代数格.

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1 代数格

2 回顾 循环群与生成元 循环群的子群 群的同构与同态 (循环)群的直积

3 提要 代数格的定义与性质 格同态、格同构 分配格、有补格、有补分配格

4 格(回顾) (S,≼)的一个（偏序）格，如果下列条件成立： 设(S, ≼)是格，则(S, ,  )有下列性质: 设(S,≼)是偏序集
x, yS, 存在{x,y}的最小上界lub{x,y} , 记为xy。 x, yS, 存在{x,y}的最大下界glb{x,y}, 记为xy。 设(S, ≼)是格，则(S, ,  )有下列性质: 结合律：(ab)  c = a  (bc), (ab)  c = a  (bc) 交换律：ab = ba, ab = ba 吸收律： a  (ab) = a, a  (ab)=a 结合律：a，b，c <= (ab)  c，所以a  (bc) <= (ab)  c 吸收率：a<=a  (ab)；ab<=a, a<=a, 所以a  (ab)<=a；

5 代数格(定义) 设L是一个集合， 和是L上的二元运算，且满足结合律、 交换律、吸收律，则称(L, , )是代数格。 等 式 名 称
等 式 名 称 x(yz)=(xy)z x(yz)=(xy)z 结合律 xy =yx xy= yx 交换律 x(xy) = x x(xy) = x 吸收律 格满足三个性质，事实上也可以通过三个性质来定义格 （这里定义里的, 是普通运算符，同时也是上下确界，因此不做区分）

6 代数格中的偏序关系  x, yB, xy =x iff xy =y
若 xy =x，则 xy = (xy)  y = y //吸收律 若 xy =y，则 x y = x (xy) = x //吸收律  x, yB, 定义 x ≼ y iff xy =x (即 xy =y) 证明这个关系满足自反性、反对称性、传递性。 这个偏序构成一个格。 lub{x,y} 即为 xy。 glb{x,y} 即为 xy。 代数格等同于（偏序）格 传递性证明：用吸收率 上确界证明：假设z也是上界，x,y<=z 有xvz=z, yvz=z，于是(x v y) v z = x v (y v z) = x v z = z, 即x v y<=z

7 格的代数性质 结合律 交换律 吸收律 幂等律 吸收律 幂等律 x  x = x  ( x  (xx) ) = x （两次应用吸收律）

8 子格

9 格同态 两个^v分别代表各自格里的运算 如果f是格同态，当f分别是单射、满射和双射时，f分别称为单一格同态（Lattice Monomorphism）、满格同态（Lattice Surjective Homomorphism）和格同构（Lattice Isomorphism）

10 格同态与格同构 格同态有个性质：保序性：f(y)=f(x v y)=f(x) v f(y) （1）的逆命题不成立
（2）另外一个格同构的判定方法：证明参加教材

11 例

12 格同构的直观特征 观察以下2个格的哈斯图：

13 格同构的直观特征（续）

14 格同构的直观特征（续）

15 几种典型的格

16 分配格 显然有 a v (b ^ c) <= (a v b) ^ (a v c)
显然有 a v (b ^ c) <= (a v b) ^ (a v c) 因为a v (b ^ c) 都<= (a v b) 和 (a v c)

17 例

18 分配格的判定定理(一)

19 例

20 分配格的判定定理(二)

21 分配格的判定定理(二)

22 分配格的判定定理(二)

23 例

24 有界格 介绍有补格之前先引入有界格

25 有界格（续） 无限格 有的是有界格 有的不是

26 有界格（续）

27 补元 有界格下讨论有补格

28 例 L1：ac互为补元，b无补元 L2：ad、bc L3：ae、bcd L4：ae、bc、bd

29 补元（续）

30 补元（续）

31 有补格

32 有补分配格 代数格：结合律、交换律、吸收律、（幂等律） 分配格：分配律 有 界：同一律、（支配律） 有 补：补 律、（双重补律、德摩根律）
有 界：同一律、（支配律） 有 补：补 律、（双重补律、德摩根律） 有补分配格又称为布尔格或者布尔代数

33 有补分配格（代数性质） 结合律 交换律 分配律 同一律 补律 支配律 吸收律 幂等律 双重补律 德摩根律 请听下回分解

34 作业 见课程主页