ch8 - 轉動 § 8-1 角速度與角加速度 § 8-2 等角加速度轉動 § 8-3 力矩與轉動方程式 § 8-4 角動量與角動量守恆定律

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1 ch8 - 轉動 § 8-1 角速度與角加速度 § 8-2 等角加速度轉動 § 8-3 力矩與轉動方程式 § 8-4 角動量與角動量守恆定律
§ 8-5 轉動動能

2 § 8-1 角速度與角加速度 前言： 日常生活裡，常可見到許多物體在運動的過程中，除了移動外，還伴隨著轉動。我們分析物體的運動可分為兩方面，一方面為其質心的移動，另一方面為各部位繞著其質心轉動。 在這章只討剛體繞固定軸轉動的情況。當剛體繞固定軸轉動時，剛體上的各質點都以相同的角速度繞此軸作圓周運動。 當一物體內各點的相對位置恆保持不變時，稱之為剛體。 以角位移Δθ，角速度ω及角加速度α來描述剛體的轉動。

3 角位移Δθ：如右圖所示，剛體在時間Δt 內的角位置變化量Δθ。稱為剛體在時間Δt 內的角位移。
角位置θ：如右圖，繞固定軸轉動的剛體，剛體內的任意點 p 繞軸作圓周運動。轉軸到 p 點的連線與 x-軸所夾的角度θ稱為角位置。角位置以弧度（rad）為單位。 θ p x 角位移Δθ：如右圖所示，剛體在時間Δt 內的角位置變化量Δθ。稱為剛體在時間Δt 內的角位移。 t 角速度：角位移對時間的變化率

4 角速度方向 轉動方向 (4)方向：角速度為向量，其方向以右手定則表示，如右圖所示。轉動方向以右手四個彎曲的手指頭表示，則拇指的方向即代表角速度的方向。 如討論剛體繞固定軸轉動的問題，則角速度為一維向量，以 ＋、－ 號來表示其方向。習慣上以逆時針方向為 "＋" 號，順時針方向為 "－" 號。

5 角加速度：角速度對時間的變化率。 剛體內質點的運動： p r
如上圖所示，繞固定軸轉動的剛體，則剛體內距離轉軸為 r 處的一質點 p 在半徑為 r 的圓周上作運動。一方面可以用線量（速率 v、切線加速度 at、法線加速度 an）來描述其運動，另一方面也可以用角量（角位移Δθ、角速率 ω、角加速度 α）來描述，兩套物理量之間有下列關係：

6 v r p

7 純滾動：如右圖所示，一圓盤在地面上作純滾動（無滑動），則圓周上各點將與地面上的軌跡成一對一的疊合，即圓周上標示的弧長 AB 等於地面上軌跡 AB 的長度。因此這種純滾動的條件為
O r A v0 B 即圓盤中心點的速率等於圓盤邊緣上一點對圓心的切線速率。

8 圓盤在地面做純滾動時，圓盤上各點相對於圓心的切線速率
v0 = rω。同時所有的質點皆隨著圓心以速度 v0 向右運動，因 此圓周上一點對地面的速度，等於該點對圓心的速度與圓心對地面速度的向量和，如上圖所示。A、B 和 C 點相對於地面的速率分別為

9 例題：剛體中，一點 P 距固定轉軸為 0.5 m，P 點作等角加速度運動，其角位置θ(弧度) 與時間 t (秒)之關係θ= 2t2  3t，求 (1) 角加速度 (2) 第 2 秒末之角速度、切線加速度、向心加速度及加速度大小各為何？

10 例題：已知地球半徑為 6.4 ×103 km，則在北緯 60o 的切向速度大小為何？
答案：2.3×102 m∕s 60o

11 例題：腳踏車前後兩齒輪分別為 60 齒及 20 齒，以鏈條連接，若後車輪輪緣距軸心 0
例題：腳踏車前後兩齒輪分別為 60 齒及 20 齒，以鏈條連接，若後車輪輪緣距軸心 0.5 m，且和地面間沒有滑動現象，腳踩一圈，車子前進______m。 答案：3π

