第八章 几 何 造 型 2019/4/18 Thank you for your time today.

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1 第八章 几 何 造 型 2019/4/18 Thank you for your time today.
几 何 造 型 Thank you for your time today. Believe I have a lot of good information to share with you today – it’s been just a little over a year since we introduced the notion of e-business on demand – know that there’s been a lot written about it … lots of competitors have begun to describe notions that sound very similar. Today I want to spend the majority of our time together moving the discussion from the what and why of becoming an on demand business to the how – to some very concrete essentials, methodologies and offerings that we’ve spent the last year developing. But before I get into specifics on the how to – I do want to spend a few minutes up front – setting a little context. 2019/4/18

2 三维图形在科学研究和工程技术中有广泛应用。
CAD中，需要对所设计的作品从不同的角度进行审视。 几何造型：通过对点、线、面、体等几何元素，经过平移、旋转、变比等集合变换和并、交、差等集合计算，产生实际的或想象的物体模型。即：用计算机系统表示、控制、分析、输出三维形体； 是CAD/CAM和CIMS系统的核心技术，也是实现计算机辅助设计的基本手段。 本章内容： 形体在计算机内的表示形式； 形体的存取数据结构； 集合元素间基于集合运算的求交分类； 常用的造型手段； 2019/4/18

3 形体输入，把形体从用户格式转换成计算机内部格式；
几何造型的功能： 形体输入，把形体从用户格式转换成计算机内部格式； 图形数据的存储和管理； 图形控制，对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换； 图形修改，应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及其交互手段实现对形体局部或整体修改； 图形分析，形体的容差分析，物质特性分析等； 图形显示输出，消隐、光照、颜色的控制等； 查询形体的属性及相关参数 2019/4/18

4 形体在计算机内的表示 表示形体的坐标系： 坐标系： 造型坐标系：右手三维直角坐标系。用于定义基本形体或素－》局部坐标系；
用户坐标系：右手三维直角坐标系：与用户定义的形体和图素的坐标系一致－》全局坐标系； 直角坐标系（笛卡儿坐标系）：左手坐标系、右手坐标系 仿射坐标系:基底不要求是相互垂直的单位矢量－》扩展了形体的表示域； 圆柱坐标系：与直角坐标的关系： 球坐标系:与直角坐标的关系： 极坐标系：与圆柱坐标系类似； 2019/4/18

5 形体在计算机内的表示 观察坐标系：左手三维直角坐标系，两个作用：
1、用于指定裁剪空间，确定形体的哪一部分需要输出； 2、通过定义观察平面，把三维形体的用户坐标转换为规格化的设备坐标； 规格化的设备坐标系：左手三维直角坐标系，用于定义视图区。应用程序可指定它的取值范围； 设备坐标系：左手三维直角坐标系，用于在图形设备上指定窗口和视图区； 2019/4/18

6 形体 形体(object) 外壳(shell) 面(face) 环(loop) 边(loop) 顶点(vertex) 曲线和直线方程
形体一般定义为六层拓扑结构。 形体(object) 外壳(shell) 面(face) 环(loop) 边(loop) 顶点(vertex) 曲线和直线方程 点的 几何坐标 2019/4/18

7 形体 体：三维集合元素 由封闭表面围成的有效空间称为体；
一个形体Q是R3空间中非空、有界的封闭子集。其边界（记为∂Q）是有限个面的并集，外壳是形体的最大边界。一个单位立方体可定义为： {(x,y,z)∈R3|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1} 其中一个表面可表示为： {(1,y,z)∈R3|0≤y≤1,0≤z≤1} 必须注意：没有规定形体必须是一个连续的封闭集合，目的是扩大几何造型的域，使形体可以由不连续的体素，或是仅有某些相交的形体组成。 x z y 2019/4/18

8 形体 面 ：二维几何元素 R2中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F， 其边界(记为∂F)是有限条线段的并集， Pt表示含有F的唯一平面。
可以没有内环，但必须有且只有一个外环； 面是形体表面的一部分，且具有方向性：如果面的外法矢向外，为正向面，反之为反向面； F Pt 2019/4/18

