1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度f ，矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。

Presentation on theme: "1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度f ，矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。"— Presentation transcript:

1 1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度f ，矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。
1.5 场函数的高阶微分运算 1、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度f ，矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。 2、场函数的二阶运算 （1）标量场梯度的散度 f （2）标量场梯度的旋度 f （3）矢量场散度的梯度 (F) （4）矢量场旋度的散度 (F) （5）矢量场旋度的旋度  (F)

2 1.5 场函数的高阶微分运算 两个重要的恒等式 3、场函数的拉普拉斯运算 标量场 在直角坐标系中 所以有拉普拉斯算符

3 1.5 场函数的高阶微分运算 2作用于矢量场将得到一个新的矢量场 因为 所以 算符 2 作用于矢量场的结果将得到一个新的矢量场。
1.5 场函数的高阶微分运算 2作用于矢量场将得到一个新的矢量场 因为 所以 算符 2 作用于矢量场的结果将得到一个新的矢量场。 在直角坐标系中

4 1.5 场函数的高阶微分运算 4、两个与算符  2 有关的恒等式 相对坐标标量函数 相对位置矢量 R 及其模 R 因为

5 1.5 场函数的高阶微分运算 例 3 计算 解

6 1.5 场函数的高阶微分运算 作业：1.13（1）

7 1.6 矢量场的积分定理 1、高斯散度定理（Gauss）
在闭面S上及S所包围的区域V内，只要矢量场F(r)有一阶连续偏导数，则F(r)在S上的闭合面积分等于它的散度在V内的体积分 S V 1 2 (a) (b) 为证明高斯定理将区域细分 en2 en1 证明： 上式可写成

8 该公式表明了区域V 中场F与边界S上的场F 之间的关系。
1.6 矢量场的积分定理 取 的极限，可得 矢量函数的面积分与体积分的互换。 该公式表明了区域V 中场F与边界S上的场F 之间的关系。 2、斯托克斯定理(Stockes) 斯托克斯定理：矢量F(r)沿任一闭合路径l的环量，等于F(r)的旋度在以该闭合路径界为边界的任一曲面S上的通量

9 1.6 矢量场的积分定理 证明： S l F en si li 上式可写成 取 的极限，可得

10 在电磁场理论中，Gauss 定理和 Stockes 定理
1.6 矢量场的积分定理 矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域 S 中场F 与边界 l 上的场F 之间的关系 在电磁场理论中，Gauss 定理和 Stockes 定理 是两个非常重要的公式。

11 1.6 矢量场的积分定理 3、格林公式 设 应用高斯定理 格林第一公式 （1） 式中， 是 在S 面上的外法向导数。

12 1.6 矢量场的积分定理 将 和 的位置交换，得 （2） （1）式与（2）式相减，即得格林第二公式