12 例題：如右圖所示，質量為 m 的小球，以長 ℓ 的細線繫於 O點，拉至水平位置後釋放，當擺至細線與鉛直方向成θ角時，試求：(1) 小球的角加速度 (2) 小球的角速度
(3) 小球的加速度。 θ O ℓ

13 例題：右圖表示一飛輪傳動系統，各輪的轉軸均固定且相互平行。甲、乙兩輪同軸且無相對轉動。已知甲、乙、丙、丁四輪的半徑比為 5：2：3：1，若傳動帶在各輪轉動中不打滑，則丙及丁輪角速度之比值為________。 [80.日大] 乙 甲 丙 丁 答案：2：15

14 § 8-2 等角加速度轉動 一剛體繞固定軸作等角加速度的轉動，即角加速度α為定值。當 t = 0 時角速度為ω0，經時間 t 後的角速度為ω，角位移為Δθ，則 α t αt ω0 αt ω t

15 例題：一圓輪在作等角加速度的轉動。經過 25 轉之後，角速度由 100轉∕秒增至 150轉∕秒；其角加速度為 _______ 轉∕秒 2。 [86.日大]
答案：250

16 例題：一物作半徑為 20m 之圓周運動，靜止起動。其角加速度 α= 0.5 rad∕s2，求 2 秒末之加速度為何？

17 例題：一汽車輪胎的半徑為 30cm，車子由靜止作等加速度直線運動，10 秒內加速至 108 km∕hr。則車輪的角加速度為若干？此過程車輪共轉了幾圈？
答案：10 dar∕s2 ； 250∕π

18 例題：甲、乙兩人沿圓軌道同向賽跑，甲沿著半徑為 r1 的外跑道跑，乙則沿著半徑為 r2 的內跑道跑。設甲以 v 的速率經過乙時，乙開始起跑，此後甲始終以 v 的速率跑，而乙則以等角加速度追甲，則在乙追及甲時，乙的速率為何？ [89.日大]

19 例題：一剛體繞一定點分三階段運轉，第一階段由靜止開始以＋α角加速度旋轉達ω之角速度後，接著第二階段以等角速度ω運轉，第三階段施以－α角加速度而後停止，若此三階段之角位移均相等，則全程歷時若干？

20 例題：一質點由靜止繞一定軸做等角加速度轉動，當其加速度與法線加速度夾 60o 角時，質點的角位移為何？

21 § 8-3 力矩與轉動方程式 力矩： 力矩的意義：使物體轉動狀態產生變化的因素，即當物體受到不為零的外力矩作用，原為靜止的將開始轉動，原來已在轉動的，轉速將產生改變。 F θ r 作用線 力矩的定義：考慮開門的情況，如右圖，欲讓門產生轉動，必須施一外力 F 。施力點離轉軸愈遠愈容易使門轉動。而外力平形於門面的分力對門的轉動並無效果，只有垂直於門面的分力能讓門轉動。綜合以上因素，定義力矩，以符號 τ表示。

22 力矩的單位：S.I. 制中的單位為 牛頓‧公尺（N‧m）
力矩的方向與符號：繞固定軸轉動的物體，力矩可使物體產生逆時鐘方向，或順時鐘方向的轉動。因此力矩為一維向量。力矩符號規則一般選取如下： 轉動方程式：考慮一繞固定軸轉動的剛體（如右圖）。距離轉軸為 r 處的一質量為 m 的質點，受到一力量 F 的作用，根據切線方向的牛頓第二運動定律 F Ft m r 轉軸

23 將剛體看成是由許多質點所構成，則每一質點都滿足類似的方程式
F m 左邊的合力矩只需考慮外力所產生的力矩，由內力所產生的力矩將會兩兩互相抵消，如右上圖所示。 括號中的量稱為剛體的轉動慣量，以符號 I 表示 則上面導出的轉動方程式可寫成