9 形体 环 由有序、有向边组成的面的封闭边界称为环； 环中任意边都不能自交，相邻两条边共享一个端点； 环又分为内环和外环。
内环是在已知面中的内孔或凸台面边界的环，其边按逆时针方向。 外环是已知面的最大外边界的环，其边按顺时针方向，按这种定义，在面上沿着边的方向前进，面的内部始终在走向的右侧。 2019/4/18

10 形体 边 ：一维几何元素 形体内两个相邻面的交界称为边， 一条边有且仅有两个相邻面。 两个端点确定一条边，分别称为该边的起点和终点
边 ：一维几何元素 形体内两个相邻面的交界称为边， 一条边有且仅有两个相邻面。 两个端点确定一条边，分别称为该边的起点和终点 假设Q是一个形体，E(Q)是形体边的集合，则在∂Q(形体的边界)中E(Q)满足下列条件的所有线段的集合： 边e的两个端点属于V(Q)； 边e中没有一个内部点属于V(Q)（所有顶点的集合） 边e上每个点，都有两个不同的面，即存在两个面fi，fi≤∂Q使得边e∈fi∩fj； 形体Q的边框线WF(Q)是由有序对(V(Q),E(Q))所组成。 v1 v2 e f1 f2 2019/4/18

11 形体 点 ：0维集合元素 边的端点称为点，点不能出现在边的内部，也不能孤立地位于物体内、物体外或面内，顶点又是∂F(面边界)中两条不共线的线段交点。 分类：控制点、型值点、插值点 v1 v2 e f1 f2 2019/4/18

12 形体 体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。
用代数半空间定义的形体 集合{P|F(P)≤0}称为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面，当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。 几何信息 表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。 2019/4/18

13 表示形体的两种模型 模型分类 2019/4/18

14 表示形体的两种模型：数据模型、过程模型 数据模型 完全以数据描述 如 以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在
包括：特征表示、空间分割表示、推移表示、边界表示、构造实体几何表示等； 进一步分为： 线框模型 表面模型 实体模型 2019/4/18

15 表示形体的两种模型 线框模型 将形体表示成一组轮廓线的集合。
形体的棱线与轮廓线能唯一地表示。如图，八个顶点可以定义一个长方体，但还不足以识别它，如果定义了棱线，则无论如何放置长方体都能唯一地表示。对于多面体由于其轮廓线和棱线通常一致，所以多面体的线模型更便于识别，且简单。 e12 v4 v8 s3 e2 e4 e6 e8 e7 e11 e10 e9 e3 e1 v2 v3 v1 v7 v5 v6 s2 s6 s5 s1 s4 2019/4/18

16 表示形体的两种模型 线框模型 优点：简单、处理速度快； 缺点：
1、对于非平面多面体，如圆柱、球等形体，其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用一组固定的轮廓线来表示。 2、线框模型与形体之间不存在一一对应关系：它仅通过给定的轮廓线约束所表示形体的边界面，而在轮廓线之间的地方，形体的表面可以任意变化。 3、没有形体的表面信息，不适于真实感显示，由此导致表示的形体可能产生二义性。 2019/4/18

17 表示形体的两种模型 表面模型 将形体表示成一组表面的集合
如果把线框模型中的棱线包围的部分定义为面，所形成的模型便是表面模型。其数据结构是在线模型的基础上附加一些指针，有序地连接棱线。 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示 4 顶点个数 1 起始指针 表面特征 5 表面编号 3 2 连接指针 属性 顶点号 2019/4/18

18 表示形体的两种模型 表面模型 缺点： 不能有效的用来表示实体 原因： 1、表面模型中的所有面未必形成一个封闭的边界
2、各个面的侧向没有明确定义，即不知道实体位于面的哪一侧 实体模型 用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信息，可以支持多种运算，如欧拉运算等。 2019/4/18

19 表示形体的两种模型 过程模型 以一个过程和相应的控制参数描述; 例如: 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物;
以一个数据文件和一段代码的形式存在; 包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等; 2019/4/18

20 实体：定义 抽象带来的问题: 计算机中表示的物体是无效的 不能客观存在 为什么要求客观存在: CAD/CAM的需求
什么是客观存在（有效）—实体的定义: 具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体 2019/4/18

21 实体：定义 将三维物体看做一个点集，它由内点和边界点共同组成。 内点：具有完全包含于该点集的充分小的邻域; 边界点：不具有内点性质的点集;
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： 内点运算 I 闭包运算 C 正则运算r i A：A的全体内点组成的集合，称为A的内部 c i A 为A内部的闭包的运算，是i A与其边界点的并集。 正则点集 如果它满足， 称为A的正则点集 2019/4/18

