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选修2-1简易逻辑第一节 命题和充要条件.

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1 选修2-1简易逻辑第一节 命题和充要条件

2 第一节 命题及其关系、充分条件与必要条件

3 1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以____________的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做_________,判断为假的语句叫做__________. 判断真假 真命题 假命题

4 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系:

5 ①两个命题互为逆否命题,它们有_______的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 _______________.
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有_______的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 _______________. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q,则p是q的_____条件,q是p的_____条件. (2)如果p⇔q,那么p与q互为_____________. (3)如果pD/⇒q,且qD/⇒p,则p是q的 _______________________. 相同 没有关系 充分 必要 充要条件 既不充分又不必要条件

6 1.“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确?为什么?
【提示】 不正确,①概念不同,命题的否定是直接对命题的结论否定;否命题是对原命题的条件和结论分别否定.②构成不同,对于“若p,则q”形式的命题,命题的否定为“若p,则綈q”;其否命题是“若綈p,则綈q”,③真值不同,命题的否定与原命题真假相反;而否命题与原命题真假无关.

7 2.命题“若p,则q”的逆命题为真,逆否命题为假,则p是q的什么条件?
【提示】 由逆命题为真,知q⇒p;逆否命题为假,知pD⇒/q;故p是q的必要不充分条件.

8 1.(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是(  )
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件; ④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件. A.②④   B.②③  C.②③④  D.③④

9 【解析】 由于|a|>|b|⇔a2>b2,a>b⇔a+c>b+c,故②③正确.由于a>bD/⇒a2>b2,且a2>b2D/⇒a>b,故①错;当c2=0时,a>bD/⇒ac2>bc2,故④错.

10 【答案】 C

11 3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 原命题正确,从而其逆否命题正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题,故选B. 【答案】 B

12 4.(2012·天津高考)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 若φ=0,则f(x)=cos x是偶函数,但是若f(x)=cos(x+φ)是偶函数,则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件. 【答案】 A

13 (1)命题p:“若a≥b,则a+b>2 012且a>-b”的逆否命题是(  )
A.若a+b≤2 012且a≤-b,则a<b B.若a+b≤2 012且a≤-b,则a>b C.若a+b≤2 012或a≤-b,则a<b D.若a+b≤2 012或a≤-b,则a≤b

14 (2)下列命题中为真命题的是(  ) A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 【思路点拨】 (1)直接根据逆否命题的定义写出,但应注意“且”的否定是“或”. (2)分清命题的条件与结论,写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假.

15 【尝试解答】 (1)“且”的否定是“或”,根据逆否命题的定义知,逆否命题为“若a+b≤2 012或a≤-b,则a<b”,故选C.
(2)A中逆命题为“若x>|y|,则x>y”是真命题; B中否命题为“若x≤1,则x2≤1”是假命题; C中否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”是假命题; D中原命题是假命题,从而其逆否命题为假命题. 【答案】 (1)C (2)A

16 1.本例(1)中应注意“且”的否定是“或”,本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断.
2.(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再考查每个命题的条件与结论之间的关系.(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时,必须保留大前提不变. 3.判定命题为真,必须推理证明;若说明为假,只需举出一个反例.互为逆否命题是等价命题,根据需要,可相互转化.

17 (1)命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是(  )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 (2)(2013·河源模拟)已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为________.

18 【解析】 (1)“x+y是偶数”的否定为“x+y不是偶数”,“x,y都是偶数”的否定为“x,y不都是偶数”.因此其逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.
(2)命题p是真命题,从而其逆否命题也是真命题; 命题p的逆命题是“若方程ax2+2x=0有解,则a>0”是假命题,从而命题p的否命题也是假命题. 故真命题的个数为2. 【答案】 (1)C (2)2

19 【思路点拨】 把条件和结论转化为x的取值范围,通过集合间的关系来判断.

20 【答案】 B

21 1.判定充要条件应注意:弄清条件p和结论q分别是什么,判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假.
2.充分、必要条件的判断常用方法:(1)定义,(2)利用等价的逆否命题关系,(3)运用集合的包含关系.若p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},从集合观点看: ①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. ②若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. ③若A=B,则p是q的充要条件.

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23 【答案】 C

24 (2013·阳江模拟)设命题p:2x2-3x+1≤0; 命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 【思路点拨】 先解不等式把命题p、q具体化,再由互为逆否命题的等价性确定p、q之间的关系,最后根据集合的关系列不等式求解.

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26 1.解答本题时,也可先求出綈p,綈q,再根据綈p、綈q之间的关系,确定集合间的关系求解.
2.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 3.注意利用转化的方法理解充分必要条件:若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.

27 【答案】 [9,+∞)

28 “A是B的充分不必要条件”中,A是条件,B是结论;“A的充分不必要条件是B”中,B是条件,A是结论.在进行充分、必要条件的判断中,要注意这两种说法的区别.

29 1.逆命题与否命题互为逆否命题; 2.互为逆否命题的两个命题同真假.

30 充分条件、必要条件的判断方法 1.定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假. 2.等价法:利用p⇒q与綈q⇒綈p,q⇒p与綈p⇒綈q,p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系. 3.集合法:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

31 从近两年高考命题来看,本节多是对充要条件的考查,少数涉及到四种命题及其真假判断,题型以客观题为主,属中、低档题,内容以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体,主要考查逻辑推理能力.常见错误是充要条件的两种不同的叙述方式不清致误.

32 (2012·山东高考)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )
易错辨析之一 两种不同的叙述方式不清致误 (2012·山东高考)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的(  ) A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

33 【错解】 “函数f(x)=ax在R上是减函数”的充要条件是p:0<a<1.
因为g′(x)=3(2-a)x2,而x2≥0,又因为a>0且a≠1,所以“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充要条件是0<a<2且a≠1. 故“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的必要不充分条件. 【答案】 B

34 错因分析:(1)错选B,究其原因是将“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”混淆,导致颠倒充分性与必要性.
(2)不会运用集合的包含关系判断充分必要条件. 防范措施:(1)在判断充要条件的问题中,“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述的含义是不同的,“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”,解决此类问题时应先将问题转化为第一种基本的叙述方式,然后再进行判断.

35 (2)“函数f(x)=ax在R上是减函数”,a的取值集合A=(0,1);“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”,a的取值集合B=(0,1)∪(1,2).显然AB,故p是q的充分不必要条件.

36 【正解】 “函数f(x)=ax在R上是减函数”的充要条件是p:0<a<1.
因为g′(x)=3(2-a)x2,且x2≥0,所以“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充要条件是a<2. 又因为a>0且a≠1,所以“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充要条件是q:0<a<2且a≠1. 显然p⇒q,但qD/⇒p,所以p是q的充分不必要条件,即“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件. 【答案】 A

37 1.(2012·北京高考)设a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的(  )
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

38 【解析】 当a=0,且b=0时,a+bi不是纯虚数;若a+bi是纯虚数,则a=0.
故“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件. 【答案】 B

39 2.(2013·西安模拟)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
【答案】 3或4


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