第四章 振动和波.

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1 第四章 振动和波

2 第一部分 振 动 . . 一、简谐振动基础 1. 弹簧振子理想模型 理想振子：弹簧无质量、点质量、无摩擦、弹性范围内 k F m o x v
第一部分 振 动 一、简谐振动基础 1. 弹簧振子理想模型 理想振子：弹簧无质量、点质量、无摩擦、弹性范围内 m X o k . x F k . v t X T F x m X o k

3 2. 振动的规律 1）动力学规律： 质点在某位置受力为零 —平衡位置 —取为坐标原点 离开平衡位置，质点受的力总是与质点相对平衡位置的位移成正比，并指向平衡点。 或线性回复力 ——弹性力 根据牛顿定律： 即： 令： 得： ——理想振子的动力学方程 任意物理量 广义地 Q作简谐振动

4 即求方程： 的解 显然方程的解： A、 为待定系数，由初始条件来确定： 振幅 初位相 t A -A 振动曲线 —— o
2）运动学规律 （1）弹簧振子的位移 即求方程： 的解 显然方程的解： A、 为待定系数，由初始条件来确定： 如当 t=0，x=xo，v=vo时 振幅 初位相 若已知A、0、 就唯一确定了一个简谐振动 x t A -A 振动曲线 —— o

5 (2) 振子的振动速度及加速度 速 度： 加速度： 可见： 振子的速度v、加速度a 均随t按余弦函数规律变化 v、a —— 作简谐振动 3. 振动特征参数： (1) 振幅 正值 位移振幅A 速度振幅Aw0 加速度振幅Aw02 (2) 角频率w0、自然频率f0、周期T (3) 位相w0t +j、初位相j

6 固 有 周 期 振动周期T —— 一次完整振动所需的 时间 由余弦函数的周期得： 固有圆频率 固有频率： 由系统本身性质决定 振幅 A ~~ 决定振动的范围； 0、T 、f0 ~~ 决定振动的快慢； ~~ 决定质点的运动状态。

7 二、简谐振动描述 —— 旋转矢量法 简谐振动参量： 振动方程+初始条件； 旋转矢量法 1. 旋转矢量与位移 x . . . . . . . . . . 设 t=0 时： . . . X . . . . . . . 旋转矢量的端点在X轴上的投影： 即：投影点的运动就是一特定的简谐振动。 三特征量的几何意义： 振幅A ——圆周半径 固有频率0——匀角速度 位相 ——旋转矢量与X轴的夹角

8 . . 2. 旋转矢量与速度 v、加速度a 匀速圆周运动的速度： X v 在X轴上的投影： 旋转矢量端点的投影坐标： 投影点的速度：
投影点的加速度： . X 旋转矢量端点的加速度： an在X轴上的投影：

9 结论 r 旋转矢量作匀速转动时，其端点的位置、速度、 加速度在X轴上的投影，等于一特定的简谐振动的 位移、速度、加速度。 w
w A r j X 旋转矢量图 o 一般地，给定A、0、 三个特征量 就唯一确定一个简谐振动。 注： 1）仅在旋转矢量法中，A、0、才有 几何意义。 2）此方法只是直观描述简谐振动的工具。 引申（问题思考）： 旋转矢量法为什么可以表示简谐振动？ 纵轴y代表什么?

10 3. 旋转矢量与位相 . A r X X 利用旋转矢量的位置可推出振动系统各时刻的状态： 振子在最大位移 v =0 演 示

11 r r x2 2）位相差 设两频率相等的简谐振动： A2 A1 j D 它们的位相差： ——初位相差 由比较两振动的步调：
 = 2k 或 0 2=1+2k X t A1 -A1 A2 -A2 x1 x2 T x 两振子同时到达同方向各 自最大位移处，同时过平衡 点向同方向运动两振动步调 一致。 ——同相

12 两振动 ——反相 若 > 0 例如： 一般说，x2的振子比 x1的落后 的位相
(2)  = (2k+1) 2=1+ x2 X o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 两振动 ——反相 (3)  k 则两振动不同相， 若 > 0 则：2>1 x2比x1较早达到正向最大, 称x2比x1超前  的位相 (或x1比x2落后)。 注： 位相的周期是2，一般的值限制在  以内, 例如： 一般说，x2的振子比 x1的落后 的位相