22 实体：定义 举例说明 阴影部分：物体的内部区域 黑色部分：边界 (a)图取内点->(b)图求闭包->(c)图
正则运算的作用：去除与物体维数不一致的悬挂部分或孤立部分。 2019/4/18

23 实体：定义 正则集合运算 为什么需要正则集合运算 正则集合运算是构造复杂物体的有效方法 普通的集合运算会产生无效物体 (b):A∩B
(c):普通A∩B (d)：正则A∩B 2019/4/18

24 实体：定义 正则集合运算 集合运算（并、交、差）是构造形体的基本方法。 正则形体经过集合运算后，可能会产生悬边、悬面等低于三维的形体。
Requicha在引入正则形体概念的同时，还定义了正则集合运算的概念。正则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面等。 正则集合运算的定义： 正则并 正则交 正则差 2019/4/18

25 实体：定义 正则集合运算 任一实体S可以用它的边界bS和它的内部iS来表示，即 S=bS ∪ iS 由实体的定义可知，
1)bS是封闭的，将整个三维空间分成了三个区域： S的内部iS , S的边界bS ,S的外部eS。 2)边界bS与实体S一一对应。确定了边界，就唯一确定了一个实体。 因此，为求实体A，B的正则集合运算结果A op* B，只要求出其边界b（A op* B）即可。 2019/4/18

26 实体：定义 考察A,B两物体的交所形成拼合体的边界，
由于A,B为正则点集，它们均可表示为边界点与体内点的集合，即A=bA ∪ iA ; B=bB ∪ iB A物体的边界 bA可按其位于B物体内、B物体上、B物体外而分别表示为 bA = (bA∩iB)∪(bA∩bB) ∪(bA∩eB) 同理，bB = (bB∩iA)∪(bB∩bA)∪(bB∩eA) 2019/4/18

27 实体：定义 其中bA ∩ bB = bB ∩ bA是A与B的公共边界，它可以分成两部分： （bA ∩bB）同侧、 (bA ∩bB)异侧
(bA ∩bB)同侧由这些边界构成：A、B位于边界的同侧 (bA ∩bB)异侧由这些边界构成：A、B位于边界的异侧 2019/4/18

28 实体：定义 对于A ∩* B ，由交的定义可知：
1）A、B两物体的边界位于对方内部的部分，即bA ∩ iB 和bB ∩ iA是b(A ∩* B )的组成部分。 2） A、B两物体的边界位于对方外部的部分，即bA ∩ eB 和bB ∩ eA不是b(A ∩* B )的组成部分。 3）对于A、B的重合边界有： (bA ∩bB)同侧属于b(A ∩* B ); (bA ∩bB)异侧不属于b(A ∩* B ) 因此： b(A∩*B)=(bA ∩ iB) ∪(bB ∩ iA)∪(bA∩ bB)同侧 2019/4/18

29 实体：定义 同理： b(A∪*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ eA)∪(bA∩bB)同侧
b(A－*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ iA)∪(bA∩bB)异侧 2019/4/18

30 实体表示模型 实体模型表示中，可以分为分解表示、构造表示和边界表示三大类。 1、分解表示
将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分，每一小部分又可分为更小的部分，这种分解过程直至每一小部分都能够直接描述为止。 空间位置枚举表示 形体空间细分为小的均匀的立方体单元。 用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应 当C[I][J][K] = 1时，表示对应小立方体被物体占据 当C[I][J][K] = 0时，表示对应小立方体没有被物体占据 2019/4/18

31 实体表示模型 空间位置枚举表示 优点 简单，可以表示任何物体 容易实现物体间的交、并、差集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等 缺点
占用大量的存储空间，如1024*1024*1024 = 1G bits 物体的边界面没有显式的解析表达式，不适于图形显示 对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换 是物体的非精确表示 2019/4/18

32 实体表示模型 单元分解表示 对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：单一体素 多种体素; 三种空间分割方法的比较
对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：单一体素 多种体素; 三种空间分割方法的比较 空间位置枚举表示----同样大小立方体粘合在一起表示物体; 八叉树表示----不同大小的立方体粘合在一起表示物体; 单元分解表示----多种体素粘合在一起表示物体; 2019/4/18

