具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形

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1 具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形
杨忠鹏 陈梅香

2 一、问题的来源 1. 教学 2. 学生毕业论文选题 3. 考研试题

3 二、问题的内容 1. 若A2=A，则称A为幂等矩阵。
近年来，J.koliha[1] 和 Y.Tian[2,3]等一批学者对幂等矩阵的性质进行了深刻的研究，他们探讨了两个幂等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列的秩等式关系，并得到了在约束条件 下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数a,b选择无关的结果。 1. 若A2=A，则称A为幂等矩阵。

4 2.若 A3=A，称 A为三幂等矩阵。 文献[5]研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性. 文献[6]利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、3幂等或m幂等性. 文献[7]讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可 逆性.

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6 m幂等矩阵的研究引起很多人的关注： 文献[8-10]讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性, ［11，12］研究了m幂等矩阵的一些代数性质.

7 　　由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否有一个统一的形式？

8 三 问题的解决

9 定义1与[13]的(m,l)幂等矩阵的规定相同，[13]还研究了(m,l)幂等矩阵性质与判定，如：

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12 这说明作为本质(m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题2和3都不成立
这说明作为本质(m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题2和3都不成立.[15]应用最小多项式来刻划本质(m,l)幂等矩阵的两个充要条件都是不成立的.出现问题主要原因，可能在于没有从内部结构上把握这类矩阵特点. 从[16，命题5]和[15,定理7]可得应用矩阵秩的恒等判定(m,l)幂等矩阵的充要条件.事实上，要得到为本质(m,l)幂等矩阵的结果，与[14-16]相比不仅要求Am=Al，还要证明m是这个等式成立的最小正整数.

13 由[14,引理2.1]知A∈Fn×n的幂等性与数域的扩大无关,
因此问题可归结为A在复数域上的Jordan标准形的幂等性.这样 总设A∈Cn×n，满足

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16 我们在[18]中应用矩阵A∈C n×n的Jordan标准形得到了
本质(m,l)幂等矩阵的特征刻画. 作为应用，可给出本质m对合、 本质m幂等矩阵的充要条件.

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23 四、进一步的讨论 在[19]、[20]和[11]等关于含幺结合环上的k次幂等矩阵正交 与代数等价的讨论基础上，最近[12]研究了数域F上的相关情况， 使得讨论深入到了特征多项式和特征值等矩阵理论的核心问题。

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25 我们在文献[22]中应用数域上(m,l)幂等矩阵与m幂等矩阵的
关系，得到了数域上(m,l)幂等矩阵的l次方幂的代数等价、相似 和特征多项式相等是互为确定的结论。

26 参考文献 [1]J.J.KoliHa，V.Rakocevic,Sttaskraba.The difference and sum of projectors. Linear Algebra Appl. 2004，8：1-10. [2]Y.G. Tian,G. P.H.Styan.Rank equalities for idempotent and involutory matrices. Linear Algebra Appl ，335 : [3] Y.G.Tian,G.P.H.Styan Rank equalities for idempotent matrices with applications.Journal of Computional and Mathematics. 2006，191 ：77-97. [4] J.K. Baksalary, O.M. Baksalary, Nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices, Linear Algebra Appl.2004，388 ： 25–29

27 [5] J. K Baksalary，O.M.Baksalary and George Styan P H. Idemotency of
linear combinations of an idempotent matrix and tripotent matrix. Linear Algebra Appl.，2002，304：21-24. [6]杨忠鹏, 陈梅香,林国钦.关于三幂等矩阵的秩特征的研究. 数学研究, 2008,41(3) : [7] 张俊敏，成立花，李作. 幂等矩阵线性组合的可逆性. 纯粹数学与应用数学. 2007，23 (2)： [8]J.Benitez and N.Thome. Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and t-potentmatrix that commute . Linear Algebra Appl., 2005, 403:

28 [9]Deng Chun-yuan,Li qi-hui and Du Hong-ke. Generalized n-idempotents
and Hyper-generalized n-idempotents. Northeast Math. J., 2006,22(4): [10]Leila lebtahi and Nestor Thome. A note on K-generalized projections. Linear Algebra Appl.,2007,420(2-3): [11]周航，樊旭辉. 由n次幂等矩阵确定的交换幺半群. 纯粹数学与应用数学， 2009，25（1）： [12]金慧萍，吴妙仙. k次幂等矩阵和矩阵的正交性. 茂名学院学报, 2010,20(1):55-57 [13] 张伟. 方阵的幂及具有幂条件的矩阵类. 青岛化工学院学报, 1999,20(3):

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北华大学学报（自然科学版）. 2009,10(1):5-9. [15]杨忠鹏, 陈梅香,林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记. 福州大学学报（自然科学版）,2009,37(1):24-28. [16]胡付高，曾与娥.一类矩阵多项式秩的恒等式与应用. 山东大学学报（理学版），2008，43（8）：51-54. [17] 亓正坤，王廷明，傅海伦. 方阵幂的秩等式及其应用. 山东师范大学学报（自然科学版），2008，23（3）：15-17. [18] 杨忠鹏,陈梅香,郭文静.本质(m,l)幂等矩阵的特征研究.数学研究, 2011,44(01):87.

30 [19] 周航,柳卫东.次幂等矩阵的代数等价与相似.西南民族大学学报
(自然科学版),2008,34(02): [20] 周航,樊旭辉.次幂等正交矩阵集中的等价关系.纺织高校基础科学学报,2008,21(02): [21]林维,黄玉笙,陈梅香,杨忠鹏。关于“次幂等矩阵和矩阵的正交性”的注记，广东石油化工学院学报，2011,21（6）：60-63 [22]陈梅香, 林维,杨忠鹏（通信作者）。幂等矩阵的代数等价与正交的一些性质，数学研究，2012年45卷1期:58-65 [23]R.A.Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis.New York:Cambridge University Press,1985.

31 Jordan标准形的内容与相应的空间分解是高等代数课程中
研究线性空间结构理论的最高境界与最优美的结论。 　　　　　　　　　　——————《高等代数思想与方法》

32 谢 谢！