24 此方程式為繞固定軸轉動的剛體所必須遵守的基本力學方程式，類似於移動力學中的牛頓第二運動定律。合外力對應到合外力矩，質量對應到轉動慣量，加速度對應到角加速度。
轉動慣量在轉動力學中的角色就像質量在移動力學中所扮演的角色，即轉動慣量越大的剛體角速度越不容易產生變化。剛體的轉動慣量與其轉軸的位置與質量的分布有關。剛體的質量如呈連續的分布，則轉動慣量必須以積分計算。 圓盤 圓球 圓柱 薄圓環

25 例題：距離為 R 的兩質點，繞系統質心轉動時，如附圖所示，則該系統的轉動慣量為________。
2 m m R

26 例題：一長度為 ℓ，質量可以略去的細桿，可繞通過其中心點 O 且垂直於紙面的軸自由轉動，兩端各置有質量為 m 及 3m 的質點，細桿與鉛垂方向之夾角為θ，如右圖所示。當θ = 30o 時，細桿的角加速度為何？ θ 鉛直線 m 3m O

27 例題：設一滑輪的轉動慣量為 103 kg．m2，半徑 10cm，若有一力沿滑輪邊緣切線方向施力，力與時間的函數關係為 F(t) = t∕2，由靜止起經 3 秒後，此滑輪的角速度為若干?
α 150 3

28 例題：如右圖，一均勻圓盤，半徑為 R，質量為 M，裝於軸上，軸以無摩擦的軸承固定之，細繩繞於盤的邊緣，並繫上一質量為 m 之物體
（圓盤對中心軸的轉動慣量為 MR2∕2），求： (1) 邊緣上一點的切線加速度為若干？ (2) 繩子張力為何？ (3) 盤的角加速度為何？（繩與盤緣間無滑動） α T a m M

29 例題：今拉住線軸上的細線，使線軸由靜止開始滾下，如下圖所示。若線軸的質量為 m ，半徑為 R，且線軸的轉動慣量為 I = 0
例題：今拉住線軸上的細線，使線軸由靜止開始滾下，如下圖所示。若線軸的質量為 m ，半徑為 R，且線軸的轉動慣量為 I = 0.5 mR2，忽略所有摩擦力與細線質量，求細線張力與線軸的加速度。

30 § 8-4 角動量與角動量守恆定律 θ O m (2) 單位：公斤‧公尺2∕秒（kg‧m2∕s）

31 剛體的角動量： 剛體繞固定軸以ω的角速度轉動時，剛體內的每一質點皆以相同的角速度ω作圓運動，質點 mi 的角動量為 mi ri
剛體的總角動量：

32 例題：線動量為 p 之物體，在座標（－a，＋b）處，向＋x方向運動時，物體相對於坐標原點之角動量為________。
答案：pb

33 例題：地球質量為 M，一質量為 m 的人造衛星繞地球作半徑為 r 的圓周運動，G 為萬有引力常數為，則人造衛星的角動量為若干？

34 例題：質量 2kg 的小球以 25m/s 初速，53o 仰角斜向拋出，小球達最高點時對拋射點的角動量為何？（g = 10 m/s2）
θ H v0x v0

35 例題：如右圖所示，A、B 兩飛輪半徑比為 1：2，以皮帶相連接，已知轉動時兩輪的角動量相等（皮帶無滑動），則 A、B 飛輪的轉動慣量比為何？
答案：1：2

36 角動量守恆定律： 剛體的轉動方程式 的另一形式為 即剛體所受到的總外力矩等於其角動量隨時間的變化率。剛體的轉動慣量不隨時間變化，因此
剛體的轉動方程式 的另一形式為 即剛體所受到的總外力矩等於其角動量隨時間的變化率。剛體的轉動慣量不隨時間變化，因此 即方程式的兩種形式是等價的，但如物體的轉動慣量會隨時間變化時，則第二種形式才是正確的表示。因此當物體所受到的合力矩為零，則ΔL = 0，即角動量 L 為一定值。此稱為角動量守恆定律： 若物體所受到的合力矩為零，則其角動量守恆。

