▌ 例 设A是n阶方阵。若存在 n 阶非零方阵 B，使 AB = O 则 A是降秩矩阵。 证明 由上例的结论知，B的每个列均是齐次线性方程组

13 AX = 0 的解。因B≠ 0，故B至少有一列的元素不全为零，该 列即是上述齐次方程组的非零解。于是，由前面的定 理可得，A不可逆。所以，秩(A) < n。 ▌ 例 已知分块矩阵 可逆，其中A、D是可逆的子块，求 。

14 证明 已知 T 可逆，故 存在。根据 T，对 分块 其中 是分别与 A、D 同型的子块。因为

15 其中 是分别与 A、D 同型的单位子块，所以

16 由此解出 于是 ▌

17 二、分块矩阵的初等变换 定义 对分块矩阵 的下述三种变换称为分块初等行（列）变换： （1）用可逆矩阵 P 左（右）乘 A 的某一行（列）
定义 对分块矩阵 的下述三种变换称为分块初等行（列）变换： （1）用可逆矩阵 P 左（右）乘 A 的某一行（列） 全部子块 （2）A的某一行（列）全部子块的左（右）侧乘 上矩阵 P 加到另一行（列）上

18 （3）互换 A 的两行（列） 这里，矩阵 P 应使矩阵运算可以进行。

19

20 定义 称下述分块矩阵 为分块单位矩阵，其中 都是单位矩阵。 定义 对分块单位矩阵做一次分块初等变换，所 得分块矩阵称为分块初等矩阵。 性质 分块初等矩阵是满秩矩阵。

21 定理 对一个分块矩阵A做一次分块初等行（列）
等矩阵。 推论1 若分块矩阵 A经过有限次分块初等变换化 为分块矩阵 B，则 A相抵于 B。 推论2 分块初等变换不改变矩阵的秩。

22 例 设分块矩阵 中B、D均为可逆矩阵，证明：A可逆，并求 。 证明

23

24 由此得 令 则 PA=I，故A可逆，并且 ▌

25 定理 （1）A与B是同型矩阵，则 秩(A + B) 秩(A) + 秩(B) ； （2）设A是s×n矩阵，B是n×t矩阵，则 秩(AB) 秩(A) + 秩(B) - n。 推论 设A是 s×n 矩阵，B是 n×t 矩阵。若AB = 0， 则 秩(A) + 秩(B)