33 实体表示模型 单元分解表示 优点 表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 缺点 物体的表示不唯一
物体的有效性难以保证 2019/4/18

34 实体表示模型 2、构造表示 分类： 推移表示 推移表示； 构造实体几何表示（CSG）； 特征表示；
将物体A沿着轨迹P推移得到物体B，称B为sweep体； 平移sweep--将一个二维区域沿着一个矢量方向推移; 2019/4/18

35 实体表示模型 推移表示 旋转sweep----将一个二维区域绕旋转轴旋转一周; 2019/4/18

36 实体表示模型 优点 表示简单、直观 适合做图形输入手段 缺点 作几何变换困难 对几何运算不封闭
用扫描变换产生的形体可能出现维数不一致的问题。 扫描方法不能直接获取形体的边界信息，表示形体的覆盖域非常有限。 2019/4/18

37 实体表示模型 构造实体几何表示(CSG) 通过对体素定义运算而得到新的形体的一种表示方法。体素可以是立方体、圆柱、圆锥等，也可以是半空间，其运算为变换或正则集合运算并、交、差。 CSG表示可以看成是一棵有序的二叉树。 其终端节点或是体素、或是形体变换参数。 非终端结点或是正则的集合运算，或是变换（平移和/或旋转）操作，这种运算或变换只对其紧接着的子结点（子形体）起作用。 2019/4/18

38 实体表示模型 构造实体几何表示(CSG) CSG树无二义性，但不唯一; CSG表示的优点：
数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易； 物体的有效性自动得到保证； CSG方法表示的形体的形状，比较容易修改。 CSG表示的缺点： 对形体的表示受体素的种类和对体素操作的种类的限制，表示形体的覆盖域有较大的局限性。 对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本体素的交线倒圆角； 由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含表示在CSG中，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间。 表示不唯一 2019/4/18

39 实体表示模型 特征表示 用一组特征参数表示一组类似的物体 特征包括形状特征、材料特征等 适用于工业上标准件表示 2019/4/18

40 实体表示模型 特征表示 从应用层定义形体，可以较好的表达设计者的意图。从功能上可分为形状、精度、材料和技术特征。
特征是面向应用、面向用户的。特征模型的表示仍然要通过传统的几何造型系统来实现。不同的应用领域，具有不同的应用特征。 几何造型系统中，根据特征的参数并不能直接得到特征的几何元素信息，而在对特征及在特征之间进行操作时需要这些信息。 特征方法表示形体的覆盖域受限于特征的种类。 2019/4/18

41 实体表示模型 构造表示的特点： 通常具有不便于直接获取形体几何元素的信息、覆盖域有限等缺点，
便于用户输入形体，在CAD/CAM系统中，通常作为辅助表示方法。 2019/4/18

42 实体表示模型 3、边界表示（BR表示或BRep表示）
按照体－面－环－边－点的层次，详细记录了构成形体的所有几何元素的几何信息及其相互连接的拓扑关系。 边界表示的一个重要特点是在表示法中，描述形体的信息包括几何信息（Geometry）和拓扑信息（Topology）两个方面。 拓扑信息描述形体上的顶点、边、面的连接关系，拓扑信息形成物体边界表示的“骨架”。 形体的几何信息犹如附着在“骨架”上的肌肉 2019/4/18

43 实体表示模型 边界模型表达形体的基本拓扑实体包括： 1. 顶点
2. 边:边有方向，它由起始顶点和终止顶点来界定。边的形状（Curve）由边的几何信息来表示，可以是直线或曲线，曲线边可用一系列控制点或型值点来描述，也可用显式、隐式或参数方程来描述。 3. 环:环（Loop）是有序、有向边（Edge）组成的封闭边界。环有方向、内外之分，外环边通常按逆时针方向排序，内环边通常按顺时针方向排序。 4.面:面（Face）由一个外环和若干个内环（可以没有内环）来表示，内环完全在外环之内。 若一个面的外法矢向外，称为正向面；反之，称为反向面。 2019/4/18