37 角動量守恆的實例： 行星繞太陽作橢圓形軌道運行，行星受到太陽的吸引力為連線上的力量，如以太陽為參考點，此力的力臂為零，產生的力矩亦為零，因此行星的角動量守恆。即 s r 花式溜冰選手，結尾時讓身體快速轉動為角動量守恆的應用。手腳伸展時轉動慣量較大，身體轉的慢，當手腳靠攏時，轉動慣量變小，身體轉速變大。

38 跳水選手離開跳板後，受到的外力矩為零。利用手腳縮向身體質心，使得轉動慣量變小，轉速增快。此亦為角動量守恆的應用。
直升機升空後，因機身受到的外力矩為零。當主螺旋槳要加速轉動時，為維持角動量守恆，則機身將會產生反方向轉動，造成機身不穩。因此常在機尾設計一副旋轉尾翼，以平衡主螺旋槳轉動時所產生的機身轉動。

39 例題：如右圖所示，質點 m 受繩子拉力 F，在光滑的水平桌面上作等速率圓周運動，如用力拉繩使圓周半徑縮小為原來的 1∕2，則
(A) 質點之動量大小變為原來的 2 倍 (B) 質點之角動量大小變為原來的 4 倍 (C) 質點之角速度大小變為原來的 4 倍 (D) 拉力大小變為原來的 8 倍 (E) 拉力在此過程中不作功。 F m 答案：ACD

40 例題：一支輕桿繞其一端轉動時，其角動量 L 與時間 t 的關係為 L = 3t2 + 2t + 1（單位：SI）。假定輕桿的轉動慣量為 2 kg-m2 ，則輕桿於第 1 秒末時所受的力矩為________。 答案：8 N-m

41 例題：一半徑 2 公尺，轉動慣量為 120 公斤．公尺2 的水平圓桌，可繞其中心軸自由轉動。一人重 60 公斤，在桌子邊緣由靜止開始沿桌緣以 1 公尺∕秒的速率行走，求桌面的角速度。
答案：1 rad∕s

42 例題：一轉動慣量為 6 kg．m2 的圓盤，可繞通過圓心且垂直於盤面的轉軸自由轉動，如右圖所示。當圓盤正以角速度 6 rad∕s 轉動時，一個質量為 3kg 的小物體自 4m 高處自由落下，落在距圓心 2m 處，並黏在盤上，則圓盤的角速度變為若干？ 答案：2 rad∕s

43 § 8-5 轉動動能 如右圖所示，當一剛體以角速度ω繞一固定軸轉動時，剛體內每一質點皆以相同的角速度繞同一軸做圓周運動，設某一質點 mi 與轉軸的垂直距離為 ri，則該質點作圓周運動的速率 vi = riω，其動能為 mi ri O ω 因此剛體轉動的總動能

44 例題：兩小球質量分別為 m1 及 m2，由一長度為 ℓ 之細桿（質量可忽略）相連，並以通過兩球質量中心且垂直於細桿的軸，作等角速度ω的轉動，試求系統的角動量與總動能。
r1 r2

45 例題：一質量為 m，半徑為 r 的圓盤，從斜角為θ的斜面頂端自靜止滾下，假設在鞋面上的滾動為純滾動，斜面長度為 s，試求滾至底邊時圓盤中心點的速率。

46 移動與轉動物理量的對應 名稱 移動 轉動 位移 – 角位移 Δx Δθ 速度 – 角速度 v ω 加速度 –角加速度 a α
質量 – 轉動慣量 m 動量 – 角動量 p = mv L = Iω 動能 – 轉動動能 力 – 力矩 F 力學方程式

47 THE END