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第二章 静电场(6) §2.6 静电势的多极展开 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月30日
《电动力学》第14讲 第二章 静电场(6) §2.6 静电势的多极展开 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月30日
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Maxwell方程组 山东大学物理学院 宗福建
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Maxwell方程组 山东大学物理学院 宗福建
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静电场的标势 在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为 山东大学物理学院 宗福建
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静电场的标势 定义电势差 因此，电场强度E 等于电势φ的负梯度 山东大学物理学院 宗福建
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标势 的Poisson方程 山东大学物理学院 宗福建
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静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为ρ ，设r为由源点x' 到场点x的距离，则场点x处的电势为 山东大学物理学院 宗福建
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本讲主要内容 电势的多极展开 电多极矩 电荷体系在外电场中的能量 山东大学物理学院 宗福建
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泰勒级数展开 山东大学物理学院 宗福建
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泰勒级数展开 山东大学物理学院 宗福建 10
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泰勒级数展开 山东大学物理学院 宗福建 11
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电势的多极展开 真空中给定电荷密度 ρ(x̍ ) 激发的电势 式中体积分遍及电荷分布区域，r为源点x’ 到场点x的距离。
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电势的多极展开 在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x又距离电荷分布区域比较远，即r远大于区域V的线度l 。在这种情况下，可以表示为 1/ r 的展开式，由此得出电势 φ 的各级近似值。例如原子核的电荷分布于 ~10 −15m 线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离~10 −10m ，因此原子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。 山东大学物理学院 宗福建
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电势的多极展开 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离
x' 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x' 各分量看作小参量，把 x −x' 的函数对 x' 展开。 山东大学物理学院 宗福建
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电势的多极展开 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有
x' 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x' 各分量看作小参量，把 x −x' 的函数对 x' 展开。 山东大学物理学院 宗福建
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电势的多极展开 设 f（x −x'）为 x −x' 的任一函数，在 x点附近 f（x −x'）的展开式为 山东大学物理学院 宗福建
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电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建
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电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建
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电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建
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电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建
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电多极矩 展开式的第一项 是在原点的点电荷Q激发的电势。因此作为第0级近似，可以把电荷体系看作集中于原点上 。 山东大学物理学院 宗福建
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电多极矩 展开式的第二项 是电偶极矩p产生的电势。 山东大学物理学院 宗福建
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电多极矩 展开式的第三项 是电四极矩D产生的电势。 山东大学物理学院 宗福建
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电偶极矩 如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。若 点x’ 和 −x’ 点有相同的电荷密度，则积分值为零。因此，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。 总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电荷体系是一对正负点电荷。设 x’ 点上有一点电荷 +Q ，− x’ 点上有一点电荷 −Q ，这体系的电偶极矩为 l为由负电荷到正电荷的距离。 山东大学物理学院 宗福建
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电偶极矩 右图具有偶极矩 pz = Ql的电偶极子，它产生的电势为 山东大学物理学院 宗福建
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电偶极矩 由图，若 l << R ，有 山东大学物理学院 宗福建
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电偶极矩 由图，若 l << R ，有 山东大学物理学院 宗福建
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电偶极矩 因此这电偶极子产生的电势是 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 展开式的第三项 是电四极矩D产生的电势。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 根据此式，电四极矩张量 D ij 是对称张量，它由6个分量 D 11 ,D 22 , D 33 , D 12 = D 21 , D 23 = D 32 , D 31 = D 13 。 （下面将看出实际上只有5个独立分量。） 现在我们来谈论这些分量的物理意义。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 如右图，z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。这体系可以看作由一对电偶极子 +p和 −p组成。设正电荷位于 z = ±b , 负电荷位于 z = ±a。这体系的总电荷为零，总电偶极矩为零。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 它的电四极矩 其中p = Q（b −a）是其中一对电荷的电偶极矩，l = b + a是两个电偶极子中心的距离。
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电四极矩 这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 同理，具有 D 11 分量的最简单的电荷体系由x轴上两对正负电荷组成，具有 D 22 分量的体系由y轴上两对正负电荷组成。具有 D 12 分量的电荷体系由xy平面上两对正负电荷组成，余类推。 山东大学物理学院 宗福建
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教材第66页，图2-13，右上角D23应改为D33。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 下面我们证明电四极矩只有5个独立分量。 当 R ≠ 0 时有 引入符号 δij ，定义为 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 电四极矩D,有6个分量：D11,D22,D33,D12,D23,D31 但是，只有5个独立分量。
以后我们将沿用如下定义式，此式用并矢形式写为 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 若电荷分布有球对称性，则 因而 D11 =D22 = D33 = 0，而且显然有 D12 = D23 = D31 = 0，因此球对称电荷分布没有电四极矩。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 球对称电荷分布的电场也是球对称的，由高斯定理可知，球外电场和集中于球心处的点电荷电场一致，因此球对称电荷分布没有各级电多极矩。反之，若电荷分布偏离球对称性，一般就会出现电四极矩。例如沿z轴方向拉长了的旋转椭球体，若其内电荷分布均匀，则 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 因而出现电四极矩 电四极矩的出现标志着对球对称的偏离，因此我们测量远场的四极势项，就可以对电荷分布形状做出一定的推论。在原子核物理中，电四极矩是重要的物理量，它反映这原子核形变的大小。 山东大学物理学院 宗福建
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电四极矩 八极矩和更高的多极矩实际上较少用到，这里不详细讨论。 山东大学物理学院 宗福建
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例题 均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。 解 取z轴为旋转轴，椭球方程为
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例题 椭球所带电荷密度为 电四极矩为 山东大学物理学院 宗福建
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例题 由对称性 山东大学物理学院 宗福建
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例题 由对称性 因此 山东大学物理学院 宗福建
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例题 令 x2 +y2 =s2 ，由对称性 山东大学物理学院 宗福建
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例题 因此 山东大学物理学院 宗福建
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例题 电四极矩产生的势为 山东大学物理学院 宗福建
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例题 椭球的电偶极矩为零，总电荷为Q 。在远处的势准确至四极项为 山东大学物理学院 宗福建
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分析 山东大学物理学院 宗福建
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分析 山东大学物理学院 宗福建
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分析 山东大学物理学院 宗福建
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分析 山东大学物理学院 宗福建
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电荷体系在外电场中的能量 电荷在外电场中的静电势能,就是外场对电荷的静电作用能.若体积V内电荷密度为ρ,外场对这带电体的静电作用能便为
当电荷分布于小区域,可将外场电势 对坐标原点(选在V内)展开为泰勒级数
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电荷体系在外电场中的能量 则，
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电荷体系在外电场中的能量 则，
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电荷体系在外电场中的能量 展开式中第一项，为点电荷在外场中的能量
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电荷体系在外电场中的能量 展开式中第二项，为电偶极子在外电场中的能量。 电偶极子在外电场中受的力和力矩分别为：
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电荷体系在外电场中的能量 展开式中第三项，为电四极子在外电场中的能量。
许多介质分子除了有电偶极矩, 还有电四极矩, 原子核也有一定的四极矩，因此它们在非均匀电场中有一定的四极矩能量.
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本讲总结 山东大学物理学院 宗福建
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本讲总结 山东大学物理学院 宗福建
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课下作业 教材第73页，第17 题。
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谢谢 山东大学物理学院 宗福建
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