1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动

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1 第一章 晶体结构 第二章 晶体的结合 第三章 晶格的热振动 第四章 能带论 第五章 金属电子论 第六章 半导体电子论 第七章 固体磁性 第八章 固体超导
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动 9 能带论的局限性

2 注意 老师说声子谱是个能带（玻色子）的时候没有计算态密度 现在来补上

3 5 能带电子的态密度 别老盯着普遍定义，只需找一两个简单例子就可以理解 费米面 Fermi surface 满带、空带、导带、价带、禁带
5 能带电子的态密度 别老盯着普遍定义，只需找一两个简单例子就可以理解 自由电子的能态密度：能快速演算1d, 2d, 3d 近自由电子的能态密度：讲故事，不理它 紧束缚模型的电子能态密度要仔细理解：1d, 2d, 3d 别忘了天上掉下来一个2 费米面 Fermi surface 这里我们并非在做 一个完整的理论，而是在拼凑！ Pauli不相容原理导致（记得电子波函数需要怎样怎样？） 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 满带、空带、导带、价带、禁带 金属、半导体、绝缘体 能态密度与X射线光电子能谱 (XPS) 实验，两个XPS？

4 k 空间（箱规一化）

5 能态密度和费米面 如果二维三维问题想不清楚，请想1维！ 1. 能态密度函数 —— 固体中电子的能量由一 些准连续的能级形成的 能带
—— 能量在E ~ E+E之间的 能态数目Z 能态密度函数

6 在k空间，根据 E(k) = Constant 构成的面为等能面
由E和E+E围成的体积为V，状态在k空间是均匀分布的 状态密度 —— 动量标度下的能态密度 E~E+E之间的能态数目 两个等能面间垂直距离

7 能态密度 考虑到电子的自旋，能态密度

8 ？ 公式的来源： 求解热力学量时需要 晶格点阵等间距，k空间态密度为常数 如果是Fibonacci点阵呢？

9 计算统计物理量的需求

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12 1) 自由电子的能态密度 电子的能量 k空间, 等能面是半径 的球面 在球面上 能态密度

13 1d 和 2d呢？

14 2) 近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近 等能面的变化 二维正方格子 第一布里渊区的等能面 —— 波矢接近布里渊区的A点， 能量受到周期性的微扰而 下降，等能面向边界凸现 —— 在A点到C点之间，等能面不再是完整的闭合面， 而是分割在各个顶点附近的曲面

15 能态密度的变化 —— 随着k接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等 能面之间的体积不断增大，能态密度将显著增大 在A点到C点之间，等能面发生残缺，达到C点时，等能面缩成一个点 —— 能态密度不断减小直到为零

16 第二布里渊区能态密度 —— 能量E越过第一布里渊区的A点，从B点开始能态密度由零迅速增大 能带不重叠 能带重叠

17 3) 紧束缚模型的电子能态密度 简单立方格子的s带 k = 0 附近 —— 等能面为球面 —— 随着E的增大，等能面与 近自由电子的情况类似

18 能态密度

19 带底 和 出现微商不连续的奇点 —— 等能面与布里渊区相交 X点k = (/a, 0, 0)的能量

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21 1d 和 2d呢？ “Note-Density of states of tight banding type.nb” 不妨先画一下能谱形状
van Hove critical points

22 1d 和 2d呢？

23 1d 和 2d呢？

24 3d

25 1d, 2d ? 2. 费米面(3d为例) —— 固体中有N个自由电子，按照泡利原理它们基态是由N 个电子由低到高填充的N个量子态
自由电子的能级 N个电子在k空间填充一个半径为kF的球，球内包含N个状态数 球的半径

26  费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度
费米球半径 费米能量 费米动量 费米速度 费米温度

27 自由电子球半径rs

28 —— 晶体中的电子 满带 —— 电子占据了一个能带中所有的状态 空带 —— 没有任何电子占据（填充）的能带 导带 —— 一个能带中所有的状态没有被电子占满 即不满带，或说最下面的一个空带 价带 —— 导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带 禁带 —— 两个能带之间，不允许存在的能级宽度，或带隙

29 —— 单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的准连续的能带，N个电子填充这些能带中最低的N个状态
半导体和绝缘体 —— 电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带，导带中没 有电子 —— 半导体带隙宽度较小 ~ 1 eV —— 绝缘体带隙宽度较宽 ~ 10 eV

30 金属 —— 电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充 了其它能带形成导带 —— 电子填充的最高能级为费密能级，位于一个或几个能 带范围内 —— 在不同能带中形成一个占有电子与不占有电子区域 的分解面 —— 面的集合称为费密面