13 (4)  0不同相的两振动，达同一运动状态存在一时间差
两振动运动状态相同： 即： 对同一振动，从 1=ot1+ 到 2=ot2+ ，所需时间： 说明：比较两个振动的步调时，必须将所比的简谐振动 化成标准表达式： 初位相

14 简谐振动的速度 v 和加速度 a 相对于位移 x 的位相关系 结论：一次微分相位超前  /2, 两次微分相位变成反相。
问 简谐振动的速度 v 和加速度 a 相对于位移 x 的位相关系 不同物理量也可比较振动的步调 v 比 x 超前 /2 a 比 x 超前 —反相 x>0 v<0 a<0 Ax Av Aa t x<0 a>0 v>0 结论：一次微分相位超前  /2, 两次微分相位变成反相。

15 三、机械简谐振动系统的能量 1.简谐振动系统的动能和势能 m X o =0 则得：Et =常量 任意时刻 t： 动能 随时间 变化 势能
(1)水平弹簧振子的能量 =0 则得：Et =常量 任意时刻 t： 动能 随时间 变化 势能 =常量 总机械能

16 (2) 单摆系统的能量 l m h 任意时刻 t： 动能： 势能： =常量 总能量

17 即：简谐振动的过程正是动能与势能相互转换的过程
2.简谐振动系统能量的特点 EK、Ep各自随时间作周期性变化 E E=(1/2)kA2 Ek、Ep 总是 此大彼小 Ek Ep T x o t Et=常量 即：简谐振动的过程正是动能与势能相互转换的过程 动能与势能的时间平均值:

18 结论： E E E k E Et A 2 = o A kA 1 E ) ( = 4）Et正比于振幅的平方A2
能量与位移关系 E 2 kA 1 E ) ( = p E 4）Et正比于振幅的平方A2 k E X k E Et A 2 = A - o A 结论： * 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半; ** 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比; *** 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反 映了振动系统总能量的大小及振动的强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动!!!

19 复习 简谐振动方程和解 简谐振动表述方法 简谐振动的能量 t=0，x=xo，v=vo时

20 例 一物体沿x轴作简谐振动，A=12cm，T=2s。当t=0时位移为+6cm，且向x轴正向运动。求(1)物体振动位移表达式；(2)t=0.5s时物体的位移、速度和加速度；(3)x=-6cm处且向负方向运动时物体的速度和加速度。以及从该处运动到平衡位置处所需的最短时间。 解: (1) t=0时，x =0.5A，振子向X轴正向运动，由旋转矢量法易得  =+p/3。 . X 或 (2) t=0.5s (3) x=-6cm

21 四、 振动的一般情形—阻尼振动 F弹 f阻 X x m o 1. 谐振子的阻尼振动 1）动力学方程 根据牛顿定律： 则： ——动力学方程
即： 其中： ——阻尼系数 阻尼项 注意：b量纲 (1/s) ——品质因数

22 2）运动学特征 （1）阻尼较小时， 0，称为弱阻尼 解： 特点 t T *振幅随 t 按指数衰减 经一周期两振幅之比：
X 频率 T *振幅随 t 按指数衰减 经一周期两振幅之比： 阻尼减缩因子 **是准周期运动 位相改变2 所经历的时间~~周期 出现两次极大的时间间隔： 周期变长，振动变慢 * ** 机械能E 随振幅A的减小而衰减

23 ) ( t x t （2）阻尼较大时 >o，称为过阻尼 方程的解： 其中C1 、C2是积分常数，由初始条件来决定。 振动特点
*非周期运动 *无振动发生 运动一开始，便逐渐回到 平衡位置。 t 临界阻尼 （3） =0，称为临界阻尼 方程的解： C1、C2由初始条件决定 振动特点同上， 但很快回到平衡位置。 是从有周期性因子 到无周期性的临界点。

24

25 x m o F弹 f阻 F外 则有： 系统的稳定振动状态 反映系统的暂态行为
2. 谐振子的受迫振动 X x m o F弹 f阻 1)谐振子的受迫振动方程 F外 设强迫力 则有： ——动力学方程 方程的通解=齐次微分方程的解+非齐次的一个特解 系统的稳定振动状态 反映系统的暂态行为 经过足够长的时间，稳态解：