44 实体表示模型 面的形状可以是平面或曲面。平面可用平面方程来描述，曲面可用控制多边形或型值点来描述，也可用曲面方程（隐式、显式或参数形式）来描述。对于参数曲面，通常在其二维参数域上定义环，这样就可由一些二维的有向边来表示环，集合运算中对面的分割也可在二维参数域上进行。 5.体:体（Body）是面的并集。 2019/4/18

45 实体表示模型 边界表示法的四种数据结构：以面为基础、以顶点为基础、以边为基础和翼边结构； 1)以面为基础的数据结构
以面为基础，按照体、面、顶点坐标的树结构层次组织元素数据；如 面 顶点坐标 F (X1Y1Z1,X2Y2Z2,X3Y3Z3,X4Y4Z4) F (X1Y1Z1,X2Y2Z2,X6Y6Z6,X5Y5Z5) … 其中顶点按照外观顺时针顺序； 2019/4/18

46 实体表示模型 2) 以顶点为基础的数据结构 3) 以边为基础的数据结构 4) 边界表示模型 以顶点/坐标和面/顶点序列两张关系表表示，如：
顶点 坐标 面 顶点序列 V1 X1Y1Z1 F V1V2V3V4 3) 以边为基础的数据结构 以边/顶点，顶点/坐标，面/边三张关系表表示； 4) 边界表示模型 四棱椎边界表示由4个面组成，且这种表示可以看作是含有体、面、边、顶点为节点的有向图; 四棱椎边界表示也可以基于边界的三角形分解，即把形体的边界拆成一些互不重叠的三角形。 2019/4/18

47 欧拉运算和正则集合运算 边界表示法，可以定义一系列运算来构造或修改三维实体，常用的这类运算有： 欧拉运算 正则集合运算
欧拉运算是三维物体边界表示数据结构的生成操作。运用欧拉运算，可以正确、有效构建三维物体边界表示中的所有拓扑元素和拓扑关系。 该运算之所以称为欧拉运算，是因为每一种运算所构建的拓扑元素和拓扑关系均要满足欧拉公式。 2019/4/18

48 欧拉运算和正则集合运算 欧拉运算 欧拉形体： 满足欧拉公式: V：顶点数 E：棱线数 V-e+f=2 F：面数
凡是满足欧拉公式的形体均称为欧拉形体; 欧拉公式是简单多面体的必要条件。 附加条件：每边连接两个顶点 每条边只被两个面共享等来保证有效性 V-e+f=2 2019/4/18

49 欧拉运算和正则集合运算 欧拉运算 V-e+f-r=2(s-h) V：顶点数，E：棱线数，F：面数 r: 多面体表面上孔的个数
广义欧拉公式: V-e+f-r=2(s-h) V：顶点数，E：棱线数，F：面数 r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数 2019/4/18

50 欧拉运算和正则集合运算 欧拉运算 若将广义欧拉公式
中的v,e,f,h,r,s分别看作独立的坐标变量，则上式在六维空间中定义了一张平面（平面是五维的），该平面通过原点。 由于各坐标变量的取值只能是非负的整数，所以上式实际上对应了一张五维平面上的网格，每个多面体都对应一个网格点。但并不是每个网格都对应一个有效的多面体（只是必要条件）。如果要构造的多面体对应的网格点的坐标是（ v,e,f,h,r,s ），那么构造该实体的过程就是从原点开始沿网格一步一步向这个坐标点前进的过程。由于网格上的每点都满足欧拉公式，最后的多面体也必然满足它。 V-e+f-r=2(s-h) 2019/4/18

51 欧拉运算和正则集合运算 欧拉运算 最基本的五种欧拉运算是： 增加一条边和一个顶点； 增加一个面和一条边； 增加一条边, 一个面和一个顶点；
增加一条边,且删除一个孔穴。 2019/4/18

52 欧拉运算和正则集合运算 欧拉运算 相应的五种补运算是： 删除一条边和一个顶点； 删除一个面和一条顶点； 删除一个体, 一个面和一个顶点；
删除一个孔洞和一个体； 删除一条边,且增加一个孔穴； 任何一种欧拉形体(或欧拉运算)都可以用最基本的欧拉运算的现行组合来表示。用最基本的欧拉运算操作生成的形体必定是一个欧拉形体。 2019/4/18