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32 X射线光谱学 X-Ray Photoemission Spectroscopy，XPS
1924年诺贝尔物理学奖授予瑞典乌普沙拉大学的卡尔·西格班(Karl Manne Georg Siegbahn, ),以表彰他在X射线光谱学领域的发现与研究。 1914年开始，西格班从对电磁学的研究转向X射线光谱学。为此，他在隆德大学创建了著名的光谱学实验室。1921年，他设计了研究光谱用的真空分光镜。他先把要分析鉴定的材料涂在X射线管的阳极板上做为靶标，再用阴极发出的电子去冲击阳极板，使其受激发，发出标识X射线。然后，用他所发明的分光镜来观察X射线光谱，并用摄谱仪摄下光谱照片。利用这种方法，他测量、分析并确定了92种元素的原 子所发射的标识X射线。这些元素的X射线标识谱间的相对简易性和紧密相似性使他确信这些辐射起源于原子内部而与外围电子结构所支配的复杂光谱线及化学性质无关。他证明了巴克拉发现的K辐射与L辐射的确存在。另外，他还发现了另一谱线系，即M系。西格班光谱仪的高度分辨率显示了莫塞莱所发现的K谱线为双线。他在L系中发现了28条谱线，在M系中发现了24条谱线。他的工作支持波尔等科学家关于原子内电子按照壳层排列的观点。

33 碱金属 —— 具有体心立方格子，每个原胞内有一个原子，由N个原子构成的晶体，各满层电子的能级相应地分成2N个量子态的能带，内层电子刚好填满了相应的能带
—— 原子的量子态数为8，电子填充数为8个 —— 形成晶体后相应的能带2s（1个）、2p（3个），共4 个能带，每个能带所容许的量子态2N，共有8N个量子 态，可以填充8N个电子 —— ns态所对应的能带可以填充2N电子，N个原子只有N 个自由电子，只填充了半个能带而形成导带 —— 碱金属中的N个价电子只填充了半个布里渊区，费密球 与布里渊区边界不相交，费米面接近球面

34 二价碱土金属 最外层2个s态电子，似乎刚好填充满和s相应的能带。由于与s对应的能带和上面的能带发生重叠，2N个尚未填充满s态能带，就开始填充上面的能带，形成两个能带都是部分填充 —— 碱土金属为金属导体 —— 第一布里渊区中的状 态尚未填满，第二布 里渊区已填充电子， 此时的费米面由两部 分构成

35 金刚石结构的IVB族元素C、Si和Ge电子的填充
—— IVB原子外层有4个价电子，形成晶体后成键态对应4个能带在下面，反键态对应4个能带在上面。每个能带可容纳2N个电子，成键态的4个能带刚好可以容纳8N电子 —— 金刚石结构晶体中每个原胞有两个原子，共8个价电子。晶体中的8N个价电子全部填充在成键态的4个能带中形成满带，反键态则是空带, 金刚石为绝缘体 —— Si和Ge为半导体

36 —— 能态密度的实验结果 阴极射线可将原子内层电子激发，产生空的内层能级，当外层电子(导带中的电子)跃迁填充内层能级时发射X射线光子 用阴极射线将Na原子的内层电子激发产生诸如1s、2s和2p等空的内层能级 —— K: 电子到1s能级的跃迁 —— LI:电子到2s能级的跃迁 —— LII:电子到2p能级的跃迁 —— LIII:电子到3s能级的跃迁

37 —— 导带中电子能量从带底能量到最高能量E0，各种能量
的电子均可发生跃迁产生不同能量的X光子 —— 发射出X光子能量形成一个连续能量谱 —— 发射的X光子能量可以通过实验测得 X光子发射强度决定于 （能态密度）×（发射几率） —— 根据不同固体的X光子 发射谱可以获知能态密 度的信息

38 金属Na、Mg、Al和非金属金刚石、硅的实验结果

39 —— 在低能量区域 Na、Mg、Al和金刚石、硅的X光子发射能量逐渐上升的 —— 反映了电子的能量从带底逐渐增大，其能态密度逐渐 增大的规律

40 —— 在高能量的一端 金属Na、Mg、Al的X光子发射谱陡然下降 —— 反映了导带未被电子填充满，最高能量的电子对应的 能态密度最大

41 —— 在高能量的一端 金刚石、硅的X光子发射谱逐渐下降 —— 反映了电子填充了导带中所有的状态，即满带。而在满带顶对应的布里渊区附近，电子的能态密度逐渐降为零

42 X射线光电子能谱（X-ray photoelectron spectroscopy，XPS）

43 X射线光电子能谱（X-ray photoelectron spectroscopy，XPS）
是一种用于测定材料中元素构成、实验式，以及其中所含元素化学态和电子态的定量能谱技术。这种技术用X射线照射所要分析的材料，同时测量从材料表面以下1纳米到10纳米范围内逸出电子的动能和数量，从而得到X射线光电子能谱。X射线光电子能谱技术需要在超高真空环境下进行。 XPS的原理： 是用X射线去辐射样品，使原子或分子的内层电子或价电子受激发射出来。被光子激发出来的电子称为光电子。可以测量光电子的能量，以光电子的动能/束缚能 binding energy,(Eb=hv光能量-Ek动能-w功函数)为横坐标，相对强度（脉冲/s）为纵坐标可做出光电子能谱图。从而获得试样有关信息。X射线光电子能谱因对化学分析最有用，因此被称为化学分析用电子能谱（Electron Spectroscopy for Chemical Analysis）