23.3 相似三角形 23.3.4相似三角形的应用.

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1 23.3 相似三角形 23.3.4相似三角形的应用

2 回顾： 一.相似三角形的判定方法 二.相似三角形的性质 对应相等 3. 对应成比例的两个三角形相似。 1.两角 两个三角形相似。
对应成比例的两个三角形相似。 1.两角 两个三角形相似。 2.两边 且 相等的两个三角形相似。 对应成比例 夹角 三边 二.相似三角形的性质 的比， 的比， 的比都等于相似比。（相似形中的对应线段） 4.面积的比 。 相等， 成比例。 3.周长的比 。 对应角 对应边 对应高 对应中线 对应角平分线 等于相似比 等于相似比的平方

3 小小科学家: o 给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德 1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m? 8 B 16m C ┏ ┛ o D 0.5m 1m A (第1题)

4 · 新课：相似三角形的应用 我们主要是应用相似三角形的性质来解决实际问题。 在实际生活中，请举出哪些地方用到了相似三角形？
例如：在同一时刻人与树和各自的影子作为两条边形成的三角形。 例如：物理学的小孔呈像实验中，实物与影子同通过小孔的光线所连成的三角形。

5 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例. 在某一时刻,有人测得一高为1
在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?

6 解：设楼的高度为x米， 由题意得； 解得x=36（米） 答：楼的高度是36米。

7 测量学校旗杆的高度。

8 （2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？
例：如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF， （1） △DEF与△ABC相似吗？为什么？ （2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？

9 解：（1）∵ AB⊥BF ，DE⊥BF ∴∠ABC=∠DEF=90° ∵ AC∥DF ∴ ∠ACB=∠DFE ∴ △ABC∽△DEF （2） ∵ △ABC∽△DEF ∴ ∵ DE=1，EF=2，BC=10 ∴AB=5

10 借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗? A C B D E ┐ 10

11 数学史话： 泰勒斯是古希腊的科学家、哲学家，历史上称其为“科学之祖”，他尤其善于把现实中的许多问题转化为数学问题来解决。 位于埃及开罗西南15千米处，有一金字塔，被称为“第一金字塔”或“大金字塔”，其高146.5米，底面呈正方形。埃及人是如何堆成金字塔的，至今仍是个谜，而泰勒斯能测量金字塔的高度，在当时算是个了不起的贡献。 B A O O’ B’ A′ 他先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB，即可算出金字塔的高OB。

12 在当时的条件下，泰勒斯能想出这种测量方法，简直就是惊世骇俗的了。
B A A’ B’ O 在当时的条件下，泰勒斯能想出这种测量方法，简直就是惊世骇俗的了。

13 阅读完上面材料后，如果让你用相似的知识去尝试测量上图中A、B两点间的距离你会吗？

14 例1. 如图 所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB.

15 解 由于太阳光是平行光线，因此 ∠OAB＝∠O′A′B′． 又因为 ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°． 所以 △OAB∽△O′A′B′， OB∶O′B′＝AB∶A′B′， OB＝ （米） 答:该金字塔高为137米．

16 例2:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D． 
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB． A C B D E

17 解： 例3:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 答： 两岸间的大致距离为100米．
定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和 AE的交点D．  此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB． A D C E B 解： （方法一）因为 ∠ADB＝∠EDC, ∠ABC＝∠ECD＝90°，   所以 △ABD∽△ECD， 答： 两岸间的大致距离为100米．  

18 此时如果测得DE＝120米，BC＝60米，BD＝50米，求两岸间的大致距离AB．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸间的大致距离AB了。 A D E B C 此时如果测得DE＝120米，BC＝60米，BD＝50米，求两岸间的大致距离AB． 请同学们自已解答并进行交流

19 想一想 怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?

20 方法1：利用阳光下的影子. A B C D E F 怎么办？

21 方法1：利用阳光下的影子. 测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF. 找相似：△ABC∽△DEF. A B C D E F

22 方法2：利用标杆. A C F E B D G 怎么办？

23 方法2：利用标杆. 测量数据：身高AD、标杆BE、旗杆与标杆 之间距离BC、人与标杆间距离AB.
找相似：△AGD∽△BGE. △AGD∽△CGF A C F E B D G

24 方法3：利用镜子的反射. E C B D A 怎么办？

25 方法3：利用镜子的反射. 找相似：△ADE∽△ABC. 测量数据：身高DE、人与镜子间的距离AE、 旗杆与镜子间距离AC. B D C E

26 小结： 现实生活中还有许多问题我们可以利用相似三角形的知识去解决，上述题目只能算是沧海一粟，这就需要我们做个有心人，从数学角度学会发现问题，提出问题，并且尝试从不同的角度、不同的途径去分析问题和解决问题，不断锻炼我们的思维能力。

27 概 括 1、在运用相似三角形的有关知识解实际问题时，要读懂题意， 2、画出从实际问题中抽象出来的几何图形，构建简单的数学模型， 3、然后运用已学的相似三角形的有关知识（相似三角形的识别、相似三角形的性质等）列出有关未知数的比例式，求出所求的结论.

28 1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问题,建立相似三角形模型,再利用对应边成比例来达到求解的目的! 2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 中考

29 1、如图，是一池塘的平面图，请你利用相似三角形的知识，设计出一种测量A、B两点间距离的方案，并对这种方案作出简要的说明。
生活实践 1、如图，是一池塘的平面图，请你利用相似三角形的知识，设计出一种测量A、B两点间距离的方案，并对这种方案作出简要的说明。

30 解：如图在池塘外选一点P，连AP并延长，连BP并延长使 （或其他值）， 则△ABP∽△CDP得 ，量出CD的长就可算出 AB的长。

31 2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.
A B C D E 解： ∴△ABC∽△DEC, 得： ∵AB、CD都垂直于地面, 又∵∠C是公共角， ∴∠BAC=∠EDC （分析：由于AB、CD都垂直于地面, ∠C是公共角，所以△ABC∽△DEC,由此可得对应边成比例： ）

32 3. 如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子DF，那么 （1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
（2）如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为1.6m,你能求得路灯杆的高吗？ A C B F D

33 变式一 有一路灯杆AB(底部B不能直接到达),在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG=4m,如果小明的身高为1.6m,求路灯杆AB的高度. A E C B D F G

34 变式二 如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点G处再测得自己的影长GH=4cm,如果小明的身高为1.6m， GF=2m. 你能求出路灯杆AB的高度吗？ A M C B H G F D

35 中考连接 1.（2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（ ） A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 　　　 B

36 中考连接 2.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ） A．12m B．10m C．8m D．7m A

37 中考连接 3.（2009年兰州）如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ） A．24m B．25m C．28m D．30m D

38 再 见！