26 即：稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 振幅: 稳态频率: w =
稳态解 即：稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 振幅: 稳态频率: 外 w = 将稳态解代入方程可得： 位相: 2) 稳定受迫振动与简谐振动的区别： * 受力不同： 弹簧振子— F弹， 受迫振动—F外 **三特征量的本质不同： —外力决定 —系统固有 弹簧振子 由初始 条件决定 受迫振动 解方程 求得 * ** 能量情况不同： 简谐振动系统能量守恒 受迫振动系统阻力消耗的能量=外力作功

27 共振频率 Ar  f0/(2 0 ) ~~称尖锐共振
3. 共振 —— 位移共振 在一定条件下, 振幅出现 极大值, 振动剧烈的现象。 令：  r= —共振振幅 共振频率 w外 Ap b 减小 wr  r<0 ,与  有关  大，  r 小 Amax—小  小，  r大 Amax—大 若 << 0, 则  r  o Ar  f0/(2 0 ) ~~称尖锐共振 若 0 Amax  实际上不可能

28 w外 Ap b 减小 wr 结论： 隔振概念

29 当 弱阻尼时 共振发生在固有频率处， 称为尖锐共振。
2 tg 外 w w外  - = 当 弱阻尼时 共振发生在固有频率处， 称为尖锐共振。 共振时，受迫振动相位落后于强迫力相位p/2，即振动速度与强迫力同位相，那么外力始终对系统作正功，对速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧增大的原因。 但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共振吸收。

30 结论： 五、简谐振动的合成与分解 r r r 1. 同振动方向、同频率的两个简谐振动的合成 设两简谐振动为： 用旋转矢量法： A w y2
1. 同振动方向、同频率的两个简谐振动的合成 设两简谐振动为： 用旋转矢量法： A r o w y2 y1 j r A2 o w j2 在X轴的投影： 由几何关系得： x = x1+ x2 x1、 x2的合振动就是 x ) cos( j w + = t A o 即： X A1 r o w j1 x1 x2 x 合振动的振幅为A： 合振动的初位相： 结论： (1)合振动仍是同频率的简谐振动。 (2)合振幅不仅与分振幅有关还与有关。

31 r r r r ？ 2. 同振动方向、不同频率的两个简谐振动的合成 A 设两振动为：x1、x2 A2 A1 与 以不同的角速度旋转 A2
与 以不同的角速度旋转 A2 r w2 A1 r 它们之间的夹角为： t ) ( 1 2 w - w1 o X  则合运动不是简谐振动。 讨论一特例： ) cos( 1 j w + = t A x ( cos 2 则两振动为： 合振动： ？ 合振动的振幅 由旋转矢量图可得：

32 (1)拍现象只在两分振动的频率相差不太大时才 显出来。 即： 现象才明显
合振动方程 振幅A按余弦函数变化，变化范围： 这种振幅出现加强 和减弱现象称为~~拍。 X 可见 改变 时， A就重复出现一次变化 t 2 1 w - t 拍的周期 和拍的频率： 注： (1)拍现象只在两分振动的频率相差不太大时才 显出来。 即： 现象才明显 (2)与合振动位移变化的频率是完全不同的

33 3. 振动方向相互垂直、频率相等的两个简谐振动的合成
设两振动为： 消去t 讨论几种特殊情况： 则有：

34 小结： 为任意值时，合振动的轨迹为一般椭圆 j D  = 0 /2 3/4 /4 5/4 3/2 7/4  = 

35 w N y = x w N x y

36 x1 x2 例：弹簧连接体 k m1 m2 哈密顿量 x 正则方程 迭代公式 牛顿力学

37 设质心位置坐标为yc，两质量块相对位置坐标为yr
x1 x2 哈密顿量 k m1 m2 x 设质心位置坐标为yc，两质量块相对位置坐标为yr 正则方程 END

38 第二部分 波 动 一、 前 言 1. 机械波产生的条件 1）波 源：产生振动的机构 2）弹性媒质：无穷多质点通过相互之间的弹性力作用
第二部分 波 动 一、 前 言 1. 机械波产生的条件 1）波 源：产生振动的机构 2）弹性媒质：无穷多质点通过相互之间的弹性力作用 组合在一起的连续介质 分子间的作用势能 x x0 u0 u o 结论：分子力是准弹性力。

