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线 性 代 数 厦门大学线性代数教学组 2019年4月24日6时7分 / 45
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§1.4 方阵的行列式 一、行列式的定义 二、行列式的性质 2019年4月24日6时7分 / 45
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一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组
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方程组的解为 由方程组的四个系数确定.
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即
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二阶线性方程组解的一般表达式（Cramer法则）
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定义1.4.1 称为3阶矩阵A的行列式.
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三阶行列式的计算 沙路法
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例 解 按沙路法法则，有
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例 解 方程左端
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n阶行列式的定义 一阶矩阵的行列式； 二阶矩阵的行列式； 三阶矩阵的行列式 推广到一般矩阵。
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再看三阶行列式 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
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1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 排列 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 百位
解 百位 1 2 3 3种放法 十位 1 2 1 3 2种放法 1种放法 个位 1 2 3 共有 种放法.
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个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.
问题： 定义1.4.2 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理
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排列的逆序数 规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 逆序 逆序 逆序
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一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
例如 排列32514 中， 1 逆序数为3 故此排列的逆序数为 =5.
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排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 计算排列逆序数的方法
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例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
解 此排列为偶排列.
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解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列.
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定义1.4.3 在一个n元排列中，将其某两个元素对调位置并保持其余元素不动来构造新排列的方式，称作对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
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对换与排列的奇偶性的关系 定理1.4.1 对换改变排列的奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变.
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当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 当 时， 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 现来对换 与
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次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
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推论1.4.1 奇排列可经过奇数次对调变成自然排列， 偶排列可经过偶数次对调变成自然排列.
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n阶行列式的定义 三阶矩阵A的行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
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（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 偶排列 列标排列的逆序数为 奇排列
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说明 1、 阶行列式是 项的代数和; 2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 3、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;
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例 计算下三角矩阵的行列式
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例 计算上三角矩阵的行列式
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例
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例 证明对角行列式
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证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕
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例 设 证明
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再看三阶行列式
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