53 欧拉运算和正则集合运算 正则集合运算 通过对边界表示的物体做正则集合运算能构造新的边界表示的物体。算法的大致步骤如下：
(1)预检查两物体是否相交 第一步：计算两个待求交物体的包围盒，若两包围盒不相交，则正则集合运算结束，否则进行下一步。 第二步：计算两物体每一个表面片的包围盒，当某个面片的包围盒与另一物体的包围盒相交时，将该面片与另一物体的所有表面片一一求交，否则该面片与另一物体的所有表面片都无交。同样，只有在用边界盒法无法判断时才进行求交计算，从而避免许多不必要的复杂的求交计算。 2019/4/18

54 欧拉运算和正则集合运算 (2)计算两物体各表面之间的交线。 由于物体表面均为有界表面，因此物体表面间的交线是有界的直线或曲线。计算两物体表面之间的交线的一般步骤: a.基于两相交表面的方程，建立交线的方程，确定出初始交线。初始交线可能为无界。 b.分别确定初始交线位于两相交表面内部的部分。 c.计算位于两相交表面内部的两相交区段的重叠部分，即为两相交表面之间的真正交线。 (3)对物体的表面进行分类 两物体之间的交线将它们的表面分割成两部分，一部分落在拼合体的表面上，形成新的边界，另一部分位于拼合体内或拼合体外，应在集合运算最后一步予以删除。 (4)建立结果物体的边界表示。 2019/4/18

55 几种表示方法的比较： 表示方法的比较 精确性：能否精确的表示实体。 特征表示-能够精确表示一个实体。
构造实体几何表示-依赖于它所采用的基本体素，如果基本体素足够丰富，则能精确描述较大范围内的实体。 边界表示-如果以多面体表示实体，则仅是一种近似表示；若允许曲面边界，则可以精确表示实体。 推移表示-与边界表示类似。 空间分割表示-近似表示一个实体。 2019/4/18

56 表示方法的比较 表示域：指一种表示法所能表示的实体的范围。表示域越大，表示能力越强。 特征表示法、推移表示法：表示能力有限
空间分割表示法：可以表示任何实体。 边界表示法：理论上可以表示所有实体。但若将边界表示法中的边界限制在某个范围之内（如平面多边形），则表示能力降低。 实体构造表示法：依赖其基本体素的范围。 唯一性：实体的表示形式唯一。 只有空间位置枚举方法和八叉树具有唯一性。 2019/4/18

57 表示方法的比较 封闭性：若其表示域内的实体经过某种运算（如正则集合运算，几何变换）后，结果实体仍然落在表示域之内。
特征表示：实体之间不能进行集合运算。 简单推移表示，单元分解表示：不封闭。 空间位置枚举表示，八叉树表示，CSG树表示封闭。 边界表示虽然对正则集合运算不封闭，但可以附加约束条件避免。 有效性： 边界表示（包括推移表示）物体的有效性难以检验。 特征表示的物体有效性自动得到保证。 其它表示方法的有效性验证也比较简单。 2019/4/18

58 表示方法的比较 简洁性： 空间分割表示：占用空间大 特征表示、推移表示、CSG树表示较简洁。边界表示介于其间。 输入：
空间位置枚举和八叉树表示很难由用户直接建立，一般都由其它表示形式转化过来。 若采用边界表示作为输入手段，则 一方面用户能方便的控制实体的形状， 另一方面，需输入大量数据，且数据一致性很难保证。 2019/4/18

59 表示方法的比较 输出： 实体造型的输出包括图形、计算机辅助制造系统进行数控加工所需的数据以及实体的性质（重量、体积等）。
图形显示和数控加工主要要求实体的边界信息，所以边界表示较好; 若需实体性质等方面的计算，则空间分割表示、CSG树表示更好; 2019/4/18

60 模型的考虑 需要考虑的问题： 对于几何造型系统来说，按不同的目的可以采用不同的最佳表示模型。 不规则形体的建模方法 迭代函数系统
根据形体边界给定的信息，是否能自动的获取形体的几何特征？ 如何确定对形体操作数据的有效性？ 形体的表示模型是否唯一？不同的表示模型是否可以转换？是否最佳表示模型？ 对于几何造型系统来说，按不同的目的可以采用不同的最佳表示模型。 不规则形体的建模方法 迭代函数系统 基于文法的模型 粒子系统 动力系统 2019/4/18

61 Thank you! Best Wishes! 谢谢! 2019/4/18