39 2. 波的分类 电磁波： 引力波： 按性质分类 机械波： ? 横波： 按振动方向与 传播方向分类 纵波： 混合波: ——传播的是运动状态
机械振动在弹性媒质中的传播过程 电磁场周期性变化在空间的传播 ? 时空形变，以C的速度在空间传播 横波： 振动方向与传播方向垂直 振动方向与传播方向相同 如 电磁波 如 声波 如水波、地震波 按振动方向与 传播方向分类 纵波： 混合波: 各种类型的波有其特殊性， 但也有普遍的共性。 ——传播的是运动状态 注： 波动与振动是两个概念 振动是波动的基础，波动是振动的传播 例：水波、水中树叶、冲浪

40 二、 波动方程 1. 弹性介质的应力与应变 F l0 l 胡克定律（线性应力应变区间） 应力作功 正应力、正应变 正应力、面应力 正应变
二、 波动方程 正应力、正应变 1. 弹性介质的应力与应变 F l0 l 正应力、面应力 正应变 胡克定律（线性应力应变区间） 杨氏模量 应力作功

41 2. 一维简谐波的动力学方程 u A 以弹性细棒传播的纵波为例： x x+x 取棒中一小段原长为x F F x
1 F 2 F x 设 y 表示各处质点相对平衡位子的位移 在左端 x处， 应变为： 设棒的截面积为A 在右端 x+x 处， 应变为： 根据胡克定理： 左端受到左边材料的拉力为： 右端受到右边材料的拉力为： 长x的棒受合外力为：

42 u A x+x F x 一维简谐波的 化简得： 动力学方程 其中： 波速: 推广到三维空间： 与媒质的惯性 和弹性有关 S为质点的空间位移
1 F 2 u 一维简谐波的 动力学方程 化简得： 其中： 波速: 推广到三维空间： 与媒质的惯性 和弹性有关 S为质点的空间位移 波动方程的解为 A、j由初始条件和边界条件决定

43  3. 波的物理量描述 (1) 波长： x (2) 周期 T： (3) 频率： 空间周期
在波的传播方向上，两相邻的位相差为 2 的质点间的距离 。 (2) 周期 T： 波向前传播一个波长所用的时间  x1点的振动位相比x2超前2 则： T波 T振 时间周期 (3) 频率： 单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波长的数目.

44 注 (4) 波速 u： 波速的大小决定于媒质的性质 ——媒质的密度和弹性模量 (5) 波数 k： 空间圆频率 (6) 波的传播方向 u p
振动状态(位相)在媒质中的传播速度(相速) 波速的大小决定于媒质的性质 ——媒质的密度和弹性模量 注 (5) 波数 k： 在波的传播方向上 2 长度内包含的波长的个数 空间圆频率 (6) 波的传播方向 o p u x 右行波 p o u x 左行波

45 (7) 波阵面（波面）：振动位相相同的点组成的面
平面波 波前 波前 波线 波面 波面 波线 点波源产生球面波 (8) 波前：传播在最前的波面 (9) 波线： 发自波源，与波面垂直指向波的传播方向的射线

46 媒质中各质点都作简谐振动，并且向一个方向传播
三、 一维平面简谐波 媒质中各质点都作简谐振动，并且向一个方向传播 不同时刻，任意质点的振动情况 1.一维简谐波的波函数 同一时刻，每一质点的振动情况 以横波为例： y 设一简谐波波源在坐标原点O处 以速度u向x轴方向传播， t=0时，波源的振动方程为： p x O x 任选一点 P (OP=x)，P的振动情况？ 注：波传播的是质点的振动状态 ——传播波源的位相 即： 波速=位相传播的速度=相速 P点的振动是从O点振动传过来， O点t时刻的位相，经 传到P点 P点的位相总是落 后于O点的位相

47 一维简谐波的波函数 P点的位相总是落后于O点的位相，相应落后时间为Dt=x/u y p x wt+j w (t-Dt)+j
O点t 时刻的振动： 位相为： wt+j P点t 时刻的位相=O点t–t时刻的位相 即P点在 t 时刻的位相： w (t-Dt)+j 任意点P的振动为： 一维简谐波的波函数 t 确定，x 取不同的值，就给出传播方向上各质点在t时刻的振动状态。 x 确定， t 取不同的值，就给出确定质点（例如P点）在任意时刻的振动状态。

48 波函数讨论: (1)上式给出波源在原点并向x轴正方向传播的情况 o p x y 若波向x轴负方向传播，y=？ o p x y l o P l y x 若波源不在原点， 例如在 处 o 向x正向传播 若向x负向传播？

49 * ** * ** (2) 波函数的物理意义 当x =xc=常数 x=xc A t -A —振动方程 当 t =tc=常数 t =tc x
y A 表示 xc处质点随时间t 的变化规律 t -A —振动方程 ** 当 t =tc=常数 y t =tc x 给出tc时刻传播方向上 所有质点的振动状态 —媒质形成的波动状态 波形曲线 ** * x  常数，t  常数 描写不同时刻，不同位置质点的振动状态，每一时刻都有一波形曲线。 注：此波向x轴正向传播

50 . . * ** x = x1，t = t1，都是常数 = yc=常数 y t1 t2= t1+t u y1 x1 x2 x
表示 t1时刻，x1处质点的振动位移。 . . y1 当 t = t1+t = t2时， x1 x2 x x2= x1+x= x1+ut处质点的振动位移为： x = u t =y1 即：t2时刻，x2质点振动的位移恰是 t1时刻x1质点的位移 结论 经t时间，整个波形向前移动了一段路程x=ut 波形传播的速度 = u = 波速=相速

51 可将纵波的密积区看成波峰，疏区看成波谷。 讨论?
(4)波函数的几种等价表式： 向 x轴正向传播的波 以上讨论对纵波也适用 可将纵波的密积区看成波峰，疏区看成波谷。 讨论? 单位时间内等位面传播的距离

52 3 . 5 - = m y s t Q 3 2 5 . p j ± = +  \ ) 2 cos( 6 . j p + = t y m )
x y -0.3 -0.6 20 44 t = 0.5s 例2.6.1 一平面简谐波在t =0.5s时的波形如图所示，该波以12m/s的速度沿x轴负向传播，求波函数 O 解：先求原点处的振动方程 A = 0.6m ) 2 cos( 6 . j p + = t y 原点处振动方程： 3 . 5 - = m y s t Q 3 2 5 . p j = +  \ 由运动趋势判断 —> 下一时刻向负的最大位移运动 3 2 5 . p j = +  12 5 p j = p ) 12 5 2 cos( 6 . + = t y 波函数为： m ) 12 5 24 2 cos( 6 . p + = x t y

53 四、 波的能量 x x+x u y y+△y S 1. 波的能量 (以纵波为例) 设平面简谐波 在密度为ρ的弹性细棒中传播。
1. 波的能量 (以纵波为例) 设平面简谐波 在密度为ρ的弹性细棒中传播。 设平面简谐波 在密度为ρ的弹性细棒中传播。 考察平衡位置在x—x+△x处，体积为△V的质元的能量 其动能： E—杨氏模量 其势能： 波的总能量 传播因子

54 (1) 每一质元m的总能量是时间和位置的函数！ ——能量也以速度u随波一起传播； 结论
x = x0 Wp 固定x Wk  2A2/2 Wk、Wp均随 t 周期性变化 W k = W p o y T t 固定t u t = t0 Wk、W p随x周期分布 o x  2A2/2 Wp Wk y =0W k W p最大 y  y 最大 Wk W p为 0

55 . . (2) 质元m的动能和势能同相变化，而且始终具有相同数值，质元在平衡位置时，具有最大能量； 例如：如图所示某t 时刻
a、b两点处的质元 x y 某t 时刻 a . . c d b 其速度： 形变：  Wk= Wp= 0 c、d两点处的质元处在平衡位置 最大值  Wk= Wp=WMax

56 波是能量传播的一种形式。 进一步理解波的能量
体元V中能量密度从0到rw2A2表明外部能量的输入，当V中能量密度从rw2A2减小到0表明向外输出能量。整个过程（周期），介质不积累能量，而是传播能量。 简谐波 简谐振子 能量不守恒！ 能量守恒 极大 能量极小 E=(1/2)kA2 E t Ek Ep T x o

57 20 <  < 20000 Hz. I下 < I < I上 (13个量级)
2. 能量密度： 媒质单位体积内的能量 3. 能流密度 (单位时间通过垂直传播方向的单位截面上的能量) 4. 波的强度 平均能流密度 (一个周期内能流密度的平均值): 波强 例2.6.2：声波强度（声强）（W/m2） 正常人听声范围 20 <  < Hz I下 < I < I上 (13个量级)

58 · 声强级 单位:分贝(dB) I0=10-12 W/m2 语言：30-70dB 振幅与波阵面（无吸收的理想媒质） 平面波 球面波
1000 o 20 20000 I (W / m2) I上=10 I下=10-12 (Hz) 以1000 Hz 时的I下作为基准声强I0 I0=10-12 W/m2 单位:分贝(dB) 语言：30-70dB 振幅与波阵面（无吸收的理想媒质） 一周期内穿过各波面（S1, S2...） 的总能量相等 平面波 球面波

59 五、 惠更斯原理和波的叠加原理 1. 引 言 波阵面（等位相面）、 波 前、 波 线
1. 引 言 波阵面（等位相面）、 波 前、 波 线 平面波 波前 波前 波线 波面 波线 波面 点波源产生球面波 2. 惠更斯原理：媒质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。

60 球面波 平面波 . . . . . . . . 波源 . . . . . 惠更斯原理提出子波概念，并借此解决波形成过程，几何上解决光的直线传播、反射和折射现象。 注： 惠更斯原理解决了波的传播方向、而各子波的强度分布未能定量给出。还有后退波问题？ 惠更斯原理对任何波动过程都是适用

61 六、 波的叠加原理与干涉  波的叠加原理（独立性原理） 复波 若 、 分别是它的解，则 也是它的解, 即上述波动方程遵从叠加原理。
波动方程: 是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。 若 、 分别是它的解，则 也是它的解, 即上述波动方程遵从叠加原理。 能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。 复波 爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。

62  波的叠加原理含义 1）波传播的独立性： 当几列波同时在同一媒质中传播时，每一列波不受同时存在的其它波的影响，各自保持原有特性（振幅、频率和波长）继续沿原来的传播方向前进。 2）波的叠加原理： 在几列波相遇的区域中，质元的振动是各个波单独在该点产生的振动的合成。 即：任一时刻质点的位移是各个波在该点引起的分位移的矢量和。 实质 波的叠加 空间不同位置处各质元振动的叠加 波的干涉 讨论叠加的一特例

63 4. 波的干涉 1）什么是波的干涉？ 当几列波同时在某一区域传播时，使空间某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱，重迭区呈现有规则的稳定分布的现象。 2）产生的条件： 相干波源发出的波在空间相遇时产生干涉。 (1) 频率相同； 相干波源必满足 (2) 振动方向相同； (3) 相位差相同或恒定； 在相遇区，哪些点的振动是加强？哪些点是减弱？

64 两波源的相同方向振动的振幅相近或相等时干涉现象明显。
 相干条件 补充说明： 满足相干条件的波源 称为相干波源。 两波源具有相同的频率 具有恒定的相位差 有相同振动方向 （或称为具有 相同的偏振面) 两波源的相同方向振动的振幅相近或相等时干涉现象明显。

65 . r 设两相干波源S1、S2，其振动方程为： P r1 u S2 S1 波 源 考察P点的振动情况 r2 有： u P点的合振动: o y
A1 r w A2 波程差r 可见： 对于空间不同的点，合振动的振幅A不同， 并且A不随时间变化 ——合振幅形成稳定的分布. 这个稳定分布就称之为两列波的干涉现象。

66 结论 干涉加强 或干涉相长 干涉减弱 或干涉相消
1） 振幅: 干涉加强 或干涉相长 波强: 2） 振幅: 干涉减弱 或干涉相消 波强: 3）若： 则： 当： 干涉加强 当： 干涉减弱

67 LIGO: laser interferometer gravitational-wave observatory

68 AIGO: Australian International Gravitational-wave Observatory

69 LISA: Laser Interferometric Space Antenna